a) x = cos t, y = 1 − t, P

21

- Esercizi di riepilogo e di complemento

Curve e integrali curvilinei

1. Trovare l’equazione della retta tangente alle curve seguenti, nei punti indicati a lato:

a) x = cos t, y = 1 − t, P

(1 , 1) [[

b) x = e

, y = t + t

, P

(1 , 0) [[

c) x = sin t cos t, y = 1

sin t , P

(0 , 1) [[

d) x = t

, y = t

, P

(1 , 1) [[

e) x = log(1 + t), y = 2t − t

, P

(0 , 0) [[

f) x = tg t, y = cos 2t, P

(1 , 0) [[

g) x = 1 − arctg t, y = 1 − t

, P

1 − π

4 , 0 

[[

2. Dimostrare che la lunghezza della curva y = f(x), a
x
b, `e data dall’espressione L(ϕ) =



a

 1 + |f

( x)|

d x

3 . Un cammino in R

si pu` o scrivere in coordinate polari

⎧ ⎨

⎩

ρ = ρ(t)

a
t
b θ = θ(t)

che corrispondono alle equazioni parametriche

⎧ ⎨

⎩

x = ρ(t) cos θ(t)

a
t
b.

y = ρ(t) sin θ(t) Dimostrare che

L(γ) =



a

 ρ

+ ρ

θ

d t.

A volte si pu` o scegliere come parametro l’angolo θ ρ = ρ(θ), θ

θ
θ

; in questo caso risulta θ

= 1 e dunque

L(γ) =



θ0



ρ

+ ρ

d θ.

spazio

4. Calcolare la lunghezza delle seguenti curve:

a) x = t − sin t, y = 1 − cos t, 0
t
2π (cicloide) [[

b) x = e

− 1, y = e

+ 1 , 0
t
1 [[

4 2e
1 + 4e²+ log(2e +
1 + 4e²) − 2√

5 − log(2 +√ 5)





c) x = arccos t, y = log t, 1

2
t
1 [[

3)

d) x = sin t − t cos t, y = t sin t + cos t, 0
t
π

2 [[

4

e) x = sin t − t cos t, y = t sin t + cos t + t

2 , 0
t
π

2 [[

2 − 8

f) x = cos

t, y = cos t sin t, 0
t
π

2 [[

2

g) x = arcsin t, y = log(1 + t), 0
t
1 [[

2)

h) x = cos 2 t

4 , y = cos

t, z = sin

t, − π

2
t
π

2 [[

i) x = 3t

+ 10 t, y = 4t

+ 5 t, −1
t
1 [[

4log(4 +√ 17 )

5. Calcolare la lunghezza delle seguenti curve, espresse come grafici di funzioni:

a) y = log cos x, 0
x
π

3 [[

3)

b) y = log x, 3

4
x
4

3 [[

12+ log3 2

c) y = x

, a
x
b [[

4

2b^1 + 4b²− 2a^1 + 4a²+ log 2b +√ 1 + 4b² 2a +√

1 + 4a²



d) y = e

+ e

2 , a
x
b (catenaria)

[[

2

e) y =

x

2 a − x , 0
x
5 a

3 [[

3 log(2 +√ 3)^

f) y =
4 3 + x 

2

, 0
x
1 [[

27

g) y = 2 − 2 √

x, 1
x
4 [[

5+ log(2 +√ 5) −√

2 − log(1 +√ 2)

h) y = x

, 0
x
1

4 [[

5 6

3

−

2 3

3

i) y = √

1 − x, 0
x
1 [[

4log(√ 5 + 2) +

√5 2

l) y = x + e

, 0
x
log 2 [[

2) log(5√ 2 + 3√

5 − 6 − 2√

10) + 2(√ 10 −√

5 + 1)

6. Calcolare la lunghezza delle seguenti curve, date in forma polare:

a) ρ = sin θ, 0
θ
π [[

b) ρ = θ

, 0
θ
3

2 (spirale quadratica) [

24



c) ρ = θ

, 0
θ
4 (spirale cubica) [

2 − 81

8 log 3



d) ρ = e

, 0
θ
π [[

e) ρ = θ, 0
θ
2π (spirale di Archimede)

[[

2log(2π +^1 + 4π²)

7 . Calcolare i seguenti integrali curvilinei:

a)



γ

x ds, dove γ `e la parabola di equazione y = x

, 0
x
2 [

12(17^3/2− 1)



b)



γ

 1 − y

d s, dove γ `e la semicirconferenza x = cos t, y = sin t, 0
t
π [[

c)



γ

 y

x

+ y

d s, con γ : x = cos

t, y = cos

t sin t, 0
t
π

2 [

9



d)



γ

1

y d s, con γ : x = t

, y = t

, 1

2
t
8

5 [

10+ 6 log 2



e)



γ

 x

+ y

d s, con γ : ρ = θ, 0
θ
2π [

3



f)



γ

y

d s, con γ : y = e

, 0
x
log 2 [

3



g)



γ

y ds, con γ : x = t − sin t, y = 1 − cos t, 0
t
2π [

3



h)



γ

√ z ds, con γ : x = cos t, y = sin t, z = t

, 0
t
π [



i)



γ

x

1 + y

d s, con γ : x = cos t, y = sin t, 0
t
π

2 [

4