Doppio oscillatore forzato

Doppio oscillatore forzato

Figure 1:

Un corpo di massa m `e appeso al soffitto attraverso una molla di lunghezza a riposo nulla e costante elastica k. Al corpo ´e agganciata una seconda molla identica alla prima alla quale `e appeso un altro corpo di massa m.

Quale `e la posizione di equilibrio del sistema?

Il soffitto inizia ad oscillare con legge oraria y_s(t) = A cos ωt. Si trovi l’equazione del moto a regime per le due masse in presenza di una piccola forza di attrito viscoso che smorza lentamente il contributo del transiente.

Soluzione Prendiamo un asse y verticale orientato verso il basso con origine sul soffitto. Se y_1,2^eq sono le coordinate di equilibrio delle due masse, nel caso generale di costanti elastiche k_i, lunghezze a riposo l_i e masse m_i, si ha:

 m₁g + k₂(y^eq₂ − y₁^eq− l₂) − k₁(y^eq₁ − l₁) = 0

m₂g − k₂(y^eq₂ − y^eq₁ − l₂) = 0 (1) Sommando le due equazioni si elimina y₂^eq:

(m1+ m2)g − k1(y₁^eq− l₁) = 0

1

da cui si ricava y^eq₁ da sostituire nel sistema 1:

( y₁^eq= l₁+ (m₁+ m₂)_k^g

1

y₂^eq= y₁^eq+ l₂+ m_2k^g

2 = l₁+ l₂+

m1+m2

k1 +^m_g² g

Per molle identiche di lunghezza a riposo nulla (l₁ = l₂= 0 e k₁ = k₂ = k) e masse identiche (m₁= m₂ = m) si ha:

( y₁^eq= ^2mg_k = _ω^2g2 0

y₂^eq= ^3mg_k = _ω^3g2 0

essendo ω₀²= k/m la pulsazione naturale di oscillazione della molla.

Se il soffitto inizia ad oscillare, la lunghezza della molla 1 sar`a data sia dalla coordinata y₁ della massa superiore che dalla posizione del soffitto a quell’istante:

 m1y¨1 = m1g − k1(y1− l₁− A cos ωt) + k₂(y2− y₁− l₂)

m2y¨2 = m2g − k2(y2− y₁− l₂) (2) Conviene introdurre le variabili spostamento z_i definite come:

 y1 = y₁^eq+ z1

y2 = y₂^eq+ z2

Sostituendo nel sistema 2 ed inserendo le condizioni di equilibrio trovate in precedenza, si ottiene:

 ¨z₁ = ω₀²(z₂− 2z₁) + ω₀²A cos ωt

¨

z₂ = ω₀²(z₁− z₂) (3)

A causa della presenza di una forza smorzante, ci`o che interessa `e la soluzione particolare (= soluzione a regime) di questo sistema di equazioni differenziali.

A regime ci aspettiamo una soluzione che oscilla con la frequenza ω della forzante. Per trovare le soluzioni conviene scrivere l’oscillazione esterna e la soluzione a regime come esponenziale complesso:

z1(t) = C1e^iωt , z2(t) = C2e^iωt Sostituendo in 3 si ottiene il sistema:

 (−ω²+ 2ω²₀)C1− ω₀²C2 = Aω²₀

−ω₀²C1+ (−ω²+ ω₀²)C2 = 0 che ha come soluzioni:







C₁ = _(ω2−ω^ω02(ω2^20−ω2) +)(ω²−ω₋²)A C2 = _(ω2−ω₊^2ω)(ω^{04 2}−ω₋²)A

2

dove sono state introdotte le due pulsazioni di risonanza:

(

ω₊² = ³⁺

√5 2 ω₀² ω₋² = ³⁻

√ 5 2 ω₀²

In figura sono rappresentati i moduli delle grandezze Ci in funzione della frequenza di oscillazione, o meglio della pulsazione, del punto di aggancio, avendo fissato la pulsazione naturale delle molle ω₀ = 1 rad/sec. Le zone nelle quali Ci < 0 indicano valori di ω per i quali la massa mi oscilla in controfase rispetto al pavimento.

Si noti, in particolare, il valore C₁ = 0 per la molla superiore quando ω = ω0, corrispondente ad una oscillazione del soffitto e della massa inferiore in controfase, con la massa centrale immobile.

In questo modello, le ampiezze tendono a infinito per ω−= 0.618 rad/sec e ω+= 1.618 rad/sec.

Figure 2:

3