(4) Esibire due spazi topologici X, Y tali che ciascuno ` e omeomorfo ad un sottospazio dell’altro, ma X e Y non sono omeomorfi.

Tutorato di Geometria 3 del 21-11-2012 (P. Salvatore) (1) Classificare gli spazi topologici rappresentati dalle lettere

X, R, P, O, Y, H, S, L, K, D a meno di omeomorfismo.

(2) Dimostrare che R ² −Q ² ` e connesso per archi, e che (R−Q) <sup>2</sup> non ` e connesso.

(3) Dimostrare che uno spazio topologico X ` e connesso se e solo se per ogni ricoprimento aperto F di X e per ogni U, V ∈ F esiste un numero finito di aperti di F U 1 , . . . , U n tali che U 1 = U, U n = V e U i ∩ U i+1 6= ∅ per ogni i.

(4) Esibire due spazi topologici X, Y tali che ciascuno ` e omeomorfo ad un sottospazio dell’altro, ma X e Y non sono omeomorfi.

(5) Nello spazio delle funzioni continue [0, 1] → R con la topologia della con- vergenza puntuale si consideri il sottospazio

X = {f |f ⁻¹ (0) = {t}}

dele funzioni che assumono il valore 0 in un solo punto t, e i sottospazi Z ⊂ Y ⊂ X dove si richiede che t > 0 per Y e 0 < t < 1 per Z. Determinare le componenti connesse per archi di X, Y, Z.

(6) Considerare l’unione numerabile di cerchi X ⊂ C ^N tale che (x _i ) ∈ X se esiste i ₀ tale che x _i = 1 per ogni i 6= i ₀ e |x _i

| = 1. Si dica se X ` e compatto con la topologia π della convergenza puntuale (prodotto cartesiano) e quella uniforme u. Considerare l’orecchino hawaiano H, l’unione numerabile delle circonferenze di centro (1/n, 0) e di raggio 1/n. Si dica se (X, π) e (X, u) sono omeomorfi a H.

(7) Considerare la compattificazione di Alexandroff di ∪ _n∈N (2n, 2n + 1), e la si confronti con gli spazi topologici dell’esercizio precedente.

(8) Siano X, Y spazi topologici di Hausdorff localmente compatti.

Sia f : X → Y una funzione continua tale che per un compatto K ⊂ Y la

controimmagine f ⁻¹ (K) ` e compatta. Si dimostri che f ` e chiusa, e dunque

propria.