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Esercizi di Calcolo Vettoriale

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Academic year: 2021

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Esercizi di Calcolo Vettoriale

Esercitazioni di Fisica LA per ingegneri - A.A. 2004-2005 indirizzo e-mail: alessandro.tronconi@bo.infn.it

indirizzo internet per la didattica: https://ishtar.df.unibo.it/

Esercizio 1

La componenti dei vettori v1 e v2 lungo la direzione del vettore v3 sono rispettiva- mente 2 e 3 e il prodotto scalare della somma di v1 + v2 con v3 vale 30. Calcolare

|v3|. (R: 6)

Esercizio 2

Verificare che i vettori v1 = 13ˆi+13ˆj +13k e vˆ 2 = 16ˆi+16ˆj −26ˆk sono ortogonali e sono versori; trovarne un terzo, v3, che sia versore perpendicolare ad entrambi.

Infine, dato il vettore w12 di modulo 2, giacente sul piano cui appartengono pure v1

e v2, e formante angoli rispettivamente di π/3 e π/6 con v1 e v2, esprimerlo nella forma w12= a1v1+ a2v2 e in rappresentazione cartesiana. (R: v3 =12ˆi + 12ˆj)

Esercizio 3

Dati i vettori v1 = 3ˆi + 2ˆj, v2 =−5ˆk, v3 = ˆi + 2ˆj − 3ˆk, calcolare p = (2v1)1

5v2

·

v1− (v1 + v3)· v2. Calcolare inoltre i tre angoli fra di essi compresi. (R: p = −15)

Esercizio 4

Dati i vettori v1 e v2 con|v1| = 2 e |v2| = 3, determinare |v3| in modo che v1+v2+v3 = 0 essendo θ = 60 l’angolo fra v1 e v2. Calcolare inoltre l’angolo fra v1 e v3 e quello fra v2 e v3. (R:

19, 143.41, 156.59 )

Esercizio 5

Siano dati i due vettori v1 e v2 di modulo rispettivamente 5 e 3 e formanti un angolo di π/3 rad. Determinare le caratteristiche necessarie ad un versore v3 in modo che sia complanare ai due vettori dati e che

• (v1+ v2)· v3 = 0

• (v1+ v2)∧ v3 = 0

1

(2)

Esercizio 6

Determinare l’angolo fra i il vettore a = α(6ˆi − 3ˆj) e b = a + ˆi. Quanto vale il suddetto angolo nel limite α → ∞?

Esercizio 7

Siano dati due vettori uguali in modulo a e b, determinare il modulo e l’angolo fra essi compreso sapendo che il loro prodotto vettoriale ha modulo 16 e la loro somma ha modulo 4. (R: a = b = 2√

5, θ = arccos[−3/5])

Esercizio 8

Dato il campo vettoriale F (x, y) = 2xyˆi + 3y2ˆj definito sul piano xy determinare

∂F/∂x, ∂F/∂y. Sia poi data la curva di equazione y = x2 calcolare l’integrale curvilineo su di essa  P2

P1

F ·  dl in cui P1 : (0, 0), P2 : (1, 1) e dl ≡ dxˆi + dyˆj.

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