Prova scritta di Geometria 17 Ottobre 2013 1)

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Prova scritta di Geometria 17 Ottobre 2013

1) Nel piano euclideo reale E

siano dati i punti A ≡ (4, 2) e B ≡ (2, −1) e la retta r)x + 3y − 5 = 0. Determinare: a) equazioni parametriche e cartesiana per la retta s passante per A e B; b) equazione parametrica e coefficienti direttori per la retta t passante per A e parallela a r; c) equazione cartesiana della retta v passante per B e perpendicolare a r; d) il punto di intersezione fra t e v.

2) Sia W = Span{u

= (2, 1, −1, 3), u

= (1, −1, 3, 1), u

= (2k, 0, 4, 3k − 1)}. Determinare per quale valore del parametro k ∈ R, la dimensione di W risulta 2. Per il valore di k individuato: a) determinare una base e le equazioni cartesiane di W ; b) dire se la base di W individuata ` e ortonormale;

c) completare la base trovata in a) ad una bae di R

.

3) Dato l’endomorfismo φ : R

→ R

associato alla matrice





0 1 1

−1 2 1

1 −1 0



 rispetto alla base canonica, determinarne nucleo e immagine, la dimensione ed una base per ciascuno di questi spazi. Definire il concetto di rango di un’applicazione lineare e metterlo in relazione, in generale e nell’esempio, alle propriet` a di una applicazione lineare.

4) Nello spazio euclideo E

siano dati la retta r)



 

 

x = 1 − 2t y = 2 + t z = −1 + 3t

e il punto

A = (−2, 1, −2). Stabilire la distanza di A da r. Determinare le equazioni parametriche del piano α contenente A e r e l’equazione cartesiana del piano β passante per A e perpendicolare a r. Stabilire la posizione reciproca fra α e β; tali piani individuano un fascio proprio? Scriverne l’equazione.

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