Teorema di Gauss per il campo gravitazionale
data una massa puntiforme
m
e una superficieΣ
chiusa e finitache racchiuda la massa
m
al suo interno il teorema di Gauss afferma che qualunque si hadetta “superficie gaussiana”
( ) G Φ
Σ
Σ
d
= ∫ Φ = ∫
ΣG dS ⋅ = − 4 πγ m
viceversa
Φ
Σ( ) G = 0
esterna alla superficie gaussiana si avrebbe
1
( ) 4
n
i i
G πγ m
Σ =
Φ = − ∑
se vi fossero piu’ masse all’interno della superficie gaussiana sia la forma della superficie
Σ
se la massa fosse
Nota bene : la superficie gaussiana non e’ una
superficie reale ma e’ una superficie fittizia definita da
un equazione matematica
superficie gaussiana sferica e concentrica alla massa data una massa puntiforme m e una superficie sferica S
fdi raggio r
e dividiamo la superficie
ˆ
ndS = dSu
positivamente verso
della sfera in superfici
orientiamo la superficie sferica
infinitesime orientate
m
concentrica alla massa m
ˆ
rl’ esterno u
r
G
dS
ˆ
nu
S
fCaso Particolare:
il flusso infinitesimo
d Φ
sulla superficie infinitesima
d Φ = ⋅ G dS
G dS
sara’
2
ˆ
rd m u dS
γ r
Φ = − ⋅
2
ˆ
rˆ
nd m u dSu
γ r
Φ = − ⋅
ossia
m
2( ˆ
rˆ
n)
d dS u u
γ r
Φ = − ⋅
ma
( u u ˆ
r⋅ ˆ
n) = ⋅ ⋅ 1 1 cos (0) = 1
dunque
dS
2d m
γ r Φ = −
f
( )
S
G
Φ
S f
= ∫ d Φ
S f= ∫ G dS ⋅
del campo gravitazionale
per calcolare il flusso totale sulla intera superficie sferica
occorrera’ integrare
m
ˆr u
r
G
dS
ˆ
nu
i versori
e punta sempre verso il centro
e rimarranno paralleli inoltre la distanza
r
rimarra’ la stessaquando si sceglie una seconda qualsiasi superficie infinitesima
G ˆr
u
ˆ
nu
r
dSr
ˆ
r'u
ˆ
n'u
' dS
' dS ˆ
n'u u ˆ
r'' G
viceversa se la massa e’
( ) 0
Sf
G
Φ = ( ) 4
Sf
G πγ m
Φ = −
Sfera 2
m dS
γ r
= − ∫
4 πγ m
= −
in conclusione
dato che la forza e’ centrale
dato che la sfera e’ concentrica alla massa
m
( ) m
Sf
G
Φ
esterna alla superficie gaussiana si ha
2 Sfera
m dS
r
= − γ ∫
da notare come
2
dS d r = Ω
Sfera
m d
γ
− ∫ Ω
quindi
= − 4 πγ m
1
( ) 4
f
n
S i
i
G πγ m
=
Φ = − ∑
se vi fossero piu’ masse all’interno della superficie sferica
