Solidi assialsimmetrici: tubi, serbatoi, dischi

Solidi assialsimmetrici: tubi, serbatoi, dischi

Lecture 16

Introduzione

• Con il termine «solidi assialsimmetrici» intendiamo

quei componenti riconducibili a solidi di rotazione (tubi, dischi, etc.)

• Obiettivo: determinazione dello stato di

sforzo/deformazione conseguente all’applicazione di sollecitazioni (principalmente carico di pressione)

• Tubi spessi vs tubi a parete sottile: nei secondi lo spessore è trascurabile rispetto al raggio.

Tubi a parete spessa

• Corpo cilindrico cavo soggetto a pressione interna e/o esterna

• Geometria e sollecitazione assialsimmetrica

• Stato di sforzo piano ( o deformazione piana)

• La trattazione che ne deriva è applicabile ad altri organi meccanici quali mozzi, dischi, serbatoi, etc.

Tubi a parete spessa: deformazioni

Ipotesi:

• Sistema di riferimento in coordinate polari: (r, t, z)

• Stato di sforzo piano: s_z=0

• Deformazione radiale e_r:

• u spostamento radiale

z

r

A

A’

B

B’

𝜀_𝑟 = 𝐴^′𝐵^′ − 𝐴𝐵

𝐴𝐵 = 𝑑𝑢 𝑑𝑟

Tubi a parete spessa: deformazioni

Ipotesi:

• Sistema di riferimento in coordinate polari: (r, t, z)

• Stato di sforzo piano: s_z=0

• Deformazione circonferenziale e_t:

• u spostamento radiale

• Deformazione assiale e_zè non nulla ed indipendente da u.

𝜀_𝜏 = 2𝜋 𝑟 + 𝑢 − 2𝜋𝑟

2𝜋𝑟 = 𝑢

𝑟

Tubi a parete spessa: equilibrio delle forze

• Equilibrio in direzione radiale:

𝑑𝜎_𝑟

𝑑𝑟 + 𝜎_𝑟 − 𝜎_𝑡

𝑟 = 0

dz

r

σ_z

dϕ

𝑑(𝜎_𝑟𝑟)

𝑑𝑟 − 𝜎_𝑡 = 0

𝑑𝑉 = 𝑆𝑑𝑟𝑑𝜙

(𝜎_𝑟+𝑑𝜎_𝑟) 𝑟 + 𝑑𝑟 𝑑𝜙𝑑𝑧 − 𝜎_𝑟𝑑𝑟𝑑𝑧𝑑𝜙 − 𝜎_𝑧𝑟𝑑𝑟𝑑𝑧𝑑𝜙 = 0

Tubi a parete spessa: campo degli spostamenti

• L’equazione per il campo di spostamenti si ottiene:

1. Sostituendo nell’equazione di equilibrio il legame costitutivo (congruenza)

2. Ed esprimendo le deformazioni in funzione di u ed r

Nota: lo stesso risultato si ottiene anche nell’ipotesi di deformazione piana (𝜀_𝑧 = 0)

𝜎_𝑟 = 𝐸

1 − 𝜈² 𝜀_𝑟 + 𝜈(𝜀_𝜏 + 𝜀_𝑧) = 𝐸 1 − 𝜈²

𝑑𝑢

𝑑𝑟 + 𝜈 𝑢

𝑟 + 𝜈𝜀_𝑧

𝜎_𝜏 = 𝐸

1 − 𝜈² 𝜀_𝜏 + 𝜈(𝜀_𝑟 + 𝜀_𝑧) = 𝐸 1 − 𝜈²

𝑢

𝑟 + 𝜈 𝑑𝑢

𝑑𝑟 + 𝜈𝜀_𝑧

Tubi a parete spessa: campo degli spostamenti

• Pertanto:

𝜎_𝑟 = 𝐸 1 − 𝜈²

𝑑𝑢

𝑑𝑟 + 𝜈 𝑢

𝑟 + 𝜈𝜀_𝑧 𝜎_𝜏 = 𝐸

1 − 𝜈²

𝑢

𝑟 + 𝜈 𝑑𝑢

𝑑𝑟 + 𝜈𝜀_𝑧 𝑑𝜎_𝑟

𝑑𝑟 + 𝜎_𝑟 − 𝜎_𝑡

𝑟 = 0

𝑑²𝑢

𝑑𝑟² + 1 𝑟

𝑑𝑢

𝑑𝑟 − 𝑢

𝑟² = 0

Problema di Lamè

Tubi a parete spessa: campo degli spostamenti

• Riconoscendo che l’equazione può essere riscritta come:

Integrando una volta:

Integrando una seconda volta,

𝑑 𝑑𝑟

1 𝑟

𝑑 𝑢𝑟

𝑑𝑟 = 0 Problema di Lamè

1 𝑟

𝑑 𝑢𝑟

𝑑𝑟 = 𝐶₁

𝑢𝑟 = 𝐶₁ 𝑟²

2 + 𝐶₂ 𝑢 = 𝐴𝑟 + 𝐵 𝑟

• Ricordando le definizioni delle deformazioni:

• Le costanti A’ e B’ sono determinate dalle condizioni al contorno

• Proprietà: la somma delle componenti di sforzo è costante

Tubi a parete spessa: campo delle deformazioni e delle tensioni

𝜀_𝑟 = 𝑑𝑢

𝑑𝑟 = 𝐴 − 𝐵 𝑟² 𝜀_𝜏 = 𝑢

𝑟 = 𝐴 + 𝐵 𝑟²

𝜎_𝑟 = 𝐸

1 − 𝜈² 𝐴 − 𝐵

𝑟² + 𝜈𝐴 + 𝜈 𝐵

𝑟² = 𝐴^′ + 𝐵′

𝑟² 𝜎_𝜏 = 𝐸

1 − 𝜈² 𝐴 + 𝐵

𝑟² + 𝜈𝐴 − 𝜈 𝐵

𝑟² = 𝐴^′ − 𝐵′

𝑟²

𝜎_𝑟 + 𝜎_𝜏 = 2𝐴^′

• Condizione generica: pressione interna ed esterna

Tubi a parete spessa: determinazione di A’ e B’

• 𝑟 = 𝑟_𝑒 ⇒ 𝑝 = −𝑝_𝑒

• 𝑟 = 𝑟_𝑖 ⇒ 𝑝 = −𝑝_𝑖

𝐴^′ + 𝐵′

𝑟_𝑒² = −𝑝_𝑒 𝐴^′ + 𝐵′

𝑟_𝑖² = −𝑝_𝑖

𝐴^′ = 𝑝_𝑖𝑟_𝑖² − 𝑝_𝑒𝑟_𝑒² 𝑟_𝑒² − 𝑟_𝑖² 𝐵′ = 𝑟_𝑖²𝑟_𝑒² 𝑝_𝑒 − 𝑝_𝑖

𝑟_𝑒² − 𝑟_𝑖²

Risultante delle forze assiali uniformemente distribuite

Si dimostra che la risultante assiale di forze uniformemente distribuite agenti su una superficie di forma qualsiasi è pari alla pressione moltiplicata per l’area proiettata della superficie sul piano ortogonale all’asse

Nella fattispecie se agisce la sola pressione interna p, la risultante assiale delle forze è

𝐹 = 𝑝 𝜋𝑟²

Significato fisico di A’

• Il numeratore è pari alla risultante delle forze assiali e il denominatore l’area della corona circolare;

• Il loro rapporto rappresenta lo sforzo assiale agente nel mantello cilindrico

re ri

𝐴^′ = 𝑝_𝑖𝑟_𝑖² − 𝑝_𝑒𝑟_𝑒²

𝑟_𝑒² − 𝑟_𝑖² = 𝜋 𝜋

𝑝_𝑖𝑟_𝑖² − 𝑝_𝑒𝑟_𝑒²

𝑟_𝑒² − 𝑟_𝑖² = 𝐹

𝐴 = 𝜎_𝑧

Deformazione e tensione assiale

• Tre casi:

a) Tensione piana

b) Tensione assiale uniforme s_z=A’

c) Deformazione piana

𝜀_𝑧 = − 𝜈

𝐸 𝜎_𝑟 + 𝜎_𝑧 = −2𝐴′ 𝜈 𝐸

a) b) c)

𝜀_𝑧 = 𝜎_𝑧

𝐸 − 𝜈

𝐸 𝜎_𝑟 + 𝜎_𝑧 = 1 − 2𝜈 𝐸 𝐴′

0 = 𝜎_𝑧

𝐸 − 𝜈

𝐸 𝜎_𝑟 + 𝜎_𝑧 ⇒ 𝜎_𝑧 = 2𝐴′𝜈

Casi particolari: tubo soggetto a sola pressione interna

𝐵′ = −𝑝_𝑖 𝑟_𝑖²𝑟_𝑒² 𝑟_𝑒² − 𝑟_𝑖² 𝐴^′ = 𝑝_𝑖𝑟_𝑖²

𝑟_𝑒² − 𝑟_𝑖²

𝜎_𝑟 𝑟 = 𝑟_𝑖 = 𝐴^′ + 𝐵^′

𝑟² = 𝑝_𝑖𝑟_𝑖²

𝑟_𝑒² − 𝑟_𝑖² − 𝑝_𝑖 𝑟_𝑖²

𝑟_𝑖²𝑟_𝑒²

𝑟_𝑒² − 𝑟_𝑖² = −𝑝_𝑖 𝜎_𝜏 𝑟 = 𝑟_𝑖 = 𝐴^′ − 𝐵^′

𝑟² = 𝑝_𝑖𝑟_𝑖²

𝑟_𝑒² − 𝑟_𝑖² + 𝑝_𝑖 𝑟_𝑖²

𝑟_𝑖²𝑟_𝑒²

𝑟_𝑒² − 𝑟_𝑖² = 𝑝_𝑖 𝑟_𝑖² + 𝑟_𝑒² 𝑟_𝑒² − 𝑟_𝑖²

Fattore di intensificazione

Casi particolari: tubo soggetto a sola pressione interna

𝐵′ = −𝑝_𝑖 𝑟_𝑖²𝑟_𝑒² 𝑟_𝑒² − 𝑟_𝑖² 𝐴^′ = 𝑝_𝑖𝑟_𝑖²

𝑟_𝑒² − 𝑟_𝑖²

𝜎_𝑟 𝑟 = 𝑟_𝑖 = −𝑝_𝑖

𝜎_𝜏 𝑟 = 𝑟_𝑖 = 𝑝_𝑖 𝑟_𝑖² + 𝑟_𝑒² 𝑟_𝑒² − 𝑟_𝑖²

1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

s r/p, s t/p

Cilindro internamente pressurizzato Sforzo_radiale

Sforzo_circonf

Applicando il criterio di Tresca per i materiali duttili

Nel caso di tubo internamente pressurizzato,

Risultato: al raggio interno la tensione equivalente supera di due volte la pressione interna!

Questo rende difficile dimensionare i tubi oltre certe pressioni.

Tensione equivalente

𝜎_𝑒𝑞^𝑇𝑟 = 𝜎₁ − 𝜎₃ = 𝜎_𝜏 − 𝜎_𝑟

𝜎_𝑒𝑞^𝑇𝑟 = 𝑝_𝑖 𝑟_𝑖² + 𝑟_𝑒²

𝑟_𝑒² − 𝑟_𝑖² + 𝑝_𝑖 = 2𝑝_𝑖 𝑟_𝑒² 𝑟_𝑒² − 𝑟_𝑖²

La condizione di sessore infinito si realizza per rapporti r_e/r_i> 4 In questo caso si ha,

Ovvero, con un tubo idealmente a spessore infinito il valore della tensione equivalente non si riduce.

Soluzione: tubi composti

Tubo a spessore infinito

𝐴^′ = 𝑝_𝑖𝑟_𝑖² − 𝑝_𝑒𝑟_𝑒²

𝑟_𝑒² − 𝑟_𝑖² ⟶ 0 𝐵′ = 𝑟_𝑖²𝑟_𝑒² 𝑝_𝑒 − 𝑝_𝑖

𝑟_𝑒² − 𝑟_𝑖² → −𝑝_𝑖𝑟_𝑖

𝜎_𝑟,𝜏 = ∓𝑝_𝑖 𝑟_𝑖² 𝑟_𝑒²

La condizione di spessore infinito si realizza per rapporti r_e/r_i> 4 In questo caso si ha,

Andamento del picco di tensione circonferenziale a raggio interno in funzione dello spessore (normalizzato)

Tubo a spessore infinito

𝐴^′ = 𝑝_𝑖𝑟_𝑖² − 𝑝_𝑒𝑟_𝑒²

𝑟_𝑒² − 𝑟_𝑖² ⟶ 0 𝐵′ = 𝑟_𝑖²𝑟_𝑒² 𝑝_𝑒 − 𝑝_𝑖

𝑟_𝑒² − 𝑟_𝑖² → −𝑝_𝑖𝑟_𝑖

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 1 2 3 4 5

s t, r=ri/p

Spessore/r_i

Le componenti di sforzo sono date da:

Componenti di sollecitazione entrambe di compressione.

Tubo pressurizzato esternamente

𝐵′ = 𝑝_𝑒 𝑟_𝑖²𝑟_𝑒² 𝑟_𝑒² − 𝑟_𝑖² 𝐴^′ = − 𝑝_𝑒𝑟_𝑒²

𝑟_𝑒² − 𝑟_𝑖² 𝜎_𝑟 = −𝑝_𝑖 𝑟_𝑒²

𝑟_𝑒² − 𝑟_𝑖² 1 − 𝑟_𝑖² 𝑟² 𝜎_𝜏 = −𝑝_𝑖 𝑟_𝑒²

𝑟_𝑒² − 𝑟_𝑖² 1 + 𝑟_𝑖² 𝑟²

1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0 -4.0

-3.5 -3.0 -2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

s r/p, s t/p

Distanza r/r_i

Cilindro esternamente pressurizzato s_r

s_t

• Cilindro pieno e pressione esterna

• Foro piccolo e pressione interna

• Raggio esterno grande e pressione interna

Soluzioni asintotiche

• 𝑟_𝑖 = 0 𝑝_𝑖 = 0

• 𝑟_𝑒 ≠ 0 𝑝_𝑒 ≠ 0

• 𝐴^′ = −𝑝_𝑒

• 𝐵^′ = 0

• 𝜎_𝑟 = −𝑝_𝑒

• 𝜎_𝑡 = −𝑝_𝑒

• 𝑟_𝑖 ≪ 𝑟_𝑒 𝑝_𝑖 = 0

• 𝑟_𝑒 ≠ 0 𝑝_𝑒 ≠ 0

• 𝐴^′ = −𝑝_𝑒

• 𝐵^′ → −𝑝_𝑒𝑟_𝑖²

• 𝜎_{𝑟(𝑟=𝑟𝑖)} = 0

• 𝜎_{𝑡(𝑟=𝑟𝑖)} = −2𝑝_𝑒

• 𝑟_𝑖 ≠ 0 𝑝_𝑖 ≠ 0

• 𝑟_𝑒 → ∞ 𝑝_𝑒 = 0

• 𝐴^′ = 0

• 𝐵^′ → −𝑝_𝑖𝑟_𝑖²

• 𝜎_{𝑟(𝑟=𝑟𝑖)} = −𝑝_𝑖

• 𝜎_{𝑡(𝑟=𝑟𝑖)} = 𝑝_𝑖

• Tubo internamente pressurizzato con r_e ~ r_i. Introduciamo il concetto di raggio medio

Estensione della teoria al caso di tubi a parete sottile

𝑟_𝑖 = 𝑟_𝑚 + 𝑠

2 𝑟_𝑒 = 𝑟_𝑚 − 𝑠 2 𝐴^′ = 𝑝_𝑖𝑟_𝑖²

𝑟_𝑒² − 𝑟_𝑖² = 𝑝_𝑖 𝑟_𝑚 − 𝑠 2

2

𝑟_𝑒 − 𝑟_𝑖 𝑟_𝑒 + 𝑟_𝑖 ≅ 𝑝_𝑖𝑟_𝑚 2𝑠 𝐵^′ = −𝑝_𝑖𝑟_𝑖²𝑟_𝑒² 𝑟_𝑖²𝑟_𝑒²

𝑟_𝑒² − 𝑟_𝑖² ≅ −𝑝_𝑖 𝑟_𝑚⁴

2𝑟_𝑚𝑠 = −𝑝_𝑖 𝑟_𝑚³ 2𝑠 𝜎_𝑟 = 𝐴^′ + 𝐵′

𝑟² ≅ 0 𝜎_𝑡 = 𝐴^′ − 𝐵′

𝑟² ≅ 𝑝_𝑖𝑟_𝑚 2𝑠

• Un serbatoio è assimilabile ad un tubo di spessore sottile con fondi di chiusura

Serbatoi

𝜎_𝑎 = 𝑝 𝜋𝐷² 4 2𝜋 𝐷

2 𝑠

= 𝑝𝐷

4𝑠 (= 𝐴^′) 𝜎_𝑡 = 𝐹

𝐴 = 𝑝𝐷𝐿

2𝑠𝐿 = 𝑝𝐷 2𝑠

Equazioni di Boyle e Mariotte

𝜎_𝑟 trascurabile

• La soluzione tecnologica del tubo composto serve a ridurre la tensione circonferenziale in corrispondenza della superficie interna del tubo pressurizzato al fine di garantirne la

resistenza a valori di pressione elevati non sopportabili con un semplice aumento dello spessore del mantello.

• La pressione esterna vie realizzata sul tubo interno attraverso un’interferenza meccanica: il tubo esterno ha un diametro interno inferiore al diametro esterno del tubo interno.

• L’interferenza viene temporaneamente annullata attraverso riscaldamento del tubo esterno ( e/o raffreddamento di quello interno)

Tubi composti

• La pressione di contatto generata sul tubo interno determina uno spostamento radiale u1 del raggio esterno

• Condizioni:

• Congruenza:

Tubi composti: pressione di contatto

𝜀_𝑡 = 𝑢₁

𝑟 → 𝑢₁ = 𝜀_𝑡𝑐

𝑝_𝑖 = 0 e 𝑝_𝑒 = 𝑝_𝑘

𝐵′ = 𝑝_𝑘 𝑐²𝑎² 𝑐² − 𝑎² 𝐴^′ = − 𝑝_𝑘𝑐²

𝑐² − 𝑎²

𝜀_𝑡 = 𝜎_𝑡

𝐸 − 𝜈 𝜎_𝑟 𝐸 𝜀_𝑡 = 1

𝐸 𝐴^′ − 𝐵′

𝑟² − 𝜈

𝐸 𝐴^′ + 𝐵^′

𝑟² = 1 − 𝜈

𝐸 𝐴^′ − 1 + 𝜈 𝐸

𝐵^′ 𝑟² 𝑢₁ = − 1 − 𝜈 𝑝_𝑘𝑐³

2 2 − 1 + 𝜈

𝑝_𝑘 𝑐𝑎²

2 2

• Ripetendo lo stesso ragionamento ma per il tubo esterno

• Condizioni:

• Spostamento:

• Interferenza

Tubi composti: pressione di contatto

𝜀_𝑡 = 𝑢₂

𝑟 → 𝑢₂ = 𝜀_𝑡𝑐

𝑝_𝑖 = 𝑝_𝑘e 𝑝_𝑒 = 0

𝐵′ = −𝑝_𝑘 𝑐²𝑏² 𝑏² − 𝑐² 𝐴^′ = 𝑝_𝑘𝑐²

𝑏² − 𝑐²

𝑢₂ = 1 − 𝜈 𝐸

𝑝_𝑘𝑐³

𝑏² − 𝑐² + 1 + 𝜈

𝐸 𝑝_𝑘 𝑐𝑏² 𝑏² − 𝑐²

Δ = 𝑢₂ − 𝑢₂ → 𝑝_𝑘 = 𝐸Δ 2𝑐³

𝑐² − 𝑎² 𝑏² − 𝑐² 𝑏² − 𝑎²

• Abbattimento della tensione circonferenziale per r=a in un tubo composto soggetto a pressione interna

• Per il principio di sovrapposizione degli effetti la s_t(r=a) è pari a quella che avrei in un tubo non composto dello stesso spessore meno quella che avrei nel solo cilindro interno senza pressione interna e con una pressione esterna pari a pk

• La tensione circonferenziale in A decresce per effetto della cerchiatura mentre in B cresce quindi la giusta interferenza Δ deve essere scelta in modo da garantire uguale resistenza dei cilindri

Tubi composti: pressione di contatto

𝜎_{𝑡(𝑟=𝑎)} = 𝑝_𝑖 𝑏² + 𝑎²

𝑏² − 𝑎² − 𝑝_𝑘 2𝑐 𝑐² − 𝑎²

𝜎_𝑒𝑞^𝐴 = 𝜎_𝑒𝑞^𝐴

Δ = 2𝑝_𝑖 𝐸

𝑐𝑏² 𝑐² − 𝑎²

𝑏² 𝑐² − 𝑎² + 𝑐² 𝑏² − 𝑐²

• Il principio dei cilindri composti può essere ripetuto più e più volte al fine di contenere pressioni molto elevate

• Es. Cannone «Schwerer Gustav»

progettato nel 1930, peso 1334 ton., 47 m lungo, calibro 800 mm, lanciava proiettili dal peso di 7 ton.

Con una gittata massima di 47 Km

Tubi composti: pressione di contatto

• Disco a spessore costante h, in rotazione con velocità angolare costante ω.

• Sul generico elemento per effetto della rotazione agisce la forza centrifuga dP.

• La forza dP è pari al prodotto della massa dell’elemento per l’accelerazione centrifuga.

Dischi in rotazione

𝑑𝑃 = 𝑑𝑚𝜔²𝑟 𝑑𝑚 = 𝜌𝑑𝑉 = 𝛾

𝑔 𝑑𝑉

• In maniera analoga ai cilindri pressurizzati, riscriviamo l’equazione di equilibrio

• Per la relazione di congruenza e ricordando la definizione delle deformazioni in funzione del solo spostamento radiale u

Dischi in rotazione: relazione di equilibrio

𝑑𝑃 = 𝛾

𝑔 (ℎ ∙ 𝑟 ∙ 𝑑𝜙 ∙ 𝑑𝑟)𝜔²𝑟

𝑑𝑚 = 𝜌𝑑𝑉 = 𝛾 𝑔 𝑑𝑉

𝑑(𝜎_𝑟𝑟)

𝑑𝑟 − 𝜎_𝑡 = − 𝛾

𝑔 𝜔²𝑟²

𝑑 𝑑𝑟

1 𝑟

𝑑 𝑢𝑟

𝑑𝑟 = − (1 − 𝜈²)𝛾

𝐸𝑔 𝜔²𝑟

• Integrando due volte rispetto ad r,

• Nota: al contrario dei tubi a grande spessore, nei dischi il campo di spostamenti radiali dipende dalle proprietà del materiale.

• Sostituendo nell’espressioni delle componenti di deformazione e poi nel legame costitutivo, otteniamo

Dischi in rotazione: relazione di equilibrio

𝑢 = − 1 − 𝜈² 𝛾

𝐸𝑔 𝜔² 𝑟³

8 + 𝐶₁ 𝑟

2 + 𝐶₂ 1 𝑟

𝜀_𝑟 = 𝐴 + 𝐵

𝑟² − 3 1 − 𝜈² 𝛾

𝐸𝑔 𝜔² 𝑟² 8 𝜀_𝜏 = 𝐴 + 𝐵

𝑟² − 1 − 𝜈² 𝛾

𝐸𝑔 𝜔² 𝑟² 8

𝜎_𝑟 = 𝐴^′ + 𝐵′

𝑟² − 3 + 𝜈 𝛾𝜔² 8𝑔 𝑟² 𝜎_𝜏 = 𝐴^′ − 𝐵′

𝑟² − 1 + 3𝜈 𝜔²𝛾 8𝑔 𝑟²

• In assenza di sollecitazioni esterne la tensione radiale al raggio esterno va a zero

• Il punto al centro appartiene all’asse di simmetria:

• Stato di sforzo:

Disco pieno

𝜎_{𝑟(𝑟=𝑟𝑒)} =0

𝐵^′ = 0 𝜎_𝑟 = 𝐴^′ + 𝐵′

𝑟² − 3 + 𝜈 𝛾𝜔²

8𝑔 𝑟² 𝐴^′ = − 𝐵^′

𝑟² + 3 + 𝜈 𝛾𝜔² 8𝑔 𝑟²

𝑢_(𝑟=0) =0 𝑢 = − 1 − 𝜈² 𝛾

𝐸𝑔 𝜔² 𝑟³

8 + 𝐴 𝑟

2 + 𝐵 1 𝑟

𝜎_𝑟 = 3 + 𝜈 𝛾𝜔²

8𝑔 (𝑟_𝑒² − 𝑟²) 𝜎_𝑡 = 3 + 𝜈 𝛾𝜔²

8𝑔 𝑟_𝑒² − 1 + 3𝜈 3 + 𝜈 𝑟²

Andamento parabolico Al centro entrambe le

componenti sono uguali

• In assenza di sollecitazioni esterne la tensione radiale al raggio esterno va a zero:

• In assenza di sollecitazioni interne la tensione radiale al raggio esterno va a zero:

Disco forato

𝜎_{𝑟(𝑟=𝑟𝑒)} =0 𝜎_𝑟 = 𝐴^′ + 𝐵′

𝑟² − 3 + 𝜈 𝛾𝜔²

8𝑔 𝑟² 𝐴^′ = −𝐵^′

𝑟_𝑒² + 3 + 𝜈 𝛾𝜔² 8𝑔 𝑟_𝑒²

𝜎_{𝑟(𝑟=𝑟𝑖)} =0 𝐴^′ = −𝐵^′

𝑟_𝑖² + 3 + 𝜈 𝛾𝜔² 8𝑔 𝑟_𝑖²

𝐴^′ = 3 + 𝜈 𝛾𝜔²

8𝑔 𝑟_𝑒² + 𝑟_𝑖² 𝐵^′ = 3 + 𝜈 𝛾𝜔²

8𝑔 𝑟_𝑒²𝑟_𝑖²

• Stato di sforzo:

• Sforzi massimi sempre in corrispondenza della parte centrale del disco

Disco pieno

𝜎_𝑟 = 3 + 𝜈 𝛾𝜔²

8𝑔 𝑟_𝑒² + 𝑟_𝑖² − 𝑟_𝑒²𝑟_𝑖²

𝑟² − 𝑟² 𝜎_𝑡 = 3 + 𝜈 𝛾𝜔²

8𝑔 𝑟_𝑒² + 𝑟_𝑖² + 𝑟_𝑒²𝑟_𝑖²

𝑟² − 1 + 3𝜈 3 + 𝜈 𝑟²

• Si definisce disco di uniforme resistenza un disco in cui in ogni punto la tensione radiale è uguale alla tensione circonferenziale ed è costante.

• Riscriviamo l’equazione di equilibrio considerando che lo spessore del disco non sarà costante

• Imponiamo la condizione di uniforme resistenza:

Disco di uniforme resistenza

𝑑(𝜎_𝑟𝑟𝑦)

𝑑𝑟 − 𝑦𝜎_𝑡 = − 𝛾

𝑔 𝜔²𝑟²𝑦

𝜎_𝑟 = 𝜎_𝑡 = 𝜎₀ 𝑑𝑦

𝑑𝑟 𝜎₀𝑟 + 𝑦𝜎₀ − 𝑦𝜎₀ = − 𝛾

𝑔 𝜔²𝑟²𝑦 𝑑𝑦

𝑦 = − 𝛾

𝑔𝜎₀ 𝜔²𝑟𝑑𝑟

• Integrando:

• Legge di variazione esponenziale dello spessore in funzione di r.

• Al bordo esterno la tensione radiale diversa da zero va equilibrata con una massa.

Disco di uniforme resistenza

ln 𝑦 = − 𝛾

𝑔𝜎₀ 𝜔² 𝑟²

2 + 𝑦₀ 𝑦 = 𝑦₀𝑒𝑥𝑝 − 𝛾

𝑔𝜎₀ 𝜔² 𝑟² 2

• Il comportamento di molti componenti (caldaie, serbatoi, cisterne, etc.) sono

riconducibili al comportamento di gusci (shell)

• La teoria è complessa. Si semplifica

notevolmente facendo le seguenti ipotesi:

• Sforzo uniforme nello spessore (assenza di flessioni)

• Guscio come superficie media di rotazione (simmetria assiale)

• Questa teoria , «detta particolare», fornisce soluzioni tanto più accurate quanto minore è lo spessore (comportamento membranale)

Teoria dei gusci

• Equilibrio delle forze lungo la normale alla superficie

• Equazione di Laplace

𝜎_𝑎

𝜌_𝑚 + 𝜎_𝑐

𝜌_𝑡 = 𝑝 𝑡

• Equilibrio delle forze lungo la direzione assiale

• F risultante delle forze (pressione e non)

• Solo pressione interna:

• Il comportamento di molti componenti (caldaie, serbatoi, cisterne, etc.) sono

riconducibili al comportamento di gusci (shell)

• La teoria è complessa. Si semplifica

notevolmente facendo le seguenti ipotesi:

• Sforzo uniforme nello spessore (assenza di flessioni)

• Guscio come superficie media di rotazione (simmetria assiale)

• Questa teoria , «detta particolare», fornisce soluzioni tanto più accurate quanto minore è lo spessore (comportamento membranale)

Teoria dei gusci

𝜎_𝑎𝑠𝑖𝑛𝜃2𝜋𝑟𝑡 = 𝐹

𝑝𝜋𝑟² = 𝐹

• Equilibrio circonferenziale

• Equilibio assiale

Teoria dei gusci: equazioni di Mariotte

𝜎_𝑎

𝜌_𝑚 + 𝜎_𝑐

𝜌_𝑡 = 𝑝 𝑠

𝜎_𝑐 = 𝐹

𝐴 = 𝑝𝐷𝐿

2𝑠𝐿 = 𝑝𝐷 2𝑠 𝜌_𝑚 = ∞ 𝑒 𝜌_𝑡 = 𝐷/2

𝜃 = 𝜋

2 𝑒 𝐹 = 𝑝𝜋 𝐷 2

2

𝜎_𝑎 = 𝐹

𝐴 = 𝑝 𝜋 4 𝐷²

𝑠2𝜋𝐷/2 = 𝑝𝐷 4𝑠

• Consideriamo un serbatoio contenente liquido. Le sollecitazioni sul serbatoio saranno dovute a:

• Pressione idrostatica del liquido

• Peso del liquido

• Peso proprio del serbatoio

• Il tratto AB del mantello cilindrico non è colmo e quindi è soggetto al solo peso del liquido + il peso proprio che genera tensione uniassiale

Teoria dei gusci: Serbatoio contenente liquido

𝑝 ℎ = 𝜌𝑔ℎ = 𝛾_𝐿ℎ

• Il punto maggiormente sollecitato del tratto BD è in D, dove agisce la massima pressione idrostatica

• In D:

Teoria dei gusci: Serbatoio contenente liquido

𝜌_𝑚 = ∞ 𝜌_𝑡 = 𝑅 𝑝 = 𝛾_𝐿𝐵𝐷 𝜃 = 𝜋/2 𝜎_𝑎

𝜌_𝑚 + 𝜎_𝑐

𝜌_𝑡 = 𝑝 𝑠

𝜎_𝑎𝑠𝑖𝑛𝜃(2𝜋𝑟)𝑡 = 𝐹

𝐹 = 𝛾_𝐿𝑉_𝐿 + 𝛾_𝑚𝑉_𝑚 𝛾_𝐿𝑉_𝐿 =

𝐷 𝐸

𝑝(ℎ)𝜋𝑅²𝑑ℎ 𝜎 = 𝛾_𝐿𝐵𝐷

𝛾_𝑚𝑉_𝑚 + 𝜋𝑅² _𝐷^𝐸 𝑝(ℎ)𝑑ℎ 𝑅

• In E la tensione assiale si ottiene da:

• Con F peso del liquido (sino ad E) + peso della struttura

Teoria dei gusci: Serbatoio contenente liquido

𝜌_𝑚 = 𝜌_𝑡= 𝑟

𝜎_𝑎𝑠𝑖𝑛𝜃(2𝜋𝑟)𝑡 = 𝐹

𝑝 = 𝛾_𝐿𝐵𝐸 𝜎_𝑎

𝜌_𝑚 + 𝜎_𝑐

𝜌_𝑡 = 𝑝 𝑠

𝜎_𝑐 = 𝛾_𝐿𝐵𝐸

𝑠 𝑟 − 𝜎_𝑎

• Nel fondo e nel mantello di pari spessore le deformazioni circonferenziali non sono uguali.

Tipicamente il fondo è più rigido (si deforma meno)

• Nelle zone di collegamento nascono delle sovratensioni che garantiscono la congruenza delle deformazioni

Interazione fondo-mantello

• Congruenza degli spostamenti radiali.

• Serbatoio cilindrico:

• Fondo semisferico:

Interazione fondo-mantello

𝜎_𝑐 = 𝑝𝐷 2𝑠 𝜎_𝑎 = 𝑝𝐷

4𝑠

𝜀_𝑐^𝑀 = 𝜎_𝑐

𝐸 − 𝜈

𝐸 𝜎_𝑎 + 𝜎_𝑟 = 𝑝𝐷

𝐸2𝑠_𝑀 1 − 𝜈 2

𝜎_𝑐,𝑎 = 𝑝𝐷

4𝑠 𝜀_𝑐^𝐹 = 𝜎_𝑐

𝐸 − 𝜈

𝐸 𝜎_𝑎 + 𝜎_𝑟 = 𝑝𝐷 𝐸2𝑠_𝐹

1 − 𝜈 2

• Imponendo l’uguaglianza delle deformazioni radiali:

Interazione fondo-mantello

𝜀_𝑐^𝑀 = 𝜀_𝑐^𝐹

𝑝𝐷

𝐸2𝑠_𝑀 1 − 𝜈

2 = 𝑝𝐷 𝐸2𝑠_𝐹

1 − 𝜈 2

𝑠_𝐹 ≅ 0.41𝑠_𝑀 𝑠_𝐹

𝑠_𝑀 = 1 − 𝜈 2 − 𝜈

• La congruenza delle deformazioni comporta un peggioramento dello stato di tensione nella zona di

transizione fondo-mantello

• La tensione assiale aumenta del 30% e quella circonferenziale del3%

• L’adozione di fondi con profilo più schiacciato comporta