Solidi assialsimmetrici: tubi, serbatoi, dischi

Solidi assialsimmetrici: tubi, serbatoi, dischi

Lecture 16

Introduzione

• Con il termine «solidi assialsimmetrici» intendiamo

quei componenti riconducibili a solidi di rotazione (tubi, dischi, etc.)

• Obiettivo: determinazione dello stato di

sforzo/deformazione conseguente all’applicazione di sollecitazioni (principalmente carico di pressione)

• Tubi spessi vs tubi a parete sottile: nei secondi lo spessore è trascurabile rispetto al raggio.

Tubi a parete spessa

• Corpo cilindrico cavo soggetto a pressione interna e/o esterna

• Geometria e sollecitazione assialsimmetrica

• Stato di sforzo bidimensionale o tridimensionale

• La trattazione che ne deriva è applicabile ad altri organi meccanici quali mozzi, dischi, serbatoi, etc.

Tubi a parete spessa

Testo di riferimento

V.I. Feodosev

Resistenza dei materiali

Editori Riuniti – University press

Tubi a parete spessa: deformazioni

Ipotesi:

• Tubo a pareti spesse

• Simmetria assiale geometrica e di carichi

• Carico e sforzi costanti lungo l’asse del cilindro

• Materiale lineare elastico

• Piccoli spostamenti / piccole deformazioni

• Se ci sono spostamenti assiali sono tali che le sezioni

trasversali del cilindro rimangono piane Sistema di riferimento in coordinate polari: (r, ϕ, z)

z

r ϕ

Tubi a parete spessa: deformazioni

Deformazione radiale ε_r:

• u spostamento radiale

A

A’

B

B’

𝜀𝜀_𝑟𝑟 = 𝐴𝐴^′𝐵𝐵^′ − 𝐴𝐴𝐵𝐵

𝐴𝐴𝐵𝐵 = 𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑑𝑑 Sistema di riferimento in coordinate polari: (r, ϕ, z)

z

r ϕ

Tubi a parete spessa: deformazioni

Deformazione circonferenziale ετ:

• u spostamento radiale

Deformazione assiale ε_z, se non nulla, ed indipendente da u

𝜀𝜀_𝑡𝑡 = 2𝜋𝜋 𝑑𝑑 + 𝑑𝑑 − 2𝜋𝜋𝑑𝑑

2𝜋𝜋𝑑𝑑 = 𝑑𝑑

𝑑𝑑

Tubi a parete spessa: equilibrio delle forze

• Equilibrio in direzione radiale:

𝑑𝑑𝜎𝜎_𝑟𝑟 𝑑𝑑𝑑𝑑 +

𝜎𝜎_𝑟𝑟 − 𝜎𝜎_𝑡𝑡

𝑑𝑑 = 0

dz

r

σz

dϕ

𝑑𝑑(𝜎𝜎_𝑟𝑟𝑑𝑑)

𝑑𝑑𝑑𝑑 − 𝜎𝜎^𝑡𝑡 = 0

(𝜎𝜎_𝑟𝑟+𝑑𝑑𝜎𝜎_𝑟𝑟) 𝑑𝑑 + 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑φ𝑑𝑑𝑑𝑑 − 𝜎𝜎_𝑟𝑟𝑑𝑑𝑑𝑑φ𝑑𝑑𝑑𝑑 − 𝜎𝜎_𝑡𝑡𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑φ = 0

Tubi a parete spessa: espressione degli sforzi

Legge di Hooke generalizzata

Assumendo di conoscere _{𝜎𝜎𝑧𝑧}

𝜀𝜀_𝑟𝑟 = 1

𝐸𝐸 𝜎𝜎^𝑟𝑟 − 𝜈𝜈(𝜎𝜎_𝜏𝜏 + 𝜎𝜎_𝑧𝑧) 𝜀𝜀_𝑡𝑡 = 1

𝐸𝐸 𝜎𝜎^𝑡𝑡 − 𝜈𝜈(𝜎𝜎_𝑟𝑟 + 𝜎𝜎_𝑧𝑧)

𝜎𝜎_𝑡𝑡 = 𝐸𝐸

1 − 𝜈𝜈² 𝜀𝜀_𝑡𝑡 + 𝜈𝜈𝜀𝜀_𝑟𝑟 + 𝜈𝜈

1 − 𝜈𝜈 𝜎𝜎^𝑧𝑧 = 𝐸𝐸 1 − 𝜈𝜈²

𝑑𝑑

𝑑𝑑 + 𝜈𝜈 𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑑𝑑 +

𝜈𝜈

1 − 𝜈𝜈 𝜎𝜎^𝑧𝑧 𝜎𝜎_𝑟𝑟 = 𝐸𝐸

1 − 𝜈𝜈² 𝜀𝜀_𝑟𝑟 + 𝜈𝜈𝜀𝜀_𝑡𝑡 + 𝜈𝜈

1 − 𝜈𝜈 𝜎𝜎^𝑧𝑧 = 𝐸𝐸 1 − 𝜈𝜈²

𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝜈𝜈 𝑑𝑑

𝑑𝑑 +

𝜈𝜈

1 − 𝜈𝜈 𝜎𝜎^𝑧𝑧

Tubi a parete spessa: problema di Lamé

Sostituendo nell’equazione d’equilibrio

𝑑𝑑²𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑑𝑑² + 1 𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 −

𝑑𝑑

𝑑𝑑² = 0

𝑑𝑑(𝜎𝜎_𝑟𝑟𝑑𝑑)

𝑑𝑑𝑑𝑑 − 𝜎𝜎^𝑡𝑡 = 0

𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 +

𝑑𝑑

𝑑𝑑 = 0 𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑑𝑑 1 𝑑𝑑

𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 0

Risultante delle forze assiali uniformemente distribuite

Si dimostra che la risultante assiale di forze uniformemente distribuite agenti su una superficie di forma qualsiasi è pari alla pressione moltiplicata per l’area proiettata della superficie sul piano ortogonale all’asse

Nella fattispecie se agisce la sola pressione interna p, la risultante assiale delle forze è 𝐹𝐹 = 𝑝𝑝 𝜋𝜋𝑑𝑑²

𝑃𝑃_𝑥𝑥 = �

𝐹𝐹

𝑝𝑝 cos 𝜑𝜑 𝑑𝑑𝐹𝐹 𝑑𝑑𝐹𝐹𝐹 = 𝑑𝑑𝐹𝐹 cos 𝜑𝜑 𝑃𝑃_𝑥𝑥 = 𝑝𝑝 �

𝐹𝐹

𝑑𝑑𝐹𝐹𝐹 = 𝑝𝑝𝐹𝐹𝐹 Dimostrazione

Determinazione dello sforzo assiale

• Il numeratore è pari alla risultante delle forze assiali e il denominatore l’area della corona circolare;

• Il loro rapporto rappresenta lo sforzo assiale agente nel mantello cilindrico

re ri

𝜎𝜎_𝑧𝑧 = 𝐹𝐹 𝐴𝐴 =

𝑝𝑝_𝑖𝑖𝜋𝜋𝑑𝑑_𝑖𝑖² − 𝑝𝑝_𝑒𝑒𝜋𝜋𝑑𝑑_𝑒𝑒² 𝜋𝜋𝑑𝑑_𝑒𝑒² − 𝜋𝜋𝑑𝑑_𝑖𝑖²

Tubi a parete spessa: soluzione caso generale

Integrando una volta:

Integrando una seconda volta,

𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑

1 𝑑𝑑

𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑑𝑑 = 0 Problema di Lamé

1 𝑑𝑑

𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝐶𝐶₁^′

𝑑𝑑 = 𝐶𝐶₁𝑑𝑑 + 𝐶𝐶₂ 𝑑𝑑

• Ricordando le definizioni delle deformazioni:

• Le costanti sono determinate dalle condizioni al contorno

Tubi a parete spessa: soluzione caso generale

𝜎𝜎_𝜏𝜏 = 𝐸𝐸

1 − 𝜈𝜈² 𝐶𝐶₁ 1 + 𝜈𝜈 + 𝐶𝐶₂ 1 − 𝜈𝜈 1

𝑑𝑑² + 𝜈𝜈

1 − 𝜈𝜈 𝜎𝜎^𝑧𝑧 𝜎𝜎_𝑟𝑟 = 𝐸𝐸

1 − 𝜈𝜈² 𝐶𝐶₁ 1 + 𝜈𝜈 − 𝐶𝐶₂ 1 − 𝜈𝜈 1

𝑑𝑑² + 𝜈𝜈

1 − 𝜈𝜈 𝜎𝜎^𝑧𝑧

𝑑𝑑 = 𝑎𝑎 ⇒ 𝜎𝜎_𝑟𝑟 = −𝑝𝑝_𝑎𝑎 𝑑𝑑 = 𝑏𝑏 ⇒ 𝜎𝜎_𝑟𝑟 = −𝑝𝑝_𝑏𝑏

• Sostituendo

• Da cui

Tubi a parete spessa: soluzione caso generale

𝐸𝐸

1 − 𝜈𝜈² 𝐶𝐶₁ 1 + 𝜈𝜈 − 𝐶𝐶₂ 1 − 𝜈𝜈 1

𝑎𝑎² + 𝜈𝜈

1 − 𝜈𝜈 𝜎𝜎^𝑧𝑧 = −𝑝𝑝_𝑎𝑎 𝐸𝐸

1 − 𝜈𝜈² 𝐶𝐶₁ 1 + 𝜈𝜈 − 𝐶𝐶₂ 1 − 𝜈𝜈 1

𝑏𝑏² + 𝜈𝜈

1 − 𝜈𝜈 𝜎𝜎^𝑧𝑧 = −𝑝𝑝_𝑏𝑏

𝐶𝐶₁ = 1 − 𝜈𝜈² 𝐸𝐸

1 1 + 𝜈𝜈

𝑝𝑝_𝑎𝑎𝑎𝑎² − 𝑝𝑝_𝑎𝑎𝑏𝑏²

𝑏𝑏² − 𝑎𝑎² − 𝜈𝜈 𝐸𝐸 𝜎𝜎^𝑧𝑧 𝐶𝐶₂ = 1 − 𝜈𝜈²

𝐸𝐸

1 1 + 𝜈𝜈

𝑎𝑎²𝑏𝑏²

𝑏𝑏² − 𝑎𝑎² 𝑝𝑝_𝑎𝑎 − 𝑝𝑝_𝑏𝑏

• In caso di forze di pressione in direzione assiale

Tubi a parete spessa: soluzione caso generale

𝑑𝑑 = 1 − 𝜈𝜈 𝐸𝐸

𝑝𝑝_𝑎𝑎𝑎𝑎² − 𝑝𝑝_𝑏𝑏𝑏𝑏²

𝑏𝑏² − 𝑎𝑎² 𝑑𝑑 + 1 + 𝜈𝜈 𝐸𝐸

𝑎𝑎²𝑏𝑏² 𝑑𝑑

𝑝𝑝_𝑎𝑎 − 𝑝𝑝_𝑏𝑏

𝑏𝑏² − 𝑎𝑎² − 𝜈𝜈

𝐸𝐸 𝜎𝜎^𝑧𝑧𝑑𝑑

𝜎𝜎_{𝑟𝑟,𝑡𝑡} = 𝑝𝑝_𝑎𝑎𝑎𝑎² − 𝑝𝑝_𝑏𝑏𝑏𝑏²

𝑏𝑏² − 𝑎𝑎² ∓ 𝑎𝑎²𝑏𝑏² 𝑑𝑑²

𝑝𝑝_𝑎𝑎 − 𝑝𝑝_𝑏𝑏 𝑏𝑏² − 𝑎𝑎²

• In caso di forze di pressione in direzione assiale

• Senza forza assiale

Tubi a parete spessa: soluzione caso generale

𝑑𝑑 = 1 − 2𝜈𝜈 𝐸𝐸

𝑝𝑝_𝑎𝑎𝑎𝑎² − 𝑝𝑝_𝑏𝑏𝑏𝑏²

𝑏𝑏² − 𝑎𝑎² 𝑑𝑑 + 1 + 𝜈𝜈 𝐸𝐸

𝑎𝑎²𝑏𝑏² 𝑑𝑑

𝑝𝑝_𝑎𝑎 − 𝑝𝑝_𝑏𝑏 𝑏𝑏² − 𝑎𝑎²

𝑑𝑑 = 1 − 𝜈𝜈 𝐸𝐸

𝑝𝑝_𝑎𝑎𝑎𝑎² − 𝑝𝑝_𝑏𝑏𝑏𝑏²

𝑏𝑏² − 𝑎𝑎² 𝑑𝑑 + 1 + 𝜈𝜈 𝐸𝐸

𝑎𝑎²𝑏𝑏² 𝑑𝑑

𝑝𝑝_𝑎𝑎 − 𝑝𝑝_𝑏𝑏 𝑏𝑏² − 𝑎𝑎²

Casi particolari: tubo soggetto a sola pressione interna

𝜎𝜎_{𝑟𝑟,𝑡𝑡} = 𝑝𝑝𝑎𝑎²

𝑏𝑏² − 𝑎𝑎² 1 ∓ 𝑏𝑏² 𝑑𝑑² 𝑝𝑝_𝑎𝑎 = 𝑝𝑝

𝑝𝑝_𝑏𝑏 = 0

Applicando il criterio di Tresca per i materiali duttili

Nel caso di tubo internamente pressurizzato,

Risultato: al raggio interno la tensione equivalente supera di due volte la pressione interna!

Questo rende difficile dimensionare i tubi oltre certe pressioni.

Casi particolari: tubo soggetto a sola pressione interna

𝜎𝜎_{𝑒𝑒𝑒𝑒}^{𝑇𝑇𝑟𝑟} = 𝜎𝜎₁ − 𝜎𝜎₃ = 𝜎𝜎_𝜏𝜏 − 𝜎𝜎_𝑟𝑟

𝜎𝜎_{𝑒𝑒𝑒𝑒}^{𝑇𝑇𝑟𝑟} = 𝑝𝑝 𝑏𝑏² + 𝑎𝑎²

𝑏𝑏² − 𝑎𝑎² − −𝑝𝑝 = 𝑝𝑝 2𝑏𝑏² 𝑏𝑏² − 𝑎𝑎²

Tubo di piccoli spessori con pressione interna

𝜎𝜎_{𝜏𝜏 𝑟𝑟=𝑎𝑎} = 𝑝𝑝 𝑎𝑎 + 𝛿𝛿 ² + 𝑎𝑎²

𝑎𝑎 + 𝛿𝛿 ² − 𝑎𝑎² = 𝑝𝑝 𝑎𝑎 + 𝛿𝛿 ² + 𝑎𝑎² 𝛿𝛿 2𝑎𝑎 + 𝛿𝛿 𝑏𝑏 = 𝑎𝑎 + 𝛿𝛿

𝜎𝜎_{𝜏𝜏 𝑟𝑟=𝑎𝑎} = 𝑝𝑝 𝑏𝑏² + 𝑎𝑎² 𝑏𝑏² − 𝑎𝑎² 𝜎𝜎_{𝑟𝑟,𝑡𝑡} = 𝑝𝑝𝑎𝑎²

𝑏𝑏² − 𝑎𝑎² 1 ∓ 𝑏𝑏² 𝑑𝑑²

𝜎𝜎_{𝜏𝜏 𝑟𝑟=𝑏𝑏} = 𝑝𝑝 2𝑎𝑎² 𝑏𝑏² − 𝑎𝑎²

𝜎𝜎_{𝜏𝜏 𝑟𝑟=𝑏𝑏} = 𝑝𝑝 2𝑎𝑎²

𝛿𝛿 2𝑎𝑎 + 𝛿𝛿 𝜎𝜎_{𝜏𝜏 𝑟𝑟=𝑎𝑎} = 𝜎𝜎_{𝜏𝜏 𝑟𝑟=𝑏𝑏} = 𝑝𝑝 𝑎𝑎

𝛿𝛿

b/a> 4 può essere considerato come avente spessore infinito

Tubo a spessore infinito

𝜎𝜎_{𝑟𝑟,𝜏𝜏} = ∓𝑝𝑝 𝑎𝑎² 𝑑𝑑² 𝑏𝑏 → ∞

𝜎𝜎_{𝑟𝑟,𝜏𝜏} = 𝑝𝑝𝑎𝑎²

𝑏𝑏² − 𝑎𝑎² 1 ∓ 𝑏𝑏² 𝑑𝑑²

𝜎𝜎_{𝑒𝑒𝑒𝑒}^{𝑇𝑇𝑟𝑟} = 𝜎𝜎₁ − 𝜎𝜎₃ = 2𝑝𝑝

Componenti di sollecitazione entrambe di compressione

Senza componente assiale

Tubo pressurizzato esternamente

𝜎𝜎_{𝑟𝑟,𝜏𝜏} = − 𝑝𝑝𝑏𝑏²

𝑏𝑏² − 𝑎𝑎² 1 ∓ 𝑎𝑎² 𝑑𝑑² 𝑝𝑝_𝑎𝑎 = 0

𝑝𝑝_𝑏𝑏 = 𝑝𝑝

𝜎𝜎_{𝑒𝑒𝑒𝑒}^{𝑇𝑇𝑟𝑟} = 𝜎𝜎₁ − 𝜎𝜎₃ = 𝜎𝜎_𝑧𝑧 − 𝜎𝜎_𝑡𝑡 = 0 − −𝑝𝑝 2𝑏𝑏²

𝑏𝑏² − 𝑎𝑎² = 𝑝𝑝 2𝑏𝑏² 𝑏𝑏² − 𝑎𝑎²

• Cilindro pieno e pressione esterna

• Foro piccolo e pressione esterna

• Raggio esterno grande e pressione interna

Soluzioni asintotiche

• 𝑎𝑎 = 0 𝑝𝑝_𝑎𝑎 = 0

• 𝑏𝑏 ≠ 0 𝑝𝑝_𝑏𝑏 = 𝑝𝑝 • 𝜎𝜎_𝑟𝑟 = −𝑝𝑝

• 𝜎𝜎_𝑡𝑡 = −𝑝𝑝

• 𝑎𝑎 ≪ 𝑏𝑏 𝑝𝑝_𝑎𝑎 = 0

• 𝑏𝑏 ≠ 0 𝑝𝑝_𝑒𝑒 = 𝑝𝑝 • 𝜎𝜎_{𝑟𝑟(𝑟𝑟=𝑎𝑎)} = 0

• 𝜎𝜎_{𝑡𝑡(𝑟𝑟=𝑎𝑎)} = −2p

• a ≠ 0 𝑝𝑝_𝑎𝑎 = 𝑝𝑝

• 𝑏𝑏 → ∞ 𝑝𝑝_𝑒𝑒 = 0 • 𝜎𝜎_{𝑟𝑟(𝑟𝑟=𝑎𝑎)} = −𝑝𝑝

• 𝜎𝜎_{𝑡𝑡(𝑟𝑟=𝑎𝑎)} = 𝑝𝑝

• La soluzione tecnologica del tubo composto serve a ridurre la tensione circonferenziale in corrispondenza della superficie interna del tubo pressurizzato al fine di garantirne la

resistenza a valori di pressione elevati non sopportabili con un semplice aumento dello spessore del mantello

• La pressione esterna viene realizzata sul tubo interno attraverso un’interferenza meccanica:

il tubo esterno ha un diametro interno inferiore al diametro esterno del tubo interno

• L’interferenza viene temporaneamente annullata attraverso riscaldamento del tubo esterno ( e/o raffreddamento di quello interno)

Tubi composti

Cilindro interno

Cilindro esterno

Pressione di contatto

Tubi composti

𝑑𝑑_𝑒𝑒 = 𝑐𝑐 𝑑𝑑_𝑖𝑖 = 𝑎𝑎

𝑑𝑑_𝑒𝑒 = 𝑏𝑏

𝑑𝑑_𝑖𝑖 = 𝑐𝑐 − ∆

𝑝𝑝_𝑘𝑘

Spostamento superfici di contatto Cilindro interno

Cilindro esterno

−𝑑𝑑₁ 𝑑𝑑₂ 𝑑𝑑₂−𝑑𝑑₁= ∆

Spostamento senza forza assiale (caso generico)

Tubi composti

𝑑𝑑₁ = − 1 − 𝜈𝜈 𝐸𝐸

𝑐𝑐³

𝑐𝑐² − 𝑎𝑎² 𝑝𝑝_𝑘𝑘 − 1 + 𝜈𝜈 𝐸𝐸

𝑎𝑎²𝑐𝑐

𝑐𝑐² − 𝑎𝑎² 𝑝𝑝_𝑘𝑘

𝑑𝑑₂ = 1 − 𝜈𝜈 𝐸𝐸

𝑐𝑐³

𝑏𝑏² − 𝑐𝑐² 𝑝𝑝_𝑘𝑘 + 1 + 𝜈𝜈 𝐸𝐸

𝑏𝑏²𝑐𝑐

𝑏𝑏² − 𝑐𝑐² 𝑝𝑝_𝑘𝑘

Per cilindri dello stesso materiale

𝑝𝑝_𝑘𝑘 = 𝐸𝐸∆

2𝑐𝑐³

𝑐𝑐² − 𝑎𝑎² 𝑏𝑏² − 𝑐𝑐² 𝑏𝑏² − 𝑎𝑎²

𝑑𝑑 = 1 − 𝜈𝜈 𝐸𝐸

𝑝𝑝_𝑖𝑖𝑑𝑑_𝑖𝑖² − 𝑝𝑝_𝑒𝑒𝑑𝑑_𝑒𝑒²

𝑑𝑑_𝑒𝑒² − 𝑑𝑑_𝑖𝑖² 𝑑𝑑 + 1 + 𝜈𝜈 𝐸𝐸

𝑑𝑑_𝑖𝑖²𝑑𝑑_𝑒𝑒² 𝑑𝑑

𝑝𝑝_𝑖𝑖 − 𝑝𝑝_𝑒𝑒 𝑑𝑑_𝑒𝑒² − 𝑑𝑑_𝑖𝑖²

Condizione di uguale resistenza

Tubi composti: composizione delle tensioni

𝜎𝜎_{𝑒𝑒𝑒𝑒 𝐴𝐴} = 𝜎𝜎_{𝑒𝑒𝑒𝑒 𝐵𝐵}

Composizione delle tensioni

Tubi composti: composizione delle tensioni

𝜎𝜎_{𝑟𝑟,𝜏𝜏} = 𝑝𝑝_𝑖𝑖𝑑𝑑_𝑖𝑖² − 𝑝𝑝_𝑒𝑒𝑑𝑑_𝑒𝑒²

𝑑𝑑_𝑒𝑒² − 𝑑𝑑_𝑖𝑖² ∓ 𝑑𝑑_𝑖𝑖²𝑑𝑑_𝑒𝑒² 𝑑𝑑²

𝑝𝑝_𝑖𝑖 − 𝑝𝑝_𝑒𝑒 𝑑𝑑_𝑒𝑒² − 𝑑𝑑_𝑖𝑖² 𝜎𝜎_{𝑒𝑒𝑒𝑒 𝐴𝐴} = 𝜎𝜎₁ − 𝜎𝜎₃ = 𝑝𝑝 𝑏𝑏² + 𝑎𝑎²

𝑏𝑏² − 𝑎𝑎² − 𝑝𝑝_𝑘𝑘 2𝑐𝑐²

𝑐𝑐² − 𝑎𝑎² − −𝑝𝑝 𝜎𝜎_{𝑒𝑒𝑒𝑒 𝐵𝐵} = 𝜎𝜎₁ − 𝜎𝜎₃ = 𝑝𝑝𝑎𝑎²

𝑏𝑏² − 𝑎𝑎² 1 + 𝑏𝑏²

𝑐𝑐² + 𝑝𝑝_𝑘𝑘 𝑏𝑏² + 𝑐𝑐²

𝑏𝑏² − 𝑐𝑐² − 𝑝𝑝𝑎𝑎²

𝑏𝑏² − 𝑎𝑎² 1 − 𝑏𝑏²

𝑐𝑐² − −𝑝𝑝_𝑘𝑘

𝑝𝑝 𝑏𝑏² 𝑐𝑐²

𝑐𝑐² − 𝑎𝑎²

𝑏𝑏² − 𝑎𝑎² = 𝑝𝑝_𝑘𝑘 𝑏𝑏²

𝑏𝑏² − 𝑐𝑐² + 𝑐𝑐² 𝑐𝑐² − 𝑎𝑎²

Condizioni di Gadolin

Tubi composti: composizione delle tensioni

∆= 2𝑝𝑝 𝐸𝐸

𝑐𝑐𝑏𝑏² 𝑏𝑏² − 𝑐𝑐²

𝑏𝑏² 𝑐𝑐² − 𝑎𝑎² + 𝑐𝑐² 𝑏𝑏² − 𝑐𝑐² 𝑝𝑝_𝑘𝑘 = 𝐸𝐸∆

2𝑐𝑐²

𝑐𝑐² − 𝑎𝑎² 𝑏𝑏² − 𝑐𝑐² 𝑏𝑏² − 𝑎𝑎²

𝜎𝜎_{𝑒𝑒𝑒𝑒} = 𝑝𝑝 2𝑏𝑏²

𝑏𝑏² − 𝑎𝑎² 1 − 1 𝑏𝑏²

𝑏𝑏² + 𝑐𝑐² + 𝑐𝑐𝑐𝑐² − 𝑎𝑎^{2 2}

𝜎𝜎_{𝑒𝑒𝑒𝑒}^{𝑚𝑚𝑖𝑖𝑚𝑚} = 𝑝𝑝 𝑏𝑏

𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 ^per 𝑐𝑐 = 𝑎𝑎𝑏𝑏

Ricordando

Tubi composti: confronto con tubo semplice

𝜎𝜎_{𝑒𝑒𝑒𝑒}^{𝑚𝑚𝑖𝑖𝑚𝑚} = 𝑝𝑝 𝑏𝑏 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎

𝜎𝜎_{𝑒𝑒𝑒𝑒} = 𝑝𝑝 2𝑏𝑏² 𝑏𝑏² − 𝑎𝑎²

𝜎𝜎_{𝑒𝑒𝑒𝑒}^{𝑚𝑚𝑖𝑖𝑚𝑚}

𝜎𝜎_{𝑒𝑒𝑒𝑒} = 𝑏𝑏 + 𝑎𝑎 2𝑏𝑏

Tubi composti: autocerchiatura

• Il principio dei cilindri composti può essere ripetuto più e più volte al fine di contenere pressioni molto elevate

• Es. Cannone «Schwerer Gustav»

progettato nel 1930, peso 1334 ton., 47 m lungo, calibro 800 mm, lanciava proiettili dal peso di 7 ton.

Con una gittata massima di 47 Km

Tubi composti: pressione di contatto

• Tubo internamente pressurizzato con r_e ~ r_i. Introduciamo il concetto di raggio medio

Estensione della teoria al caso di tubi a parete sottile

𝑑𝑑_𝑖𝑖 = 𝑑𝑑_𝑚𝑚 + 𝑠𝑠

2 𝑑𝑑_𝑒𝑒 = 𝑑𝑑_𝑚𝑚 − 𝑠𝑠 2 𝐴𝐴^′ = 𝑝𝑝_𝑖𝑖𝑑𝑑_𝑖𝑖²

𝑑𝑑_𝑒𝑒² − 𝑑𝑑_𝑖𝑖² = 𝑝𝑝_𝑖𝑖 𝑑𝑑_𝑚𝑚 − 𝑠𝑠2 ²

𝑑𝑑_𝑒𝑒 − 𝑑𝑑_𝑖𝑖 𝑑𝑑_𝑒𝑒 + 𝑑𝑑_𝑖𝑖 ≅ 𝑝𝑝_𝑖𝑖𝑑𝑑_𝑚𝑚 2𝑠𝑠 𝐵𝐵^′ = −𝑝𝑝_𝑖𝑖𝑑𝑑_𝑖𝑖²𝑑𝑑_𝑒𝑒² 𝑑𝑑_𝑖𝑖²𝑑𝑑_𝑒𝑒²

𝑑𝑑_𝑒𝑒² − 𝑑𝑑_𝑖𝑖² ≅ −𝑝𝑝_𝑖𝑖 𝑑𝑑_𝑚𝑚⁴

2𝑑𝑑_𝑚𝑚𝑠𝑠 = −𝑝𝑝^𝑖𝑖 𝑑𝑑_𝑚𝑚³ 2𝑠𝑠 𝜎𝜎_𝑟𝑟 = 𝐴𝐴^′ + 𝐵𝐵𝐹

𝑑𝑑² ≅ 0 𝜎𝜎_𝑡𝑡 = 𝐴𝐴^′ − 𝐵𝐵𝐹

𝑑𝑑² ≅ 𝑝𝑝_𝑖𝑖𝑑𝑑_𝑚𝑚 2𝑠𝑠

• Un serbatoio è assimilabile ad un tubo di spessore sottile con fondi di chiusura

Serbatoi

𝜎𝜎_𝑎𝑎 = 𝑝𝑝 𝜋𝜋𝐷𝐷4 ²

2𝜋𝜋 𝐷𝐷2 𝑠𝑠 = 𝑝𝑝𝐷𝐷

4𝑠𝑠 (= 𝐴𝐴^′) 𝜎𝜎_𝑡𝑡 = 𝐹𝐹

𝐴𝐴 =

𝑝𝑝𝐷𝐷𝑝𝑝 2𝑠𝑠𝑝𝑝 =

𝑝𝑝𝐷𝐷 2𝑠𝑠

Equazioni di Boyle e Mariotte

𝜎𝜎_𝑟𝑟 trascurabile