il moto circolare uniforme piano
x(t) = r cos( t ) y(t) = r sen( t )
notare la differenza tra il concetto
Moti nel piano
Moti armonici semplici
che coincidono nel moto circolare uniforme moti sinusoidali ( armonici )
proiettato sugli assi cartesiani produce
= r cos ( t +
0)
= r sen ( t +
0)
e di velocita’ angolare unidimensionali
di pulsazione
a(t) = dv/dt = d
2x/dt
2x(t) = r cos ( t +
0)
l’equazione oraria del moto lungo l’asse
x
e’d
2x(t)/dt
2+
2x(t) = 0
Caratteristiche della proiezione del moto lungo un asse
il moto e’ oscillatorio ed e’ compreso tra
e analogamente per la
y
e’ un moto “armonico semplice”
=
r cos ( t +
0)
–
r
e +r
Richiami: il moto armonico piano
un punto materiale si muove di moto circolare uniforme
d / dt
con velocita’ angolare
nel piano
xy
conOP = r = A
tra
A
e l’asse delle ascisse al generico tempot
sia
t
l’angoloA
x y
t
O
P
y Asen ( t )
dunque la traiettoria e’ una circonferenza,
le proiezioni del moto sugli assi al generico tempo
t
saranno2 2
2 2
1
x y
A A x
2 y
2 A
2x ( )
cos t
A
y ( )
sen t
A
orario o antiorario ?
il punto si trova nella posizione
(+A, 0)
se al tempo
t =
0y Asen( t
0) Asen( t)
x A cos (t) x
22 2( )
cos t
A
2 2
2
( )
y sen t
A
x Acos( t
0) Acos( t)
x y
O
P t = 0
ma in quale senso e’ percorsa,
x y
t Acos
O
P Asen
t > 0
a
t = 0 ( 0) cos 0
( 0) 0
x t A A
y t Asen t
al tempo
t = + t
cos
0
x A t A
y Asen t
senso
antiorario (levogiro)
cos
x A t
y Asen t
se
O
.
P.
Acost
O
P
co s
x A t
y A s e n t
al tempo
t = + t
cos
0
x A t A
y Asen t
senso orario (destrogiro)
se
la traiettoria e’ ancora una circonferenza, O
.
P
cos( t ) A 2
da notare che
y Asen t
ma il senso di percorrenza e’ orario
( 0) cos 0
( 0) 0
x t A A
y t Asen t
O
.
Pa
t = 0
cos( ) cos( )
x A t
y A t
0
0
y x
0
cos( )cos( ) cos( )
x A t
y A t A t
y x
cos( )
cos( ) ( )
2
x A t
y A t Asen t
0
2
2 22 2
1
x y
A A
cos( )
cos( 3 ) ( )
2
x A t
y A t Asen t
0
3 2
2 22 2
1
x y
A A
posto se
traiettoria rettilinea
traiettoria rettilinea
traiettoria circolare destrogira
traiettoria circolare levogira
0
cos( )
cos( )
x A t
y A t
0
cos( )
cos( )
x A t
y B t
cos( ) cos( )
x A t
y B t
0
0
xA y B
0
cos( )cos( ) cos( )
x A t
y B t B t
x
A y B
cos( )
cos( ) ( )
2
x A t
y B t B sen t
0
2
1
2 2 2
2
B y A
x
cos( )
cos( 3 ) ( )
2
x A t
y B t Bsen t
0
3 2
1
2 2 2
2
B y A
x
piu’ in generale posto se
traiettoria rettilinea
traiettoria rettilinea
traiettoria ellittica destrogira
traiettoria ellittica levogira
due moti armonici indipendenti
ma modificando
per una dimostrazione in aula andare al sito :
http://ngsir.netfirms.com/englishhtm/Lissajous.htm
possono dare origine
ottenere una serie di diverse traiettorie
con differenza di fase di
/2 combinati insieme non solo ad un moto circolare nel pianola fase relativa e/o la frequenza e/o l’ampiezza si possono ( figure di Lissajous)
