Teorema di Gauss per il campo gravitazionale
data una massa puntiforme
m
e una superficie chiusa e finitache racchiuda la massa
m
al suo interno il teorema di Gauss afferma che qualunque si hadetta “superficie gaussiana”
( ) G Φ
S
d
= ∫ Φ = ∫
SG dS ⋅ = − 4 πγ m
viceversa
Φ ( ) G = 0
esterna alla superficie gaussiana si ha
1
( ) 4 πγ
=
Φ = − ∑
n i iG m
se vi fossero piu’ masse all’interno della superficie sferica sia la forma della superficie
se la massa e’
Nota bene : la superficie gaussiana non e’ una superficie reale ! E’ una superfice fittizia definita da un equazione matematica
Superficie gaussiana sferica e concentrica alla massa
data una massa puntiforme m e una superficie sferica di raggio r
e dividiamo la superficie
ˆ
ndS = dSu
il flusso infinitesimo
d Φ
sulla superficie infinitesima
d Φ = ⋅ G dS G
dS
sara’
positivamente verso della sfera in superfici
2
ˆ
rd m u dS
γ r
Φ = − ⋅
2
ˆ
rˆ
nd m u dSu
γ r
Φ = − ⋅
ossia
m
2( ˆ
rˆ
n)
d dS u u
γ r
Φ = − ⋅
ma( u u ˆ
r⋅ ˆ
n) = ⋅ ⋅ 1 1 cos (0) = 1
dunque
dS
2d m
γ r Φ = −
( ) G Φ
S
d
= ∫ Φ = ∫
SG dS ⋅
del campo gravitazionale
per calcolare il flusso totale orientiamo la superficie sferica (gaussiana)
infinitesime orientate
sulla intera superficie sferica
m
concentrica alla massa
m
ˆ
ru
l’ esterno
occorrera’ integrare
r
G
dS
ˆ
nu
i versori
e punta sempre verso il centro
e rimarranno paralleli inoltre la distanza
r
rimarra’ la stessaquando si sceglie una seconda qualsiasi superficie infinitesima
G ˆr
u
ˆ
nu r
dSr
ˆ
r'u ˆ
n'u
' dS
' dS ˆ
n'u u ˆ
r'' G
viceversa se la massa e’
Φ ( ) G = 0
( ) 4 πγ
Φ = −
G m
Sfera 2
m dS
γ r
= − ∫
4 πγ m
= −
in conclusione
dato che la forza e’ centrale
dato che la sfera e’ concentrica alla massa
m
( ) G m
Φ
esterna alla superficie gaussiana si ha
2 Sfera
m dS
r
= − γ ∫
1
( ) 4 πγ
=
Φ = − ∑
n i iG m
se vi fossero piu’ masse all’interno della superficie sferica
QUALUNQUE
si puo’ dimostrare che i precedenti risultati sono veri sia la forma della superficie
