x(t) = r cos(  t  ) y(t) = r sen(  t  )

Testo completo

(1)

il moto circolare uniforme piano

x(t) = r cos(  t) y(t) = r sen(  t)

notare la differenza tra il concetto

Moti nel piano

Moti armonici semplici

che coincidono nel moto circolare uniforme moti sinusoidali ( armonici )

proiettato sugli assi cartesiani produce

= r cos ( t +

0

)

= r sen ( t +

0

)

e di velocita’ angolare unidimensionali

di pulsazione

(2)

a(t) = dv/dt = d

2

x/dt

2

x(t) = r cos ( t +

0

)

l’equazione oraria del moto lungo l’asse

x

e’

d

2

x(t)/dt

2

+

2

x(t) = 0

Caratteristiche della proiezione del moto lungo un asse

il moto e’ oscillatorio ed e’ compreso tra

e analogamente per la

y

e’ un moto “armonico semplice”

=

r cos (  t + 

0

)

r

e +

r

(3)

Richiami: il moto armonico piano

un punto materiale si muove di moto circolare uniforme

d / dt

  

con velocita’ angolare

nel piano

xy

con

OP = r = A

tra

A

e l’asse delle ascisse al generico tempo

t

sia

 t 

l’angolo

A

x y

t

O

P

(4)

yAsen ( t )

dunque la traiettoria e’ una circonferenza,

le proiezioni del moto sugli assi al generico tempo

t

saranno

2 2

2 2

1

x y

AAx

2

y

2

A

2

x ( )

cos t

A  

y ( )

sen t

A

orario o antiorario ?

il punto si trova nella posizione

(+A, 0)

   

se al tempo

t =

0

yAsen( t   

0

)Asen( t)

xA cos (t)x

22 2

( )

cos t

A

2 2

2

( )

y sen t

A  

xAcos( t   

0

)Acos( t)

x y

O

P t = 0

ma in quale senso e’ percorsa,

x y

t Acos

O

P Asen

t > 0

(5)

a

t = 0 ( 0) cos 0

( 0) 0

x t A A

y t Asen t

  

  

al tempo

t = + t

cos

0

x A t A

y Asen t





 

 

senso

antiorario (levogiro)

cos

x A t

y Asen t

se

O

.

P

.

Acost

O

P

(6)

co s

x A t

y A s e n t

 

al tempo

t = + t

cos

0

x A t A

y Asen t





 

  

senso orario (destrogiro)

se

la traiettoria e’ ancora una circonferenza, O

.

P

cos( t ) A   2

 

 da notare che

y   Asen t

ma il senso di percorrenza e’ orario

( 0) cos 0

( 0) 0

x t A A

y t Asen t

  

   

O

.

P

a

t = 0

(7)

cos( ) cos( )

x A t

y A t

0

0

  yx

0

 

cos( )

cos( ) cos( )

x A t

y A t A t

  

 

y   x

cos( )

cos( ) ( )

2

x A t

y A t Asen t

  

   

0

2

  

2 2

2 2

1

x y

AA

cos( )

cos( 3 ) ( )

2

x A t

y A t Asen t

  

  

0

3 2

  

2 2

2 2

1

x y

AA

posto se

traiettoria rettilinea

traiettoria rettilinea

traiettoria circolare destrogira

traiettoria circolare levogira

0

cos( )

cos( )

x A t

y A t

 

 

(8)

0

cos( )

cos( )

x A t

y B t

 

 

cos( ) cos( )

x A t

y B t

0

0

 

x

A y B

0

 

cos( )

cos( ) cos( )

x A t

y B t B t

  

  x

A y   B

cos( )

cos( ) ( )

2

x A t

y B t B sen t

  

   

0

2

   1

2 2 2

2

 

B y A

x

cos( )

cos( 3 ) ( )

2

x A t

y B t Bsen t

  

  

0

3 2

   1

2 2 2

2

 

B y A

x

piu’ in generale posto se

traiettoria rettilinea

traiettoria rettilinea

traiettoria ellittica destrogira

traiettoria ellittica levogira

(9)

due moti armonici indipendenti

ma modificando

per una dimostrazione in aula andare al sito :

http://ngsir.netfirms.com/englishhtm/Lissajous.htm

possono dare origine

ottenere una serie di diverse traiettorie

con differenza di fase di

/2 combinati insieme non solo ad un moto circolare nel piano

la fase relativa e/o la frequenza e/o l’ampiezza si possono ( figure di Lissajous)

(10)

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figura

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