Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica M/Z
Prova scritta di Analisi Matematica 1 del 24 febbraio 2018 – A
(1) Delle soluzioni in campo complesso dell’equazione z2 + (i − 1)z + i = 0 a nessuna appartiene al secondo quadrante
c una appartiene all’asse reale
b una appartiene al quarto quadrante d nessuna delle precedenti
(per rispondere alla domanda `e sufficiente valutare il segno della parte reale e immaginaria delle soluzioni)
(2) La successione an = (2n)αn
n3· n! per n → +∞
a converge per ogni α ≤ 1 c diverge per ogni α > 0
b converge se e solo se α = 1 d nessuna delle precedenti
(3) La funzione f (x) =
(ex cos x−cosh x+α sin2x
x se x > 0
(1 + 3x2)β se x ≤ 0 nel punto x0 = 0 a `e continua ma non derivabile per ogni α, β ∈ IR
c `e derivabile solo per α = 6β
b `e continua solo per α = 0 d nessuna delle precedenti (4) Il volume massimo di un cono circolare retto inscritto in una sfera di raggio 3 `e
a maggiore di 10π c minore di 2π
b compreso tra 8π e 10π d nessuna delle precedenti
(si ricorda che il volume di un cono di raggio r e altezza h `e π3r2h)
(5) L’integrale improprio Z +∞
9
√ 1
x3(x − 4)dx vale a +∞
c 14log 5 − 13
b √1
3
d nessuna delle precedenti
(6) La serie
+∞
X
n=1
3n
1
1 − 31n
− e3nα
converge
a per ogni α > 0 c solo per α = 1
b per nessun α ∈ IR d nessuna delle precedenti
Soluzione
(1) La risposta esatta `e b . Abbiamo infatti che l’equazione z2 + (i − 1)z + i = 0 `e equazione di secondo grado a coefficienti complessi della forma az2+ bz + c = 0 con a, b, c ∈ C. Per determinarne le soluzioni possiamo applicare la formula
z±= −b±
√
∆ 2a
dove con ±√
∆ si sono denotate le due radici complesse del numero ∆ = b2− 4ac (osservato che se z `e una radice quadrata di ∆ ∈ C, allora −z sar`a anch’essa una radice). Nel nostro caso a = 1, b = i − 1 e c = i, quindi ∆ = (i − 1)2− 4i = −6i = 6(cos3π2 + i sin3π2 ) `e un numero complesso e le due radici quadrate di ∆ saranno date da
±√
∆ = ±√
6 cos3π4 + i sin3π4 = ±√ 6
−
√2 2 +
√2 2 i
= ±√
3 (i − 1) . Le soluzioni dell’equazione sono quindi
z± = −b±
√
∆
2a = i−1±
√ 3(i−1) 2
ovvero
z−= i−1−
√ 3(i−1)
2 =
√3−1
2 −
√3−1
2 i e z+ = i−1+
√ 3(i−1)
2 = −1+
√3 2 + 1+
√3 2 i Dato che √
3 > 1, otteniamo che z− cade nel quarto quadrante del piano complesso mentre z+ nel secondo.
(2) La risposta esatta `e d . Per calcolare il limite della successione (2n)n3·n!αn al variare di α ∈ IR applichiamo il criterio del rapporto. Per n → +∞ abbiamo
an+1
an = (2n + 2)αn+α
(n + 1)3· (n + 1)! · n3· n!
(2n)αn
= 2n + 2 2n
αn
(2n + 2)α n + 1
(n + 1)3
n3 ∼ 1 +n1αn
· 2α· nα−1 →
+∞ se α > 1 2e se α = 1 0 se α < 1 e quindi, essendo 2e > 1, dal criterio del rapporto possiamo concludere che
n→+∞lim an =
(+∞ se α ≥ 1 0 se α < 1
(3) La risposta corretta `e la d . Dagli sviluppi notevoli si ha
ex cos x= 1 + x cos x + 12(x cos x)2+ o((x cos x)2)
= 1 + x(1 + o(x)) + 12(x(1 + o(x)))2+ o((x(1 + o(x)))2)
= 1 + x + o(x2) + 1(x2+ o(x2)) + o(x2+ o(x2))
e quindi
ex cos x− cosh x + α sin2x = 1 + x +x22 + o(x2) − (1 + x22 + o(x2)) + α(x2 + o(x2)) = x + αx2+ o(x2) Ne segue che
lim
x→0+f (x) = lim
x→0+
ex cos x− cosh x + α sin2x
x = lim
x→0+
x + αx2+ o(x2)
x = 1
per ogni α ∈ IR ed essendo
lim
x→0−
f (x) = lim
x→0−
(1 + 3x2)β = 1 = f (0)
per ogni β ∈ IR, si ottiene che f (x) risulta continua in x0 = 0 per ogni α, β ∈ IR.
Riguardo alla derivabilit`a osserviamo che f (x) `e derivabile in ogni x < 0 con f0(x) = 6βx(1 + 3x2)β−1 e che lim
x→0−f0(x) = 0 per ogni β ∈ IR. Quindi, per ogni β ∈ IR, la funzione ammette derivata sinistra in x0 = 0 con f−0 (0) = 0.
Riguardo alla derivata destra, dallo sviluppo precedentemente ottenuto si ha
lim
x→0+
f (x) − f (0)
x = lim
x→0+
ex cos x−cosh x+α sin2x
x − 1
x = lim
x→0+
ex cos x− cosh x + α sin2x − x x2
= lim
x→0+
αx2+ o(x2) x2 = α.
Quindi la funzione ammette derivata destra in x0 = 0 con f+0 (0) = α. Ne segue che la funzione risulta derivabile in x0 = 0 solo per α = 0 e ogni β ∈ IR.
(4) La risposta corretta `e a . Per determinareil volume massimo di un cono circolare retto inscritto in una sfera di raggio 3 osserviamo che detta h l’altezza del cilindro e r il suo raggio, posto x = h − 3, si ha che x2+ r2 = 9 e dunque r2 = 9 − x2.
x r 3
3
Poich´e il volume del cono `e uguale a V = π3r2h = π3(x + 3)(9 − x2), il cono di volume massimo inscritto in una sfera di raggio 3 avr`a altezza h0 = 3 + x0 e raggio r0 = p9 − x20 dove x0 `e punto di massimo della funzione
f (x) = (x + 3)(9 − x2) = −x3− 3x2+ 9x + 27 nell’intervallo [−3, 3].
La funzione risulta derivabile in (−3, 3) con f0(x) = −3x2−6x+9 = −3(x2+2x−3) = −3(x+3)(x−1) e quindi f0(x) > 0 se e solo se −3 < x < 1. Ne segue che f (x) risulta strettamente crescente in [−3, 1], strettamente decrescente in [1, 3] e x0 = 1 `e punto di massimo assoluto. Il volume massimo sar`a allora pari a Vmax = π3(x0+ 3)(9 − x20) = 32π3 e poich´e 323 > 10 possiamo concludere che il volume massimo `e maggiore di 10π
(5) La risposta corretta `e d . Infatti, per calcolareR dx
√
x3(x−4) operiamo innanzitutto una sostituzione ponendo t =√
x, da cui x = t2 e dx = 2tdt. Otteniamo
Z dx
√x3(x − 4) = 2
Z dt
t2(t2− 4) = −12 Z 1
t2 dt + 18
Z 1
t − 2dt − 18
Z 1
t + 2dt
= 121t +18log |t − 2| − 18log |t + 2| + c = 2√1x +18log |√
x − 2| −18log |√
x + 2| + c Dalla definizione di integrale improprio e dalla formula fondamentale del calcolo integrale otteniamo
Z +∞
9
√ dx
x3(x − 4) = lim
b→+∞
Z b 9
√ dx
x3(x − 4) = lim
b→+∞
h 1 2√
x +18 log |√
x − 2| −18 log |√
x + 2|ib 9
= lim
b→+∞
1 2√
b + 18log |√
b − 2| −18 log |√
b + 2| − 16 +18log 5 = 18log 5 − 16
(6) La risposta corretta `e a . Infatti, lo sviluppo di Taylor di ordine 2 della funzione 1−x1 − eαx per x → 0 `e
1
1−x − eαx = 1 + x + x2 + o(x2) − (1 + αx +α22x2 + o(x2))
= (1 − α)x + (1 − α22)x2+ o(x2) ∼
((1 − α)x, se α 6= 1,
x2
2, se α = −1.
Ponendo x = 31n, per n → +∞ otteniamo
1
1−3n1 − e3nα ∼ (1−α
3n , se α 6= 1,
1
2·32n, se α = 1.
e dunque che
3n
1
1−3n1 − e3nα
∼
((1 − α), se α 6= 1,
1
2·3n, se α = 1.
Possiamo allora concludere che la serie non converge per α 6= 1, dato che non risulta verificata la condizione necessaria alla convergenza, mentre dal criterio del confronto asintotico la serie converge
Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica M/Z
Prova scritta di Analisi Matematica 1 del 24 febbraio 2018 – B
(1) Delle soluzioni in campo complesso dell’equazione z2 + (1 − i)z − 2i = 0 a nessuna appartiene al terzo quadrante
c una appartiene all’asse immaginario
b una appartiene al secondo quadrante d nessuna delle precedenti
(per rispondere alla domanda `e sufficiente valutare il segno della parte reale e immaginaria delle soluzioni)
(2) La successione an = n2· n!
(3n)αn per n → +∞
a converge per ogni α ≤ 1 c diverge per ogni α > 0
b converge se e solo se α = 1 d nessuna delle precedenti
(3) La funzione f (x) =
(ex cosh x−cos x+α sinh2x
x se x > 0
(1 + 2x2)β se x ≤ 0 nel punto x0 = 0 a `e continua ma non derivabile per ogni α, β ∈ IR
c `e derivabile solo per α = 4β
b `e derivabile solo per α = −1, ∀β ∈ IR d nessuna delle precedenti
(4) Il volume massimo di un cono inscritto in una sfera di raggio 1 `e a maggiore di 2π
c minore di π2
b compreso tra π2 e π d nessuna delle precedenti
(si ricorda che il volume di un cono di raggio r e altezza h `e π3r2h)
(5) L’integrale improprio Z +∞
9
√ 1
x3(x + 3)dx vale a +∞
c 29
b π2
d nessuna delle precedenti
(6) La serie
+∞
X
n=1
2n
1
1 + 2αn
− cos21n
converge
a solo per α = 0 c per nessun α ∈ IR
b per ogni α > 0
d nessuna delle precedenti
Soluzione
(1) La risposta esatta `e d . Abbiamo infatti che l’equazione z2 + (1 − i)z − 2i = 0 `e equazione di secondo grado a coefficienti complessi della forma az2+ bz + c = 0 con a, b, c ∈ C. Per determinarne le soluzioni possiamo applicare la formula
z±= −b±
√
∆ 2a
dove con ±√
∆ si sono denotate le due radici complesse del numero ∆ = b2 − 4ac. Nel nostro caso a = 1, b = 1 − i e c = −2i, quindi ∆ = (1 − i)2 + 8i = 6i = 6(cosπ2 + i sin π2) `e un numero complesso e le due radici quadrate di ∆ saranno date da
±√
∆ = ±√
6 cosπ4 + i sinπ4 = ±√ 6√
2 2 +
√ 2 2 i
= ±√
3 (1 + i) . Le soluzioni dell’equazione sono quindi
z± = −b±
√
∆
2a = i−1±
√3(1+i) 2
ovvero
z−= i−1−
√ 3(1+i)
2 = −
√3+1
2 −
√3−1
2 i e z+ = i−1+
√ 3(1+i)
2 =
√3−1
2 +
√3+1 2 i Dato che √
3 > 1, otteniamo che z− cade nel terzo quadrante del piano complesso mentre z+ nel primo.
(2) La risposta esatta `e d . Per calcolare il limite della successione (3n)n2·n!αn al variare di α ∈ IR applichiamo il criterio del rapporto. Per n → +∞ abbiamo
an+1
an = (n + 1)2· (n + 1)!
(3n + 3)αn+α · (3n)αn n2· n!
=
3n 3n + 3
αn
n + 1 (3n + 3)α
n2
(n + 1)2 ∼ 1
1 + n1αn · 1 3αnα−1 →
+∞ se α < 1
1
3e se α = 1 0 se α > 1 e quindi, essendo 3e > 1, dal criterio del rapporto possiamo concludere che
n→+∞lim an =
(+∞ se α < 1 0 se α ≥ 1
(3) La risposta corretta `e la d . Dagli sviluppi notevoli si ha
ex cosh x = 1 + x cosh x +12(x cosh x)2+ o((x cosh x)2)
= 1 + x(1 + o(x)) +12(x(1 + o(x)))2+ o((x(1 + o(x)))2)
= 1 + x + o(x2) + 1(x2+ o(x2)) + o(x2+ o(x2))
e quindi
ex cosh x− cos x + α sinh2x = 1 + x +x22+ o(x2) − (1 −x22+ o(x2)) + α(x2+ o(x2)) = x + (α + 1)x2+ o(x2) Ne segue che
lim
x→0+f (x) = lim
x→0+
ex cos x− cosh x + α sin2x
x = lim
x→0+
x + αx2+ o(x2)
x = 1
per ogni α ∈ IR ed essendo
lim
x→0−
f (x) = lim
x→0−
(1 + 2x2)β = 1 = f (0)
per ogni β ∈ IR, si ottiene che f (x) risulta continua in x0 = 0 per ogni α, β ∈ IR.
Riguardo alla derivabilit`a osserviamo che f (x) `e derivabile in ogni x < 0 con f0(x) = 4βx(1 + 2x2)β−1 e che lim
x→0−f0(x) = 0 per ogni β ∈ IR. Quindi, per ogni β ∈ IR, la funzione ammette derivata sinistra in x0 = 0 con f−0 (0) = 0.
Riguardo alla derivata destra, dallo sviluppo precedentemente ottenuto si ha
lim
x→0+
f (x) − f (0)
x = lim
x→0+
ex cosh x−cos x+α sinh2x
x − 1
x = lim
x→0+
ex cosh x− cos x + α sinh2x − x x2
= lim
x→0+
(α + 1)x2+ o(x2)
x2 = α + 1.
Quindi la funzione ammette derivata destra in x0 = 0 con f+0 (0) = α + 1. Ne segue che la funzione risulta derivabile in x0 = 0 solo per α = −1 e ogni β ∈ IR.
(4) La risposta corretta `e a . Per determinareil volume massimo di un cono circolare retto inscritto in una sfera di raggio 1 osserviamo che detta h l’altezza del cilindro e r il suo raggio, posto x = h − 1, si ha che x2+ r2 = 1 e dunque r2 = 1 − x2.
x r 1
1
Poich´e il volume del cono `e uguale a V = π3r2h = π3(x + 1)(1 − x2), il cono di volume massimo inscritto in una sfera di raggio 1 avr`a altezza h0 = 1 + x0 e raggio r0 = p1 − x20 dove x0 `e punto di massimo della funzione
f (x) = (x + 1)(1 − x2) = −x3− x2+ x + 1 nell’intervallo [−1, 1].
La funzione risulta derivabile in (−1, 1) con f0(x) = −3x2 − 2x + 1 e quindi f0(x) > 0 se e solo se −1 < x < 13. Ne segue che f (x) risulta strettamente crescente in [−1,13], strettamente de- crescente in [13, 1] e x0 = 13 `e punto di massimo assoluto. Il volume massimo sar`a allora pari a Vmax = π3(x0+ 1)(1 − x20) = 32π81 e poich´e 3281 < 12 possiamo concludere che il volume massimo `e minore di π2
(5) La risposta corretta `e c . Infatti, per calcolareR dx
√
x3(x+3) operiamo innanzitutto una sostituzione ponendo t =√
x, da cui x = t2 e dx = 2tdt. Otteniamo
Z dx
√
x3(x + 3) = 2
Z dt
t2(t2+ 3) = 23 Z 1
t2 dt − 23
Z 1
t2+ 3dt
= −231t − 2
3√
3arctan√t
3 + c = −23√1x− 2
3√
3arctan
√x
√ 3 + c
Dalla definizione di integrale improprio e dalla formula fondamentale del calcolo integrale otteniamo Z +∞
9
√ dx
x3(x + 3) = lim
b→+∞
Z b 9
√ dx
x3(x + 3) = lim
b→+∞
h−23√1x − 2
3√
3arctan
√x
√3
ib 9
= lim
b→+∞−23√1
b − 2
3√
3arctan
√
√b
3 +29 + 2
3√
3arctan√3
3 = 29 − π
9√ 3
(6) La risposta corretta `e a . Infatti,lo sviluppo di Taylor di ordine 2 della funzione 1+αx1 − cos x per x → 0 `e
1
1+αx− cos x = 1 − αx + α2x2 + o(x2) − (1 − x22 + o(x2)) =
= −αx + (α2 +12)x2+ o(x2) ∼
(−αx, se α 6= 0,
x2
2 , se α = 0.
Ponendo x = 21n, per n → +∞ otteniamo
1
1+2nα − cos 21n ∼
(−2αn, se α 6= 0,
1
2·22n, se α = 0.
e dunque che
2n
1
1+2nα − cos 21n
∼
(−α, se α 6= 0,
1
2·2n, se α = 0.
Possiamo allora concludere che la serie non converge per α 6= 0, dato che non risulta verificata la condizione necessaria alla convergenza, mentre dal criterio del confronto asintotico la serie converge
