a) x = cos t, y = 1 − t, P

Testo completo

(1)

21

- Esercizi di riepilogo e di complemento

Curve e integrali curvilinei

1. Trovare l’equazione della retta tangente alle curve seguenti, nei punti indicati a lato:

a) x = cos t, y = 1 − t, P

0

(1 , 1) [[

x = 1

b) x = e

t

, y = t + t

2

, P

0

(1 , 0) [[

x = y + 1

c) x = sin t cos t, y = 1

sin t , P

0

(0 , 1) [[

y = 1

d) x = t

2

, y = t

3

, P

0

(1 , 1) [[

3(x − 1) = 2(y − 1)

e) x = log(1 + t), y = 2t − t

2

, P

0

(0 , 0) [[

2x = y

f) x = tg t, y = cos 2t, P

0

(1 , 0) [[

y + 4x = 4

g) x = 1 − arctg t, y = 1 − t

2

, P

0

 1 π

4 , 0 

[[

4x − y = 4 − π

2. Dimostrare che la lunghezza della curva y = f(x), a  x  b, `e data dall’espressione L(ϕ) =



b

a

 1 + |f



( x)|

2

d x

3 . Un cammino in R

2

si pu` o scrivere in coordinate polari

⎧ ⎨

ρ = ρ(t)

a  t  b θ = θ(t)

che corrispondono alle equazioni parametriche

⎧ ⎨

x = ρ(t) cos θ(t)

a  t  b.

y = ρ(t) sin θ(t) Dimostrare che

L(γ) =



b

a

 ρ

 2

+ ρ

2

θ

 2

d t.

A volte si pu` o scegliere come parametro l’angolo θ ρ = ρ(θ), θ

0

 θ  θ

1

; in questo caso risulta θ



= 1 e dunque

L(γ) =



θ1

θ0



ρ

2

+ ρ

2

d θ.

(2)

spazio

4. Calcolare la lunghezza delle seguenti curve:

a) x = t − sin t, y = 1 − cos t, 0  t  2π (cicloide) [[

8

b) x = e

t

− 1, y = e

2t

+ 1 , 0  t  1 [[

1

4 2e1 + 4e2+ log(2e +1 + 4e2) − 2

5 − log(2 + 5)





c) x = arccos t, y = log t, 1

2  t  1 [[

log(2 +

3)

d) x = sin t − t cos t, y = t sin t + cos t, 0  t  π

2 [[

π

4

e) x = sin t − t cos t, y = t sin t + cos t + t

2

2 , 0  t  π

2 [[

2π + 4√

2 − 8

f) x = cos

2

t, y = cos t sin t, 0  t  π

2 [[

π

2

g) x = arcsin t, y = log(1 + t), 0  t  1 [[

2 log(1 +

2)

h) x = cos 2 t

4 , y = cos

3

t, z = sin

3

t, π

2  t  π

2 [[

10

i) x = 3t

2

+ 10 t, y = 4t

2

+ 5 t, −1  t  1 [[

425 +5

4log(4 + 17 )

5. Calcolare la lunghezza delle seguenti curve, espresse come grafici di funzioni:

a) y = log cos x, 0  x  π

3 [[

log(2 +

3)

b) y = log x, 3

4  x  4

3 [[

5

12+ log3 2

c) y = x

2

, a  x  b [[

1

4



2b1 + 4b2− 2a1 + 4a2+ log 2b +√ 1 + 4b2 2a +√

1 + 4a2



d) y = e

x

+ e

−x

2 , a  x  b (catenaria)

[[

eb− e−b− ea+ e−a

2

e) y =

x

3

2 a − x , 0  x  5 a

3 [[

a2 +

3 log(2 + 3)

f) y =  4 3 + x 

3

2

, 0  x  1 [[

53− 43

27

g) y = 2 − 2

x, 1  x  4 [[

2

5+ log(2 + 5) −√

2 − log(1 +√ 2)

h) y = x

3/2

, 0  x  1

4 [[

5 6

3

2 3

3

i) y =

1 − x, 0  x  1 [[

1

4log( 5 + 2) +

5 2

l) y = x + e

x

, 0  x  log 2 [[

2(1 +

2) log(5 2 + 3

5 − 6 − 2√

10) + 2( 10 −√

5 + 1)

(3)

6. Calcolare la lunghezza delle seguenti curve, date in forma polare:

a) ρ = sin θ, 0  θ  π [[

π

b) ρ = θ

2

, 0  θ  3

2 (spirale quadratica) [

53− 43

24



c) ρ = θ

3

, 0  θ  4 (spirale cubica) [

205

2 − 81

8 log 3



d) ρ = e

θ

, 0  θ  π [[

2(eπ− 1)

e) ρ = θ, 0  θ  2π (spirale di Archimede)

[[

π1 + 4π2+1

2log(2π +1 + 4π2)

7 . Calcolare i seguenti integrali curvilinei:

a)



γ

x ds, dove γ `e la parabola di equazione y = x

2

, 0  x  2 [

1

12(173/2− 1)



b)



γ

 1 − y

2

d s, dove γ `e la semicirconferenza x = cos t, y = sin t, 0  t  π [[

2

c)



γ

 y

x

2

+ y

2

d s, con γ : x = cos

3

t, y = cos

2

t sin t, 0  t  π

2 [

7

9



d)



γ

1

y d s, con γ : x = t

2

, y = t

3

, 1

2  t  8

5 [

72

10+ 6 log 2



e)



γ

 x

2

+ y

2

d s, con γ : ρ = θ, 0  θ  2π [

(1 + 4π2)3/2

3



f)



γ

y

2

d s, con γ : y = e

x

, 0  x  log 2 [

53/2+ 23/2

3



g)



γ

y ds, con γ : x = t − sin t, y = 1 − cos t, 0  t  2π [

32

3



h)



γ

z ds, con γ : x = cos t, y = sin t, z = t

2

, 0  t  π [

(1 + 4π2)3/2− 1 12



i)



γ

x

1 + y

2

d s, con γ : x = cos t, y = sin t, 0  t  π

2 [

π

4



figura

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