ALGEBRA 1 AA. 2020/2021 FOGLIO ESERCIZI 6
MARTINA LANINI
(1) Si calcolino M CD(a, b) e una identit`a di B´ezout corrispondente per i seguenti valori di a e b:
(a, b) = (1245, 56), (a, b) = (527, −341), (a, b) = (−662, 414, ).
Negli esercizi seguenti le uguaglianze che coinvolgono MCD vanno intese come
“sono associati” anzich´e “sono uguali”.
(2) Sia | la relazione di divisibilit`a. Siano a, b ∈ Z tali che M CD(a, b) = 1.
(a) Si dimostri che per ogni c ∈ Z tale che a|c e b|c vale (ab)|c.
(b) Quanto dimostrato al punto precedente sarebbe vero se l’ipotesi M CD(a, b) = 1 venisse meno?
(3) Sia n ∈ Z+ e sia ≡n la relazione di congruenza modulo n su Z. Sia inoltre | la relazione di divisibilit`a su Z. Siano d, a, b ∈ Z tali che d|n e a ≡nb. Si dimostri che
(a) d|a se e solo se d|b,
(b) M CD(a, n) = M CD(b, n).
(4) Siano a, b, c ∈ Z. Si dimostri che M CD(ab, c) = 1 se e solo se M CD(a, c) = 1 e M CD(b, c) = 1.
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