Solidi assialsimmetrici: tubi, serbatoi, dischi

Solidi assialsimmetrici: tubi, serbatoi, dischi

Lecture 16

CDM - N.Bonora 2018

• Una delle dimensioni (lo spessore) è considerevolmente minore delle altre due

• Teoria particolare (o a momenti nulli), si assume che gli sforzi siano uniformemente distribuiti attraverso lo spessore

• Caratterizzata dalla geometria della superficie mediana e dalla legge di variazione dello spessore

• Il comportamento di numerosi componenti la cui superficie mediana è una superfice di rotazione è riconducibili al

comportamento di membrane (caldaie, serbatoi, cisterne, etc.)

• Soluzioni tanto più accurate quanto minore è lo spessore rispetto alle altre dimensioni

• Non valida in prossimità di singolarità: linee angolose, incastri, forze e momenti concentrati

Teoria delle membrane

Teoria delle membrane

• Equilibrio delle forze lungo la normale alla superficie

• Equazione di Laplace 𝜎𝜎_𝑚𝑚

𝜌𝜌_𝑚𝑚 + 𝜎𝜎_𝑡𝑡

𝜌𝜌_𝑡𝑡 = 𝑝𝑝 ℎ

𝑝𝑝𝑝𝑝𝑠𝑠₁𝑝𝑝𝑠𝑠₂ − 𝜎𝜎_𝑚𝑚ℎ𝑝𝑝𝑠𝑠₂𝑝𝑝𝜃𝜃 − 𝜎𝜎_𝑡𝑡ℎ𝑝𝑝𝑠𝑠₁𝑝𝑝𝜑𝜑 = 0

𝑝𝑝𝜃𝜃 = 𝑝𝑝𝑠𝑠₁

𝜌𝜌_𝑚𝑚 , 𝑝𝑝𝜑𝜑 = 𝑝𝑝𝑠𝑠₂ 𝜌𝜌_𝑡𝑡

• Equilibrio delle forze lungo l’asse di simmetria

Terzo sforzo principale trascurabile

Teoria delle membrane

𝜎𝜎_𝑚𝑚2𝜋𝜋𝜋𝜋ℎ sin 𝜃𝜃 = 𝑃𝑃

0 ≤ 𝜎𝜎_𝑟𝑟 ≤ 𝑝𝑝

𝜎𝜎_𝑟𝑟~𝑝𝑝𝜌𝜌_𝑟𝑟 𝜎𝜎_𝑚𝑚~𝑝𝑝 𝜌𝜌_𝑚𝑚 ℎ

ℎ

Teorema 1

Teorema 2

Per una superficie soggetta alla pressione di un fluido, la componente verticale delle forze di pressione è uguale al peso del liquido contenuto nel volume sopra la superficie

Teoria delle membrane

Su 𝑝𝑝𝑑𝑑,

𝑝𝑝𝑃𝑃_𝑥𝑥 = 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑑𝑑^′ = 𝛾𝛾𝛾𝛾𝑝𝑝𝑑𝑑^′ 𝑃𝑃_𝑥𝑥 = �

𝐹𝐹

𝑝𝑝 cos 𝜑𝜑 𝑝𝑝𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑑𝑑𝐹 = 𝑝𝑝𝑑𝑑 cos 𝜑𝜑 𝑃𝑃_𝑥𝑥 = 𝑝𝑝 �

𝐹𝐹

𝑝𝑝𝑑𝑑𝐹 = 𝑝𝑝𝑑𝑑𝐹

Recipiente sferico

• Raggio R, spessore h

• Pressione interna p

Esempio 1

𝜎𝜎_𝑚𝑚

𝜌𝜌_𝑚𝑚 + 𝜎𝜎_𝑡𝑡

𝜌𝜌_𝑡𝑡 = 𝑝𝑝 ℎ 𝜌𝜌_𝑚𝑚 = 𝜌𝜌_𝑡𝑡 = 𝑅𝑅

𝜎𝜎_𝑚𝑚 = 𝜎𝜎_𝑡𝑡 = 𝑝𝑝𝑅𝑅

2ℎ 𝜎𝜎_{𝑒𝑒𝑒𝑒} = 𝜎𝜎₁ − 𝜎𝜎₃ = 𝑝𝑝𝑅𝑅 2ℎ

Recipiente cilindrico

• Raggio del cilindro R, spessore h

• Pressione interna p

Equilibrio lungo l’asse

Dati dall’equazione di Laplace

Esempio 2

𝜎𝜎_𝑚𝑚

𝜌𝜌_𝑚𝑚 + 𝜎𝜎_𝑡𝑡

𝜌𝜌_𝑡𝑡 = 𝑝𝑝 ℎ

𝜌𝜌_𝑚𝑚 = ∞, 𝜌𝜌_𝑡𝑡 = 𝑅𝑅,

𝜎𝜎_𝑡𝑡 = 𝑝𝑝𝑅𝑅

ℎ 𝜎𝜎_{𝑒𝑒𝑒𝑒} = 𝜎𝜎₁ − 𝜎𝜎₃ = 𝑝𝑝𝑅𝑅

ℎ 𝜎𝜎_𝑚𝑚2𝜋𝜋𝑅𝑅ℎ = 𝑃𝑃 = 𝑝𝑝𝜋𝜋𝑅𝑅² 𝜎𝜎_𝑚𝑚 = 𝑝𝑝𝑅𝑅

2ℎ

• Equilibrio circonferenziale

• Equilibrio assiale

Teoria delle membrane: equazioni di Mariotte

𝜎𝜎

= 𝑑𝑑 𝐴𝐴 =

𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 2𝑠𝑠𝑝𝑝 =

𝑝𝑝𝑝𝑝 2𝑠𝑠 𝜌𝜌

= ∞ 𝑒𝑒 𝜌𝜌

= 𝑝𝑝/2

𝜃𝜃 = 𝜋𝜋

2 𝑒𝑒 𝑑𝑑 = 𝑝𝑝𝜋𝜋 𝑝𝑝

2

2

𝜎𝜎

= 𝑑𝑑

𝐴𝐴 = 𝑝𝑝 𝜋𝜋4 𝑝𝑝

𝑠𝑠2𝜋𝜋𝑝𝑝/2 =

𝑝𝑝𝑝𝑝

4𝑠𝑠

• Nel fondo e nel mantello di pari spessore le deformazioni circonferenziali non sono uguali.

Tipicamente il fondo è più rigido (si deforma meno)

• Nelle zone di collegamento nascono delle sovratensioni che garantiscono la congruenza delle deformazioni

Interazione fondo-mantello

• Congruenza degli spostamenti radiali.

• Serbatoio cilindrico:

• Fondo semisferico:

Interazione fondo-mantello

𝜀𝜀

= 𝜎𝜎

𝐸𝐸 −

𝜈𝜈

𝐸𝐸 𝜎𝜎

+ 𝜎𝜎

= 𝑝𝑝𝑅𝑅

𝐸𝐸ℎ

1 − 𝜈𝜈 2

𝜀𝜀

= 𝜎𝜎

𝐸𝐸 −

𝜈𝜈

𝐸𝐸 𝜎𝜎

+ 𝜎𝜎

= 𝑝𝑝𝑅𝑅

2𝐸𝐸ℎ

1 − 𝜈𝜈

𝜎𝜎_𝑚𝑚 = 𝜎𝜎_𝑡𝑡 = 𝑝𝑝𝑅𝑅 2ℎ 𝜎𝜎_𝑡𝑡 = 𝑝𝑝𝑅𝑅

ℎ 𝜎𝜎_𝑚𝑚 = 𝑝𝑝𝑅𝑅

2ℎ

• Imponendo l’uguaglianza delle deformazioni trasversali:

Interazione fondo-mantello

𝜀𝜀

= 𝜀𝜀

ℎ_𝐹𝐹 ≅ 0.41ℎ_𝑀𝑀 ℎ_𝐹𝐹

ℎ_𝑀𝑀 = 1 − 𝜈𝜈 2 − 𝜈𝜈

• La congruenza delle deformazioni comporta un peggioramento dello stato di tensione nella zona di

transizione fondo-mantello

• L’adozione di fondi con profilo più schiacciato comporta

sovrasollecitazioni via via crescenti

𝑝𝑝𝑅𝑅

𝐸𝐸ℎ

1 − 𝜈𝜈

2 =

𝑝𝑝𝑅𝑅

2𝐸𝐸ℎ

1 − 𝜈𝜈