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Oscillatore bidimensionale forzato ??

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Academic year: 2021

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5.103. OSCILLATORE BIDIMENSIONALE FORZATO??

PROBLEMA 5.103

Oscillatore bidimensionale forzato ??

Una massa m è collegata ad una molla di costante elastica k e lunghezza di riposo trascurabile, ed è libera di muoversi in un piano. Su di essa agisce una forza di attrito viscoso~F =−γ~v. L’altro estremo della molla viene spostato secondo la legge

x0(t) = a cos ωt y0(t) = b sin ωt

cioè su una ellisse di semiassi a e allineati agli assi coordinati. Determinare la traiettoria della massa a regime.

Soluzione

Scriviamo le equazioni del moto nella forma

m¨x+γ ˙x+kx = ka cos ωt m¨y+γ ˙y+ky = kb sin ωt e introduciamo la variabile complessa

z= x a +iy

b che dovrà soddisfare l’equazione

m¨z+γ ˙z+kz=keiωt A regime la soluzione è data da

z= k

2+iωγ+keiωt

Quindi nel piano di coordinate a1x, b1y la traiettoria è una circonferenza di raggio R=

k

2+iωγ+k

= p k

(k−2)2+γ2ω2 e nel piano di coordinate x, y troviamo un’ellisse di semiassi aR e bR.

303 versione del 22 marzo 2018

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