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Esercizi di Calcolo Vettoriale

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Academic year: 2021

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Esercizi di Calcolo Vettoriale

Esercitazioni di Fisica LA per ingegneri - A.A. 2011-2012 indirizzo e-mail: alessandro.tronconi@bo.infn.it

indirizzo internet per la didattica: https://ishtar.df.unibo.it/

Esercizio 1

La proiezioni dei vettori ~v1 e ~v2 lungo la direzione del vettore ~v3 misurano rispetti- vamente 2 m e 3 m e il prodotto scalare della somma di ~v1+ ~v2 con ~v3 vale 30 m2. Calcolare |~v3|.

(Ris: |~v3| = 6 m se −π/2 < θ13 < π/2 e −π/2 < θ23 < π/2 oppure |~v3| = 30 m se π/2 < θ13 < 3π/2 e −π/2 < θ23< π/2)

Esercizio 2

Verificare che i vettori ~v1 = 13ˆi+13ˆj +13k e ~vˆ 2 = 16ˆi+16ˆj −26ˆk sono ortogonali e sono versori; trovarne un terzo, ~v3, che sia versore perpendicolare ad entrambi.

Infine, dato il vettore ~w12 di modulo 2, giacente sul piano cui appartengono pure ~v1 e ~v2, e formante angoli rispettivamente di π/3 e π/6 con ~v1 e ~v2, esprimerlo nella forma ~w12= a1~v1+ a2~v2 e in rappresentazione cartesiana.

(Ris: ~v3 = ∓12ˆi ± 12ˆj; a1 = 1, a2 =√ 3)

Esercizio 3

Dati i vettori ~v1 = 3ˆi+2ˆj, ~v2 = −5ˆk, ~v3 = ˆi+2ˆj−3ˆk, calcolare p = (2~v1)∧ 15~v2 ·~v1− (~v1+ ~v3) · ~v2. Calcolare inoltre i tre angoli fra di essi compresi (espressi in radianti).

(Ris: p = −15, θ12= π/2, θ13= 1.03, θ23= 0.64)

Esercizio 4

Dati i vettori ~v1 e ~v2 con |~v1| = 2 e |~v2| = 3, determinare |~v3| in modo che ~v1+~v2+~v3 = 0 essendo θ12 = 60 l’angolo fra ~v1 e ~v2. Calcolare inoltre l’angolo fra ~v1 e ~v3 e quello fra ~v2 e ~v3.

(Ris: √

19, 143.41, 156.59)

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Esercizio 5

Siano dati i due vettori ~v1 e ~v2 di modulo rispettivamente 5 e 3 e formanti un angolo di π/3 rad. Determinare le caratteristiche necessarie ad un versore ~v3 in modo che sia complanare ai due vettori dati e che

• (~v1+ ~v2) · ~v3 = 0

• (~v1+ ~v2) ∧ ~v3 = ~0

(indicare gli angoli fra ~v3 ed i vettori dati)

(Ris: caso 1 - θ13 = π/2 ± 0.38, θ23 = π/2 ∓ 0.67; caso 2 - θ13 = 0.38, θ23 = 0.67 oppure θ13= π − 0.38, θ23= π − 0.67)

Esercizio 6

Determinare l’angolo θab fra i il vettore ~a = α(6ˆi − 3ˆj) e ~b = ~a + ˆi. Quanto vale il suddetto angolo nel limite α → ∞?

(Ris: θab = 0)

Esercizio 7

Siano dati due vettori uguali in modulo ~a e ~b, determinare il modulo e l’angolo fra essi compreso sapendo che il loro prodotto vettoriale ha modulo 16 e la loro somma ha modulo 4.

(Ris: a = b = 2√

5, θ = arccos[−3/5])

Esercizio 8

Le componenti cartesiane di un vettore ~v(t) delle dimensioni di una lunghezza e vari- abile nel tempo sono (c1t, c2t2− c3t3, c4) con c1 = 4 m/s, c2 = 5 m/s2, c3 = −1 m/s3 e c4 = −3 m. Determinare la derivata prima, ~a(t), e seconda, ~b(t), di ~v(t) rispetto al tempo. Calcolare quindi l’istante t0 6= 0 s in cui ~a(t0) e ~b(t0) sono simultaneamente non nulli ed ortogonali fra di loro.

(Ris: t0 = 10/3 s)

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Esercizio 9

Siano ~a e ~b due vettori di modulo rispettivamente 3 e 5. Le rette direttrici dei due vettori formano un angolo di π/4. Calcolare il prodotto scalare ~a ·~b.

(Ris: 15√ 2/2)

Esercizio 10

Siano ~a e ~b due vettori di componenti cartesiane (3, 7, 1) e (−1, 6, 0). Calcolare il seno dell’angolo θab compreso tra di loro.

(Ris: sin θab = 0.55)

Esercizio 11

Determinare il valore del parametro α per cui i due vettori ~a = 30ˆi + 2αˆj − ˆk e

~b = ˆi + 7ˆj + αˆk sono ortogonali.

(Ris: α = −30/13)

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