E’possibile introdurre delle basi e dei sistemi di coordinate anche in spazi vettoriali di dimensione in…nita? Questo è stato fatto da Hilbert, Riesz, von Neumann, ed altri

SP AZI DI HILBERT

DECOM P OSIZION I SP ET T RALI SV ILU P P I IN SERIE DI AU T OF U N ZION I

SIST EM I ORT ON ORM ALI E SERIE DI F OU RIER AN ALISI ARM ON ICA SU GRU P P I

F U N ZION I E DIST RIBU ZION I T RASF ORM AT E DI F OU RIER

EQU AZION I DIF F EREN ZIALI

NB: L’anonimo redattore ha volutamente inserito in questi appunti un certo numero di piccole imprecisioni e di grossolani errori ed omissioni, allo scopo di esercitare lo spirito critico degli eventuali lettori.

SP AZI DI HILBERT

In R^d ogni punto o vettore può essere scomposto in una somma v = ( ; ; :::; ) = (1; 0; 0; :::) + (0; 1; 0; :::) + (0; 0; 1; :::) + :::

e, per il teorema di Pitagora,

kvk =p ₂

+ ²+ ²+ ::::

I vettori (1; 0; 0; :::), (0; 1; 0; :::), (0; 0; 1; :::),... sono una base dello spazio e gli scalari , , ,... sono le coordinate del vettore ( ; ; ; :::) rispetto a questa base. E’possibile introdurre delle basi e dei sistemi di coordinate anche in spazi vettoriali di dimensione in…nita? Questo è stato fatto da Hilbert, Riesz, von Neumann, ed altri.

DEFINIZIONE:Un prodotto interno su uno spazio vettoriale complesso H è una funzione da H H in C con le seguenti proprietà: Per ogni x, y, z in H ed ogni e in C,

(1) < x; y >= < y; x >;

(2) < x + y; z >= < x; z > + < y; z >;

(3) < x; x > 0, e < x; x >= 0 se e solo se x = 0.

La norma di un vettore è kxk = p< x; x >. In uno spazio vettoriale reale, la condizione (1) si sempli…ca in < x; y >=< y; x >.

TEOREMA: Per ogni x e y si ha

j< x; y >j kxk kyk ; kx + yk kxk + kyk :

In particolare kxk de…nisce una norma e kx yk una distanza in H.

Dimostrazione: Se x; y 2 H e = < x; y >

j< x; y >jt, con t reale si ottiene 0 < x + y; x + y >=kxk²+ 2j< x; y >j t + kyk²t²:

Il discriminante di un polinomio quadratico positivo è negativo e da questo segue la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz,

j< x; y >j kxk kyk :

Dalla disuguaglianza di Cauchy-Schwarz si ricava la disuguaglianza tri- angolare,

kx + yk² =< x + y; x + y >=kxk²+ 2 Re < x; y > +kyk² kxk²+ 2kxk kyk + kyk² = (kxk + kyk)²:

COROLLARIO: Il prodotto interno < x; y > è una funzione continua delle variabili x e y.

Dimostrazione: Se x ! w e y ! z, allora < x; y >!< w; z >. Infatti, j< x; y > < w; z >j = j< x w; z > + < w; y z > + < x w; y z >j

kx wk kzk + kwk ky zk + kx wk ky zk : ESERCIZI:

Dimostrare che in uno spazio con prodotto interno vale l’identità del par- allelogramma

kx + yk²+kx yk² = 2kxk²+ 2kyk²:

Viceversa, dimostrare che se in uno spazio normato vale l’identità del parallelogramma, la norma proviene dal prodotto interno

< x; y >= 1

2 kx + yk² kxk² kyk² + i

2 kx + iyk² kxk² kyk² : DEFINIZIONE:Uno spazio di Hilbert è uno spazio vettoriale con prodotto interno, completo rispetto alla distanza de…nita dalla norma.

Ogni spazio metrico non completo può essere completato. Per ogni spazio metrico X esiste uno spazio metrico completo Y ed una isometria i : X ! Y con i(X) denso in Y . Gli elementi di Y sono le successioni di Cauchy fx(n)g in X, con distanza d^Y (fu(n)g ; fv(n)g) = limn!+1d_X(u(n); v(n)) e relazione di equivalenza fu(n)g fv(n)g se d^X (u(n); v(n)) ! 0. Ad ogni x in X si può associare una successione di Cauchy i(x) che converge ad x, per esempio la successione costante. Cioè, si può identi…care X con

le successioni i(X) che hanno limite in X. Per esempio, il completamento dei razionali sono i reali. In particolare, ogni spazio vettoriale con prodotto interno può essere completato, ed il completamento è uno spazio di Hilbert.

In analogia agli spazi euclidei, cerchiamo di introdurre negli spazi di Hilbert delle basi formate da sistemi ortonormali.

DEFINIZIONE: Il coseno dell’angolo # tra due vettori x e y è cos (#) = < x; y >

kxk kyk:

Se < x; y >= 0 i vettori x e y si dicono ortogonali tra loro. Un sistema ortogonale è un insieme di vettori ortogonali tra loro. Un sistema ortonor- male è un insieme di vettori ortogonali e di norma uno. Dato un insieme X di elementi di H, si denota con X^? l’insieme dei vettori ortogonali a tutti i vettori in X.

TEOREMA:(1) Per ogni insieme X, l’ortogonale X^? è un sottospazio chiuso.

(2) Un sistema di vettori ortonormali è linearmente indipendente.

(3) (Gram-Schmidt) Data una successione …nita o numerabile di vettori fvⁿg⁺¹n=1, è possibile costruire un sistema ortonormale che genera lo stesso spazio dei vettori fvⁿg⁺¹n=1. Questo sistema è de…nito da

u1 =kv¹k ¹v1; u_n= v_n

Xn 1 j=1

< v_n; u_j > u_j

1

v_n Xn 1

j=1

< v_n; u_j > u_j

! :

Dimostrazione: (1) Se u e v sono ortogonali a x, per ogni e , <

u + v; x >= < u; x > + < v; x >= 0. Se < un; x >= 0 e se fuⁿg ! u, anche < u; x >= limf< uⁿ; x >g = 0. (2) Se fuⁿg⁺¹n=1 è un sistema ortonormale e se ⁺¹P

n=1

nu_n = 0, allora

0 =<

X+1 n=1

nu_n; u_k>=

X+1 n=1

n< u_n; u_k >= _k:

(3) Se i vettori fu^jg^{n 1}j=1 sono ortonormali,

< v_n Xn 1

j=1

< v_n; u_j > u_j; u_k>

=< v_n; u_k >

Xn 1 j=1

< v_n; u_j >< u_j; u_k >

=< v_n; u_k > < v_n; u_k>= 0:

Quindi i vettori fu^jgⁿj=1 sono ortonormali. Siccome un sistema di vet- tori ortonormali è indipendente, questi vettori generano lo stesso sottospazio generato da fv^jgⁿj=1. Osserviamo che nel processo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt l’ordine è importante. Permutando il sistema fv^jgⁿj=1 si ot- tiene un diverso sistema ortonormale fu^jgⁿj=1.

ESEMPI:

(1) R^d=fx = (x¹; x2; :::; xd) : xj 2 Rg con il prodotto interno < x; y >=

Xd j=1

x_jy_j e C^d =fx = (x¹; x₂; :::; x_d) : x_j 2 Cg con il prodotto interno < x; y >=

Xd j=1

x_jy_j sono spazi di Hilbert ed i vettori uj = (:::; 0; 1_j; 0; :::) sono una base ortonormale. Più in generale, se la matrice f ^i;jg1 i;j d ha autovalori positivi e i;j = _j;i, X

1 i;j d

i;jx_iy_j è un prodotto interno.

(2) `²(Z) = (

x =fx(j)g⁺¹_{j= 1} : X+1 j= 1

jx(j)j² < +1 )

con il prodotto in-

terno < x; y >=

X+1 j= 1

x(j)y(j) è uno spazio di Hilbert, i vettori uj = (:::; 0; 1_j; 0; :::) sono un sistema ortonormale in `²(Z) e per ogni x si ha x =

X+1 j= 1

< x; u_j > u_j. Per dimostrare che lo spazio è completo, osserviamo che per ogni x e y in `²(Z) ed ogni j in Z si ha jx(j) y(j)j kx yk.

Quindi se fxⁿg⁺¹n=1 è una successione di Cauchy in `²(Z), fxⁿ(j)g⁺¹n=1 è una

successione di Cauchy C e converge a x(j). In…ne, per il lemma di Fatou, si ha

( ₊₁ X

j= 1

jxⁿ(j) x(j)j² )1=2

= ( ₊₁

X

j= 1

lim inf

m!+1jxⁿ(j) x_m(j)j² )1=2

lim inf

m!+1

( ₊₁ X

j= 1

jxⁿ(j) x_m(j)j² )1=2

sup

m>n

( ₊₁ X

j= 1

jxⁿ(j) x_m(j)j² )1=2

:

Quindi, kxⁿ xk sup_m>nkxⁿ x_mk ! 0 se n ! +1.

(3) Se (X; ; ) è uno spazio di misura, < '; >=

Z

X

'(x) (x)d (x) è un prodotto interno sullo spazio

L²(X; ; ) = (

'(x) misurabile; k'kL² = Z

X

j'(x)j²d (x)

1=2

< +1 )

:

Se X è …nito o numerabile e se associa la misura uno ad ogni punto, si ottengono gli spazi Cⁿ o `²(Z). Riesz e Fischer hanno dimostrato che L²(X; ; ) è completo e questo è forse il maggior pregio dell’integrale di Lebesgue. Al contrario, lo spazio delle funzioni Riemann integrabili su un in- tervallo non è completo e questa è forse la principale mancanza dell’integrale di Riemann. Comunque il completamento dello spazio delle funzioni integra- bili secondo Riemann è lo spazio delle funzioni integrabili secondo Lebesgue.

(4) La serie X+1 n=2

Xn 1 m=1

2 ⁿmin n;jx m=nj ¹ converge in 0 < x < 1 ad una funzione illimitata in un insieme denso di punti. Questa funzione è Lebesgue integrabile, ma non è Riemann integrabile in nessun intervallo 0 a < x < b 1.

(5) I seguenti sistemi di funzioni trigonometriche sono ortonormali in

L²[a; b]:

(b a) ¹⁼²exp 2 inx b a

+1

n= 1

;

(r 2

b asin n(x a) b a

)₊₁

n=1

;

(r 1

b a;

r 2

b acos n(x a) b a

)₊₁

n=1

:

(6) Ortonormalizzando in L²[ 1; +1]i monomi 1, x, x²,..., si ottengono i polinomi di Legendre:

P_n(x) =

pn + 1=2 2ⁿn!

dⁿ

dxⁿ x² 1 ⁿ

(7) Ortonormalizzando in L²[0; 1]le funzioni caratteristiche degli intervalli diadici [0; 1], [0; 1=2], [1=2; 1], [0; 1=4], [1=4; 1=2], [1=2; 3=4], [3=4; 1], [0; 1=8],..., si ottiene il sistema ortonormale di Haar: 0(x) = 1 e, se n = 2^k+ m con k 0 e 0 m < 2^k,

n(x) = 8<

:

2^k=2se m2 ^k< x < (m + 1=2)2 ^k,

2^k=2se (m + 1=2)2 ^k < x < (m + 1)2 ^k, 0altrimenti.

(8) Le funzioni np

(n + 1) = zⁿo+1

n=0 sono un sistema ortonormale nello spazio delle funzioni olomorfe in fjzj < 1g con il prodotto interno

< '; >=

ZZ

fx²+y²<1g

'(x + iy) (x + iy)dxdy:

Analogamente agli spazi L²(X; d ), si possono de…nire gli spazi L^p(X; d ) delle funzioni misurabili con

k'kL^p = Z

Xj'(x)j^pd (x)

1=p

< +1 se 0 < p < +1, k'kL¹ = supft : (fx 2 X : j'(x)j > tg) > 0g :

Gli spazi L^p(X; d ) con 1 p +1 sono spazi di Banach e k'kL^p

è una norma, mentre gli spazi L^p(X; d ) con 0 < p < 1 sono spazi metrici completi rispetto alla distanza k' k^pL^p. Vista l’importanza di questi spazi, presentiamo in dettaglio la dimostrazione della loro completezza, mostriamo cioè che le successioni di Cauchy in questi spazi hanno limite in questi spazi.

TEOREMA (Riesz-Fischer): Gli spazi L^p(X; ; ), 1 p +1, sono spazi metrici completi rispetto alle distanze k' kL^p. Se 0 < p < 1 sono spazi metrici completi rispetto alle distanze k' k^pL^p.

Dimostrazione: Da ogni successione di Cauchy f'ⁿ(x)g, si può estrarre una sottosuccessione 'nj(x) tale che 'nj '_{n Lp} 2 ^j per ogni n > nj. Se p = +1, per tutti gli x al di fuori di un insieme di misura nulla la serie '_n1(x) +

X+1 j=1

'_nj+1(x) '_nj(x) converge assolutamente ed uniformemente ad una funzione misurabile e limitata '(x), che si può porre uguale a zero dove la serie non converge. Questo limite puntuale della sottosuccessione '_nj(x) è anche il limite in norma di tutta la successione f'ⁿ(x)g. Infatti, per ogni n > nk e per quasi ogni x si ha

j'ⁿ(x) '(x)j

= ('_n(x) '_nk(x)) + '_nk(x) + X+1 j=k

'_nj+1(x) '_nj(x)

!

j'ⁿ(x) 'n_k(x)j + X+1

j=k

'nj+1(x) 'nj(x) 2 ^k+ X+1 j=k

2 ^j = 3 2 ^k:

Se 1 p < +1, per la disuguaglianza triangolare ed il lemma di Fatou, (Z

X

lim inf (

j'ⁿ¹(x)j + Xk

j=1

'nj+1(x) 'nj(x) ) ^p

d (x) )^1=p

lim inf (Z

X j'ⁿ¹(x)j + Xk

j=1

'nj+1(x) 'nj(x)

p

d (x) )^1=p

Z

Xj'ⁿ1(x)j^pd (x)

1=p

+ X+1

j=1

Z

X

'_nj+1(x) '_nj(x)^pd (x)

1=p

:

Quindi, per quasi ogni x la serie 'n1(x)+

X+1 j=1

'_nj+1(x) '_nj(x) converge assolutamente ad una funzione misurabile '(x) e questo limite puntuale della sottosuccessione 'nj(x) è anche il limite in norma di tutta la successione f'ⁿ(x)g. Infatti, per la disuguaglianza triangolare ed il lemma di Fatou, per ogni n > nk si ha

Z

X

j'ⁿ(x) '(x)j^pd (x)

1=p

Z

Xj'ⁿ(x) 'n_k(x)j^pd (x)

1=p

+ (Z

X

X+1 j=k

'nj+1(x) 'nj(x)

p

d (x) )1=p

Z

X

j'ⁿ(x) '_nk(x)j^pd (x)

1=p

+ X+1

j=k

Z

X

'_nj+1(x) '_nj(x) ^pd (x)

1=p

2 ^k+ X+1

j=k

2 ^j = 3 2 ^k:

In…ne, la dimostrazione per 0 < p < 1 è simile a quella per 1 p <

+1.

DEFINIZIONE:I coe¢ cienti di Fourier di un vettore x rispetto ad un sistema ortonormale fuⁿg sono de…niti dai prodotti interni f< x; uⁿ>g e la serie di Fourier è X

n

< x; u_n > u_n.

TEOREMA (delle proiezioni): Sia fuⁿg un sistema ortonormale in uno spazio non necessariamente completo.

(1) X

n2A

nu_n =sX

n2A

j ⁿj² per ogni insieme …nito di indici A.

(2) Le somme parziali della serie X

n

nu_nsono una successione di Cauchy se e solo se X

n

j ⁿj² < +1. Se poi la serie X

n

nun converge ad x, allora

n=< x; u_n >.

(3) Per ogni x ed ogni insieme di indici A,

x X

n2A

< x; u_n> u_n = s

kxk² X

n2A

j< x; uⁿ>j²:

In particolare, le somme parziali della serie di Fourier X

n2A

< x; u_n > u_n sono una successione di Cauchy e si avvicinano ad x al crescere di A.

(4) Le somme parziali della serie di Fourier X

n2A

< x; u_n > u_n sono la migliore approssimazione di x con combinazioni lineari di fuⁿg_n2A. Cioè, per ogni x, ogni insieme di indici A, ed ogni scelta di scalari f ⁿg_n2A,

x X

n2A

< x; u_n> u_n x X

n2A

nu_n : L’uguaglianza vale solo se n=< x; u_n > per ogni n.

(5) Il vettore X

n2A

< x; u_n > u_n è la proiezione ortogonale di x sul sot- tospazio generato da fuⁿgn2A e x X

n2A

< x; u_n> u_n è ortogonale al questo sottospazio.

Dimostrazione: (1) Per ogni insieme …nito di indici, X

n2A nu_n

2

=<X

n2A

nu_n;X

n2A

nu_n >= X

m2A

X

n2A

m n< u_m; u_n>=X

n2A

j ⁿj²: (2) Se A B,

X

n2B

nu_n X

n2A nu_n

2

= X

n2B A nu_n

2

= X

n2B A

j ⁿj²:

Quindi, X

n

nu_n converge se e solo se X

n

j ⁿj² converge. Se la serie X

n

nu_n converge a x, per la continuità del prodotto interno,

< x; u_n>=<X

m

mu_m; u_n >=X

m

m < u_m; u_n>= _n:

(3) Se A è un insieme …nito,

x X

n2A

< x; u_n> u_n

2

=< x X

m2A

< x; u_m > u_m; x X

n2A

< x; u_n> u_n>

=< x; x > 2X

n2A

< x; u_n > < x; u_n> + X

m2A

X

n2A

< x; u_m > < x; u_m > < u_m; u_n >

=kxk² X

n2A

j< x; uⁿ >j²:

In particolare,X

n2A

j< x; uⁿ >j² kxk². Questa disuguaglianza si estende immediatamente da insiemi di indici …niti ad insiemi in…niti. Quindi le somme parziali della serie X

n2A

< x; un > un sono una successione di Cauchy e si avvicinano ad x al crescere di A.

(4) Se A è un insieme …nito,

x X

n2A nu_n

2

=< x X

m2A

mu_m; x X

n2A

nu_n>

=< x; x > X

n2A

n < x; u_n > X

n2A

n< u_n; x > +X

m2A

X

n2A

m n< u_m; u_n>

=kxk² X

n2A

j< x; uⁿ>j²+X

n2A

j< x; uⁿ> _nj²: Il minimo di questa quantità si ha per n=< x; un>.

(5) L’operatore T (x) =X

n2A

< x; u_n > u_n è idempotente, T²(x) = T²(x).

Infatti

T²(x) = X

n2A

< T (x) ; u_n > u_n=X

n2A

< X

m2A

< x; u_m > u_m; u_n > u_n

= X

m2A

X

n2A

< x; u_m >< u_m; u_n > u_n =X

n2A

< x; u_n> u_n:

In…ne, x X

n2A

< x; u_n> u_n è ortogonale a um per ogni m in A,

< x X

n2A

< x; u_n> u_n; u_m >=< x; u_m > X

n2A

< x; u_n>< u_n; u_m >= 0:

Altra Dimostrazione di (4): In uno spazio di Hilbert reale, il minimo della distanza x

Xn j=1

ju_j

2

al variare di ( 1; ₂; :::; _n) in una opportuna sfera di Rⁿ esiste e si può trovare derivando:

@

@ _k x Xn

j=1 ju_j

2

= @

@ _k < x Xn

j=1

ju_j; x Xn

j=1

ju_j >

= 2 < x Xn

j=1

ju_j; u_k>= 2 ( _k < x; u_k>) :

La derivata è zero se e solo se k =< x; u_k >. Questa seconda di- mostrazione può essere generalizzata ad altri spazi funzionali. Per esempio, la migliore approssimazione in L^p(X; d ), 1 p < +1, di una funzione '(x) con combinazioni lineari

Xn j=1

j j(x)è caratterizzata dalle condizioni di ortogonalità

@

@ _k Z

X

'(x) Xn

j=1

j j(x)

p

d (x) = 0;

p Z

X

signum '(x) Xn j=1

j j(x)

! '(x)

Xn j=1

j j(x)

p 1

k(x)d (x) = 0:

Osserviamo che solo per p = 2 si ottiene una condizione lineare.

Riscriviamo alcuni enunciati del teorema precedente.

COROLLARIO (Disuguaglianza di Bessel e uguaglianza di Par- seval): Le somme parziali di una serie di Fourier X

n

< x; u_n > u_n conver- gono alla proiezione ortogonale di x sulla chiusura del sottospazio generato da fuⁿg. Si ha X

n

j< x; uⁿ>j² kxk² e vale l’uguaglianza se x appartiene alla chiusura del sottospazio lineare generato da fuⁿg.

L’uguaglianza di Parseval è una generalizzazione del teorema di Pitagora:

Se f< x; uⁿ > u_ng sono i cateti e x l’ipotenusa, la somma dei quadrati sui

catetiX

n

j< x; uⁿ>j² è uguale al quadrato sull’ipotenusa kxk². Nel teorema delle proiezioni non è sempre essenziale assumere la completezza dello spazio.

Questa serve solo a garantire l’esistenza dei limiti quando si hanno somme in…nite. Il teorema vale anche per sistemi ortonormali non numerabili. Se una serie a termini positivi converge, per ogni " > 0 il numero dei termini maggiori di " è …nito, quindi il numero dei termini diversi da zero è al più numerabile.

TEOREMA:Se fuⁿg è un sistema ortonormale in uno spazio di Hilbert H, le seguenti condizioni sono equivalenti:

1) fuⁿg è un sistema massimale di vettori ortonormali in H.

2) Le combinazioni lineari …nite di elementi in fuⁿg sono dense in H.

3) Ogni x in H è somma della sua serie di Fourier X

n

< x; u_n> u_n. 4) Per ogni x in H vale l’uguaglianza di Parseval kxk² =X

n

j< x; uⁿ>j². 5) Per ogni x e y in H si ha < x; y >=X

n

< x; u_n > < y; u_n>.

Dimostrazione: 1) ) 2). Se il sottospazio generato fuⁿg non è denso, esiste y in H con y X

n

< y; u_n > u_n 6= 0. Ma questo vettore è ortogonale ad fuⁿg.

2)) 3). Questo segue dal fatto che la serie di Fourier X

n

< x; u_n > u_n converge alla proiezione di x sottospazio generato fuⁿg.

3)) 4). Questo segue dal fatto che X

n

< x; u_n > u_n

2

=X

n

j< x; uⁿ>j². 4)) 5). Per ogni vettore x e y e scalare si ha

kx yk² =kxk²+j j²kyk² 2 Re < x; y > : Inoltre,

X

n

j< x y; u_n>j²

=X

n

j< x; uⁿ >j²+j j²X

n

j< y; uⁿ>j² 2 Re X

n

< x; u_n > < y; u_n >

! :

Se vale 4), allora Re < x; y > = Re X

n

< x; u_n> < y; u_n>

! , da cui si ricava < x; y >=X

n

< x; u_n > < y; u_n>.

5)) 1). 5) implica 4) e l’uguaglianza di Parseval implica che un vettore ortogonale a fuⁿg è nullo.

DEFINIZIONE:Una base ortonormale o sistema ortonormale completo è un sistema che soddisfa una delle condizioni del teorema precedente.

TEOREMA: Ogni sistema ortonormale può essere completato. In par- ticolare ogni spazio di Hilbert possiede una base ortonormale.

Dimostrazione: Se un sistema ortonormale non è massimale, esiste un el- emento di norma uno ortogonale al sistema. Se il vecchio sistema più il nuovo elemento non è massimale, si può trovare un sistema ortonormale ancora più grande. E così via... In…ne, il lemma di Zorn garantisce l’esistenza di una sua estensione massimale. Per spazi di Hilbert separabili la cardinalità di una base ortonormale è al più numerabile ed è possibile dare una costruzione esplicita di questa base a partire da una successione densa per mezzo del processo di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt.

P.S. Se è semplice mostrare che esistono sistemi ortonormali completi, può essere non essere banale dimostrare che un dato sistema è completo. Per es- empio, non è banale dimostrare che il sistema trigonometrico fexp (2 inx)g⁺¹_{n= 1} è completo in L²[0; 1].

COROLLARIO:Se fuⁿgn2A è un sistema ortonormale completo in H, l’applicazione lineare che ad ogni x in H associa la successione dei coe¢ cienti di Fourier f< x; uⁿ >gn2A è una isometria tra H e `²(A). In particolare, spazi di Hilbert con basi ortonormali della stessa cardinalità sono isometrici.

Se lo spazio è separabile, la cardinalità di una base è al più numerabile.

COROLLARIO: Se X è un sottospazio chiuso di uno spazio di Hilbert H e se X^? è il sottospazio ortogonale a X, esiste una ed una sola coppia di proiezioni lineari P : H!X e Q : H!X^? tali che

(1) kz P zk = inf fkz xk : x 2 Xg ; (2) kz Qzk = inf kz yk : y 2 X^? ;

(3) kzk² =kP zk²+kQzk²:

Dimostrazione: Scelto un sistema ortonormale fuⁱgi2A completo in X ed un sistema ortonormale fv^jgj2B completo in X^?, si de…nisce

P z =X

i

< z; ui > ui; Qz =X

j

< z; vj > vj:

ESEMPIO (Il metodo dei minimi quadrati): Data una nuvola di punti nel piano, (x1; y1), (x2; y2), (x3; y3),..., si cerca una retta y = mx + q il più vicino possibile a questi punti. Una possibile risposta al problema è la retta che rende minima la somma degli scarti quadrati P

jjy^j mx_j qj², cioè la proiezione del vettore Y = (y1; y2; y3; :::) sul sottospazio generato dai vettori X = (x1; x₂; x₃; :::) e I = (1; 1; 1; :::). Se = n ¹

Xn k=1

x_k e

2 = n ¹ Xn k=1

jx^k j² sono la media e la varianza di fx^jgⁿj=1, una base orto- normale per il sottospazio generato da I e X è data dai vettori n ¹⁼²I e n ^{1=2 1}(X I) e la proiezione di Y sul sottospazio generato da I e X è

n ¹ < Y; I > I + n ^{1 2} < Y; X I > (X I)

= n ^{1 2} < Y; X I > X + n ¹ < Y; I > n ^{1 2} < Y; X I > I:

Denotando con X, ²_X, y, _y², le medie e varianze di X e Y e con

2

XY = n ¹ Xn k=1

(x_{k X}) (y_{k Y})la covarianza, si trova quindi che la retta y = mx + q dei minimi quadrati per i punti f(x^j; y_j)gⁿj=1è de…nita da

m =

2 XY

2 X

; q = _{y X}

2 XY

2 X

:

Le funzioni di funzioni sono i funzionali, ed i funzionali più semplici sono quelli lineari.

TEOREMA (Riesz):Per ogni y in uno spazio di Hilbert H, l’applicazione x !< x; y > è un funzionale lineare continuo da H in C. Viceversa, se L : H!C è un funzionale lineare continuo, esiste uno ed un solo y in H tale che Lx =< x; y >.

Dimostrazione: Poniamo X= fx : Lx = 0g. Questo è un sottospazio chiuso e se L 6= 0 l’ortogonale ha dimensione uno. Esiste allora y in X^? con

Ly =< y; y >. Se z 2 H, decomponendo z = x + y, con x 2 X e 2 C, si ottiene

Lz = L(x + y) = Lx + Ly = Ly

= < y; y >=< x + y; y >=< z; y > :

Altra Dimostrazione: Ogni spazio di Hilbert è isometrico ad uno spazio di successioni a quadrato sommabile. In particolare, uno spazio di Hilbert con dimensione …nita è isometrico a Cⁿ, mentre uno spazio di Hilbert separabile è isometrico a `<sup>2</sup>(Z). È quindi su¢ ciente dimostrare il teorema per spazi di Hilbert di successioni. Più in generale, ci proponiamo di determinare tutti i funzionali continui sugli spazi vettoriali `^p(Z), 0 < p < +1,

`^p(Z) = 8<

:x =fx^jg⁺¹_{j= 1} :kxkp = ( ₊₁

X

j= 1

jx^jj^p )1=p

< +1 9=

;:

Se L è un funzionale lineare su `^p(Z) e se uj = (:::; 0; 1_j; 0; :::), de…niamo Lu_j = y_j e y = fy^jg⁺¹_{j= 1}. Allora, per la continuità e linearità del funzionale,

Lx = L X+1 j= 1

x_ju_j

!

= X+1 j= 1

x_jLu_j = X+1 j= 1

x_jy_j =< x; y > :

Assumendo l’esistenza di una costante c tale che jLxj ckxkp per ogni x, si veri…ca che la successione y deve essere tale

( ₊₁ X

j= 1

jy^jj^{p=(p 1)}

)(p 1)=p

c se 1 < p < +1 e sup 1<j<+1jy^jj cse 0 < p 1.

COROLLARIO: Ogni funzionale lineare continuo su un sottospazio di uno spazio di Hilbert può essere esteso ad un funzionale lineare continuo sull’intero spazio.

Dimostrazione: Un funzionale lineare continuo L su un sottospazio X di uno spazio di Hilbert H può essere esteso per continuità ad un funzionale lineare sulla chiusura del sottospazio. Questa chiusura X è uno spazio di Hilbert e, per il teorema di rappresentazione di Riesz, esiste y in X tale che Lx =< x; y > per ogni x in X. In…ne, l’espressione Lx =< x; y > è ben de…nita per ogni x in H e de…nisce una estensione del funzionale su X, che

si annulla su X^?. Tutte le altre possibili estensioni si ottengono a partire da questa aggiungendo un funzionale su X^? nullo su X.

Il teorema di rappresentazione dei funzionali lineari garantisce l’esistenza e l’unicità di soluzioni di equazioni < y; z >= Lz quando L è un funzionale lineare continuo.

ESEMPIO (Il teorema di Radon-Nikodim): Se e sono mis- ure positive e …nite su uno stesso spazio di misura (X; ) e se v è asso- lutamente continua rispetto a , cioè se da (A) = 0 segue (A) = 0, allora esiste una funzione integrabile '(x) tale che per ogni insieme mis- urabile B, (B) =

Z

B

'(x)d (x). Von Neuman ha mostrato come derivare questo teorema dal teorema di rappresentazione di Riesz. Il funzionale lineare L( ) =

Z

X

(x)d (x)è limitato in L²(X; d( + )), Z

X

(x)d (x)

Z

X

d (x)

1=2 Z

Xj (x)j²d (x)

1=2

f (X)g¹⁼² Z

X

j (x)j²d ( + ) (x)

1=2

: Esiste quindi una funzione (x) tale che

Z

X

(x)d (x) = Z

X

(x) (x)d ( + ) (x);

Z

X

(x) (1 (x)) d (x) = Z

X

(x) (x)d (x):

Si può mostrare che 0 < (x) 1 quasi ovunque rispetto a . Quindi, posto (x) = (x)= (x) e '(x) = (1 (x)) = (x), si ha

Z

X

(x)d (x) = Z

X

(x)'(x)d (x):

Questo risultato si estende immediatamente a misure …nite e con segno.

ESEMPIO (Soluzioni deboli di equazioni di¤erenziali): Dati un dominio limitato in R^d, una matrice A(x) = fa^i;j(x)g1 i;j d e due funzioni B(x) e C(x) continue in , consideriamo il problema di Dirichlet

div (A(x)ry(x)) + B(x)y(x) = C(x) se x 2 , y(x) = 0 se x 2 @ .

Se y(x) è soluzione dell’equazione, per ogni funzione z(x) di¤erenziabile con continuità ed a supporto compatto in , si ha

Z

( div (A(x)ry(x)) + B(x)y(x)) z(x)dx = Z

C(x)z(x)dx:

Viceversa, se y(x) non è soluzione dell’equazione di¤erenziale, esiste una funzione z(x) per cui non vale l’uguaglianza tra gli integrali. Integrando per parti, questa equazione prende la forma < y; z >= Lz, con

< y; z >=

Z

(A(x)ry(x) rz(x) + B(x)y(x)z(x)) dx;

Lz = Z

C(x)z(x)dx:

Se la matrice A(x) è de…nita positiva e la funzione B(x) è positiva in , < y; z > è un prodotto interno nello spazio delle funzioni di¤erenziabili con continuità ed a supporto compatto in . Questo spazio non è completo rispetto alla distanza indotta dal prodotto interno, comunque il completa- mento è ancora uno spazio di funzioni, lo spazio di Sobolev H ( ). In…ne, il funzionale lineare L risulta continuo nella norma dello spazio. Quindi, per il teorema di rappresentazione di Riesz, esiste una ed una sola y in H ( ) tale che per ogni z in H ( ) si ha < y; z >= Lz. Sotto opportune ipotesi di regolarità del dominio e delle funzioni A(x), B(x), C(x), questa soluzione debole è una funzione regolare ed è quindi anche una soluzione in senso clas- sico.

DECOM P OSIZION E SP ET T RALE

DI OP ERAT ORI AU T OAGGIU N T I COM P AT T I

Il teorema spettrale in algebra lineare asserisce che una matrice quadrata reale e simmetrica ha tutti gli autovalori reali e gli autovettori associati ad autovalori distinti sono ortogonali. Con opportune rotazioni che allineano gli autovettori con gli assi, la matrice si diagonalizza e l’operatore lineare associato alla matrice prende la forma diagonale T x = X

n

n < x; y_n >

y_n, con f ⁿg gli autovalori e fyⁿg una base ortonormale di autovettori. Ci proponiamo di estendere questo risultato da spazi vettoriali di dimensione

…nita a spazi di dimensione in…nita.

TEOREMA: Un operatore lineare T da uno spazio di normato X in uno spazio normato Y è continuo se e solo se è limitato, cioè se esiste una costante c tale che per ogni x in X si ha kT xkY ckxkX.

Dimostrazione: Se T è lineare e limitato si ha

kT xⁿ T xkY =kT (xⁿ x)kY ckxⁿ xkX :

Se fxⁿg ! x, anche fT xⁿg ! T x e quindi T è continuo. Viceversa, se T non è limitato, per ogni n esiste xn con kT xⁿkY > nkxⁿkX e de…nendo zn = n ¹kxⁿkX¹xn si ottiene una successione fzⁿg convergente a zero con fT zⁿg non convergente a zero, quindi T non è continuo.

DEFINIZIONE: La norma di un operatore lineare T limitato da X in Y è de…nita da kT k_X!Y = sup_x2XkT xkY =kxkX.

Nel seguito considereremo solo operatori lineari da uno spazio di Hilbert in sè. Una proprietà più forte della limitatezza è la compattezza.

DEFINIZIONE:Un operatore lineare continuo è compatto se trasforma insiemi limitati in insiemi relativamente compatti, cioè T è compatto se data una successione fxⁿg limitata, da fT xⁿg è possibile estrarre una sottosuc- cessione convergente.

TEOREMA:

(1) La somma di due operatori compatti è compatta.

(2) La composizione di un operatore compatto ed uno limitato è compatta.

(3) Ogni operatore lineare limitato con rango di dimensione …nita è com- patto.

(4) Il limite di una successione di operatori compatti è compatto. Cioè, se fTⁿg è una successione di operatori compatti che converge ad un operatore T, kTⁿ Tk ! 0, allora T è compatto.

Dimostrazione: La somma di due insiemi relativamente compatti è rela- tivamente compatta. Questo dimostra (1). Un operatore limitato trasforma insiemi limitati in insiemi limitati ed insiemi relativamente compatti in in- siemi relativamente compatti. Da questo segue (2). Un operatore limitato trasforma insiemi limitati in limitati e in dimensione …nita gli insiemi limitati sono relativamente compatti. Questo dimostra (3). La dimostrazione di (4) utilizza il procedimento diagonale di Cantor. Data fxⁿg una successione lim- itata, si può estrarre una sottosuccessione fx^1;ng con fT¹x_1;ng convergente.

Da questa sottosuccessione si può estrarre una sottosottosuccessione fx^2;ng con fT²x2;ng convergente... La successione diagonale fT x^n;ng è di Cauchy, infatti

kT x^m;m T x_n;nk k(T T_k) (x_m;m x_n;n)k + kT^k(x_m;m x_n;n)k kT T_kk kx^m;m x_n;nk + kT^kx_m;m T_kx_n;nk :

Il primo addendo si può rendere piccolo pur di prendere k grande. Una volta …ssato k, la successione fT^kx_n;ng è di Cauchy, quindi si può rendere piccolo il secondo addendo pur di prendere m ed n grandi.

TEOREMA: Se T è un operatore lineare continuo da uno spazio di Hilbert H in sé, per ogni y in H esiste uno ed un solo elemento T y in H tale che per ogni x si ha < T x; y >=< x; T y >. L’applicazione y 7 ! T y è un operatore lineare continuo e kT k = kT k.

Dimostrazione: L’applicazione x 7 !< T x; y > de…nisce un funzionale lineare continuo su H e per il teorema di rappresentazione di Riesz si ha

< T x; y >=< x; T y > per un opportuno T y in H. È semplice veri…care che questa applicazione è lineare e continua.

DEFINIZIONE: L’operatore aggiunto T di un operatore lineare con- tinuo T è de…nito da < T x; y >=< x; T y > per ogni x e y in H. Un opera- tore lineare si dice autoaggiunto o hermitiano se T = T , cioè < T x; y >=<

x; T y >.

ESEMPIO: Per ogni numero complesso si ha ( T ) =

_

T . Ogni operatore limitato T su uno spazio di Hilbert è somma dei due operatori autoaggiunti (T + T ) =2 e (T T ) =2i.

ESEMPIO: Ad ogni operatore lineare continuo T su uno spazio di Hilbert e ad ogni sistema ortonormale completo fuⁿg, è associata la matrice in…nita f< T u^m; u_n>g e si ha

T x =X

n

< T X

m

< x; u_m > u_m

!

; u_n > u_n

=X

n

X

m

< x; u_m >< T u_m; u_n> u_n:

Cioè, il vettore f< T x; uⁿ >g è prodotto del vettore f< x; u^m >g per la matrice f< T u^m; u_n>g. La matrice associata all’operatore aggiunto T è coniugata e trasposta di quella associata a T , < T um; u_n >=< u_m; T u_n >=

< T u_n; u_m >. Gli operatori di Hilbert-Schmidt sono gli operatori associati a matrici con norma quadratica …nita. La norma di questi operatori è limitata dalla norma di Hilbert-Schmidt della matrice,

kT xk = 8<

: X

n

X

m

< x; u_m >< T u_m; u_n>

29

=

;

1=2

(X

m

j< x; u^m >j²

)1=2( X

m

X

n

j< T u^m; u_n>j² )1=2

:

Questa norma dipende solo dall’operatore e non dal sistema ortonormale.

Infatti, se fuⁿg e fvⁿg sono sistemi ortonormali completi, X

m

X

n

j< T u^m; u_n >j² =X

m

kT u^mk²

=X

m

X

n

j< T u^m; v_n >j² =X

m

X

n

j< u^m; T v_n>j²

=X

n

kT vⁿk² =X

m

X

n

j< vⁿ; T v_m >j².

La condizione X

m

kT u^mk² < +1 implica che kT u^mk ! 0. In un certo senso, solo un numero limitato di fuⁿg danno un contributo signi…cativo

all’immagine e questo suggerisce la possibilità di approssimare gli operatori con norma di Hilbert-Schmidt …nita con operatori di rango …nito,

T_Nx =XX

m+n N

< x; u_n>< T u_n; u_m > u_m;

kT T_Nk

(XX

m+n>N

j< T uⁿ; u_m >j² )1=2

:

Quindi questi operatori sono compatti. In particolare, per operatori in- tegrali su L²(X; d ) del tipo

T '(x) = Z

X

K(x; y)'(y)d (y);

i coe¢ cienti di matrice < T um; u_n > sono i coe¢ cienti di Fourier del nu- cleo K(x; y) rispetto al sistema n

u_n(x)u_m(y)o

ortonormale completo nelle variabili x e y. Quindi, la norma di Hilbert-Schmidt è

Z

X

Z

XjK(x; y)j²d (x)d (y)

1=2

:

L’operatore è autoaggiunto se K(x; y) = K(y; x). Viceversa, ogni oper- atore di Hilbert-Schmidt su L²(X; d ) è un operatore integrale con nucleo a quadrato integrabile X

m

X

n

< T u_m; v_n > u_n(x)u_m(y). Questi operatori integrali nascono in modo naturale come inversi di certi operatori di¤eren- ziali. Le soluzioni di certe equazioni di¤erenziali lineari non omogenee con opportune condizioni al contorno si ottengono applicando un opportuno op- eratore integrale al termine noto dell’equazione, cioè, se Du(x) = '(x) con D operatore di¤erenziale, allora u(x) = D ¹'(x), con D ¹ operatore integrale.

L’operatore di¤erenziale può non essere continuo, e neanche de…nito su tutte le funzioni, ma in generale l’operatore integrale associato ha delle proprietà migliori.

DEFINIZIONE: Il risolvente (T ) di un operatore lineare continuo su H è l’insieme di tutti i numeri complessi tali che I T è invertibile e lo spettro (T ) è il complementare del risolvente. Un numero è un autovalore ed un vettore non nullo x è un autovettore se T x = x.

Gli autovalori sono contenuti nello spettro, ma lo spettro può essere più grande dell’insieme degli autovalori.

ESEMPIO: A ogni operatore lineare T su C^d è associata una matrice d d. Lo spettro è formato da autovalori e questi sono gli zeri del deter- minante della matrice I T. Gli operatori autoaggiunti hanno autoval- ori reali e gli autovettori corrispondenti sono una base ortonormale dello spazio. Rispetto a questa base la matrice associata all’operatore è diagonale.

L’operatore trasforma la sfera fkxk = 1g in un ellissoide con semiassi uguali agli autovalori e la norma dell’operatore è il semiasse maggiore.

ESEMPIO: In L²(X; d ) de…niamo l’operatore di moltiplicazione per una funzione M '(x) = (x) '(x). Se la funzione (x) è essenzialmente limitata l’operatore è limitato e la norma dell’operatore è l’estremo supe- riore essenziale della funzione. L’aggiunto M è la moltiplicazione per la funzione coniugata (x), quindi l’operatore è autoaggiunto se la funzione è reale. L’operatore I M è invertibile se e solo se la funzione ( (x)) ¹ è essenzialmente limitata e lo spettro di M è il rango essenziale di (x). Se (x)non è zero su un insieme di misura positiva non è un autovalore, se (x) non è costante su insiemi di misura positiva non ci sono autofunzioni.

In generale un operatore di moltiplicazione non è compatto, con una possibile eccezione quando lo spazio X è discreto. Se la successione f ⁿg⁺¹n=0 tende a zero, l’operatore che trasforma f ⁿg⁺¹n=0 in f ^{n n}g⁺¹n=0 è compatto su `²(N).

ESEMPIO: Se fuⁿg è un sistema ortonormale completo in uno spazio di Hilbert e f ⁿg una successione numerica limitata, de…niamo

T x =X

n

n < x; u_n > u_n:

Intuitivamente, questo operatore trasforma la sfera kxk 1 in un ellis- soide con semiassi di direzioni fuⁿg e lunghezza f ⁿg. La norma di questo operatore è sup_nfj ⁿjg. Infatti, kT uⁿk = j ⁿj kuⁿk e per ogni x,

kT xk =

(X

n

j ⁿ < x; u_n >j² )1=2

sup

n j ⁿj

(X

n

j< x; uⁿ >j² )1=2

= sup

n j ⁿj kxk :

In particolare, le somme parziali T"x = X

fj nj "g

n < x; u_n > u_n approssi- mano T a meno di ", kT T_"k. Se la successione f ⁿg tende a zero, cioè se per ogni " > 0 esiste solo un numero …nito di n con j ⁿj ", l’operatore T è limite di operatori con rango …nito, quindi è compatto. Il sistema orto- normale fuⁿg è un sistema di autofunzioni con autovalori f ⁿg. Lo spettro dell’operatore è la chiusura dell’insieme degli autovalori e se, 2 f= ⁿg, si ha

( I T ) ¹x =X

n

( _n) ¹ < x; u_n> u_n:

In…ne, l’operatore aggiunto di T è T y =X

n

n < y; un > un. Infatti,

< T x; y >=X

n

n< x; u_n > < y; u_n > =< x;X

n

n< y; u_n> u_n> : In particolare, se la successione f ⁿg è reale l’operatore è autoaggiunto.

In de…nitiva abbiamo mostrato che, dati un sistema ortonormale completo fuⁿg ed una successione reale convergente a zero f ⁿg, l’operatore T x = X

n

n < x; u_n > u_n è autoaggiunto e compatto. Vedremo che vale il vicev- ersa, ogni operatore autoaggiunto compatto è di questo tipo.

LEMMA:

1) Se T è un operatore lineare limitato con kT k < 1, allora I T è invertibile e (I T ) ¹ =

X+1 n=0

Tⁿ.

2) Se T è invertibile e kT Sk < kT ¹k ¹, anche S è invertibile.

Dimostrazione: Poiché kTⁿk kT kⁿ, la serie X+1 n=0

Tⁿ converge e se N ! +1,

(I T ) XN n=0

Tⁿ= I T^{N +1}! I:

Se kT Sk < kT ¹k ¹, allora kT ¹(T S)k < 1 e

S ¹ = (T T + S) ¹ = T I T ¹(T S) ¹

= I T ¹(T S) ¹T ¹ = X+1 n=0

T ¹(T S) ⁿT ¹: LEMMA:

1) Lo spettro di un operatore lineare limitato T è un compatto contenuto in fj j kT kg.

2) Gli autovalori di un operatore autoaggiunto sono reali ed autovettori corrispondenti ad autovalori distinti sono ortogonali.

3) Se T è un operatore autoaggiunto e se Y è un sottospazio invariante per T , cioè T (Y ) Y, allora T (Y^?) Y^?.

Dimostrazione: Lo spettro è limitato: Se j j > kT k, I T è invertibile e l’inverso è dato dalla serie di Neumann

( I T ) ¹ = ¹(I ¹T ) ¹ = X+1 n=0

n 1Tⁿ:

Il risolvente è aperto: Se I T è invertibile e se j j k( I T ) ¹k < 1, ( I T ) ¹ = (( )I + ( I T )) ¹ = ( I T ) ¹(I ( )( I T ) ¹) ¹:

Gli autovalori sono reali: Se T y = y, allora

< y; y >=< T y; y >=< y; T y >= < y; y > : Gli autovettori sono ortogonali: Se T y = y e se T z = z, allora

< y; z >=< T y; z >=< y; T z >= < y; z > :

L’ortogonale di un sottospazio invariante è invariante: Se T (Y ) Y, se y2 Y e se z 2 Y^?, allora < T z; y >=< z; T y >= 0. Quindi T z 2 Y^?.

Di fatto, per operatori autoaggiunti vale un risultato più preciso: Lo spettro è reale ed il raggio spettrale è uguale alla norma dell’operatore.

Nella disuguaglianza di Cauchy vale l’uguaglianza j< T y; y >j = kT yk kyk se e solo se y e T y sono allineati, cioè y è un autovettore di T . Questo sug- gerisce di confrontare j< T y; y >j = kyk² con kT yk = kyk.

LEMMA: Se T è un operatore autoaggiunto e se Y è un sottospazio chiuso ed invariante di H, cioè T (Y ) Y, allora

sup

(sj< T y; T y >j

< y; y > : y 2 Y )

= sup j< T y; y >j

< y; y > : y 2 Y; :

Dimostrazione: Indichiamo con A = kT k la quantità a sinistra e con B quella a destra. Per la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, j< T y; y >j kT yk kyk Akyk². Quindi B A. Siccome T è autoaggiunto, < T y; y >=<

y; T y >= < T y; y > è reale e si ha

< T (x + y); x + y >=< T x; x > +2 Re < T x; y > + < T y; y >

Bkx + yk² = B kxk²+ 2 Re < x; y > +kyk² ;

< T (x y); x y >= < T x; x > +2 Re < T x; y > < T y; y >

Bkx yk² = B kxk² 2 Re < x; y > +kyk² : Sommando,

4 Re < T x; y > 2B kxk²+kyk² :

Se kxk = 1 e se y = kT xk ¹T x, si ottiene kT xk B. Quindi A B.

LEMMA (Principio di Rayleigh):Se T è un operatore autoaggiunto compatto, Y un sottospazio chiuso T invariante, T (Y ) Y, e se A è la norma dell’operatore T su Y , A = sup_y2Y kT yk = kyk, allora o A o A è un autovalore di T ed esiste y 2 Y con kyk = 1 e T y = Ay.

Dimostrazione: Per il lemma precedente esiste una successione fyⁿg di vettori unitari in Y con f< T yⁿ; y_n >g ! A. Assumendo per esempio che per una opportuna sottosuccessione il limite sia +A, per la compattezza dell’operatore si può estrarre una sottosuccessione T ynj ! z e si ha z 2 Y , kzk A. Inoltre,

T y_nj Ay_nj ² = T y_nj ² 2A Re < T y_nj; y_nj > +A² y_nj ²: Quindi n

T y_nj Ay_nj ²o

! kzk² A² 0. Concludendo, anche la successione ynj è convergente, ynj ! y e T y = Ay.

TEOREMA (Hilbert-Schmidt): Ogni operatore autoaggiunto e com- patto su uno spazio di Hilbert ha un sistema ortonormale completo di au- tovettori e la successione degli autovalori converge a zero. In particolare,

ogni operatore autoaggiunto compatto può essere diagonalizzato. Se f ⁿg e fyⁿg sono gli autovalori ed un sistema ortonormale completo di autovettori, allora

T x = X

n

n< x; y_n > y_n:

Dimostrazione: Il lemma precedente mostra che esiste almeno un autovet- tore y1 con autovalore 1 = kT k. Dati un certo numero di autovettori e posto Y il sottospazio generato da questi, si ha T (Y ) Y e T (Y^?) Y^?. Per il lemma applicato all’operatore T ristretto a Y^?, esiste un altro au- tovettore ortogonale ai precedenti. In questo modo si ottiene una succes- sione ortonormale di autovettori fyⁿg⁺¹n=1 con autovalori f ⁿg⁺¹n=1. Inoltre kT k = j ¹j j ²j j ³j :::, perché riducendo il dominio la norma di un operatore non cresce. Siccome la successione degli autovettori fyⁿg⁺¹n=1è limitata e l’operatore T è compatto, la successione fT yⁿg⁺¹n=1 ha una sotto- successione convergente. Ma T yn= nyn e k ^mym nynk =p ₂

m+ ²_n. Si può concludere che ogni autovalore non nullo ha molteplicità …nita e che la successione degli autovalori converge a zero. Eventualmente 0 può essere un autovalore con molteplicità …nita o in…nita e nell’autospazio con autovalore zero si può scegliere in modo arbitrario un sistema ortonormale che completa il nostro sistema di autovettori. La completezza del sistema di tutti questi autovettori viene dalla costruzione degli stessi. Se un sottospazio ortogonale ad un insieme di autovettori non si riduce a zero, allora in questo sottospazio c’è un autovettore.

Un modo equivalente di interpretare il teorema spettrale è il seguente. Se fyⁿg_n2Nè un sistema ortonormale completo di autovettori di T , l’operatore U che trasforma x nella successione f< x; yⁿ>g è una isometria da H in `²(N) e si ha T = U ¹M U, con M operatore di moltiplicazione che manda f ⁿg in f ^{n n}g. Esiste anche un teorema spettrale per operatori non compatti, ma è più complicato. Ogni operatore autoaggiunto, anche non compatto, su uno spazio di Hilbert può essere fattorizzato T = U ¹M U, con U isometria da H in un opportuno spazio L²(X; d )ed M operatore di moltiplicazione. Per mezzo del teorema spettrale è possibile de…nire le funzioni di un operatore, F (T )x = X

n

F ( _n) < x; y_n > y_n. Se la funzione F ( ) è limitata in intorno dell’origine allora l’operatore F (T ) è limitato, kF (T )k = supnfjF ( ⁿ)jg. Se F ( )! 0 quando ! 0, allora F (T ) è compatto. Se T è un operatore lineare limitato autoaggiunto su uno spazio di Hilbert H, esiste una misura dE con