Analisi dei segnali campionati
1 - Il teorema del campionamento
Campionamento ideale
Il campionamento (sampling) di un segnale analogico s(t) consiste nel prenderne solo i valori s(iTc) in corrispondenza a istanti ben precisi (iTc) detti istanti di campionamento.
Per esaminare le proprietà fondamentali è utile riferirsi al caso ideale in cui il campionamento è effettuato impiegando un treno di impulsi matematici. Sia dunque s(t) un generico segnale nel tempo, con spettro S(f) limitato in banda fino alla frequenza fM (Fig.1.1). In Fig.1.1 si è adottata la rappresentazione bilatera dello spettro (alle frequenze positive e negative).
Fig.1.1 - Segnale a banda limitata.
Sia inoltre c(t) un treno di impulsi matematici, di durata infinita, ciascuno con area unitaria (Fig.1.2), equispaziati dell’intervallo di campionamento Tc (e con frequenza fc=1/Tc).
Il suo spettro C(f) risulta, come è noto, una sequenza di impulsi in frequenza.
Fig.1.2 - Impulsi matematici di campionamento: rappresentazione nel tempo e in frequenza.
Per i segnali s(t) e c(t), potremo scrivere la seguente corrispondenza fra tempo e frequenza:
∑
+∞∑
−∞
=
∞ +
−∞
=
− δ
=
⇔
− δ
=
⇔
i k
c c
c C f f f kf
iT t t
c
f S t s
) (
) ( ) ( )
(
) ( ) (
(1.1)
Il campionamento ideale consiste nel moltiplicare il segnale s(t) per il treno di impulsi c(t):
∑
∑
+∞−∞
= +∞
−∞
=
− δ
⋅
=
− δ
⋅
=
⋅
=
i
c c
i
c
c t s t c t s t t iT s iT t iT
s ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1.2)
Per determinare lo spettro del segnale campionato è sufficiente ricordare che al prodotto algebrico nel tempo corrisponde il prodotto di convoluzione in frequenza:
) ( ) ( ) ( )
(t c t S f C f
s ⋅ ⇔ ∗ (1.3)
Pertanto la trasformata di Fourier del segnale campionato risulta:
∑
∑
+∞−∞
= +∞
−∞
=
−
=
− δ
∗
=
k
c c
k
c c
c f S f f f kf f S f kf
S ( ) ( ) ( ) ( ) (1.4)
Quindi lo spettro del segnale campionato (Fig.1.3) è formato dalle repliche dello spettro del segnale originario S(f), traslate su frequenze multiple della frequenza di campionamento fc. Inoltre le ordinate di tali repliche risultano tutte moltiplicate per un fattore di scala pari a fc.
Fig.1.3 - Segnale campionato e suo spettro.
Osservando lo spettro del segnale campionato, risulta evidente che, affinchè non esistano sovrapposizioni fra le diverse repliche, è sufficiente che il periodo di ripetizione in frequenza sia maggiore o al più uguale a 2fM:
M c
c f
f =T1 ≥2 (1.5)
Il filtro di ricostruzione
Se la frequenza di campionamento fc è maggiore almeno del doppio della massima frequenza fM contenuta nel segnale, eseguendo il filtraggio della sequenza di impulsi con un filtro passa- basso HR(f), che abbia una risposta piatta da 0 a fM e risposta nulla per f >(fc - fM), si riottiene in uscita il segnale originario s(t), in quanto se ne isola lo spettro S(f) in banda base (Fig.1.4).
Fig.1.4 - Il filtro di ricostruzione.
Per il corretto ripristino delle ampiezze, il guadagno del filtro di ricostruzione entro la banda piatta (0÷fM) deve essere costante e pari a H0 = 1/fc.
Aliasing
Se viceversa fc < 2fM, ossia i campioni sono troppo radi, non è possibile riottenere il segnale originario in alcun modo, a causa della sovrapposizione delle repliche che crea un disturbo da spettro adiacente. Tale fenomeno è detto aliasing (Fig.1.5A).
Fig.1.5 - A) Distorsione di aliasing; B) Ricostruzione con filtro passa-basso ideale.
Di particolare interesse è il caso limite in cui fc = 2fM (Fig.1.5B): in tal caso la ricostruzione è ancora possibile con un filtro passa-basso ideale senza che vi sia alterazione dello spettro originario in banda base (0÷fM). In queste condizioni si ha il minimo valore teorico per la frequenza di campionamento, cui corrisponde il massimo intervallo temporale fra i campioni:
M c
c f f
T 2
1 = 1
= (1.6)
Le funzioni interpolanti
La risposta del filtro passa basso-ideale alla sequenza di impulsi matematici di valore s(iTc) riproduce dunque il segnale originario s(t). D’altra parte un filtro passa-basso ideale, che ha la funzione di trasferimento pari ad H0 per f = (0÷fM) e zero altrove, ha la risposta impulsiva:
) 2 (
) 2 ( )sin 2 ( )
( 0
t f
t f f
H t h
M M
M π
⋅ π
= (1.7)
Consegue che, adottando la massima velocità di campionamento consentita (fc=2fM) e facendo il guadagno H0 = 1/fc = 1/2fM, il segnale s(t) può esprimersi direttamente come somma delle risposte h(t) del filtro a ciascuno degli impulsi costituenti la sequenza:
)]
( [ sinc ) )] (
( [
)]
( [ )sin ( )
( c c
i
c c
c
c c i
c s iT f t iT
iT t f
iT t iT f
s t
s = π −
− π
−
=
∑
π∑
+∞−∞
= +∞
−∞
=
(1.8) La funzione sinc(πfct) = [sin(πfct)]/[πfct], che consente di ricostruire il segnale s(t) dalla
conoscenza dei suoi campioni s(iTc), è detta funzione interpolante o di campionamento.
La ricostruzione del segnale s(t) avviene mediante il contributo di tutte le funzioni sinc relative a tutti i campioni che formano la sequenza, tranne che negli istanti di campionamento.
Un’interpretazione grafica di questo fatto è fornita nella Fig.1.6, dove è rappresentata la sovrapposizione delle funzioni sinc relative a tre campioni.
Fig.1.6 - Ricostruzione del segnale campionato.
Prefiltraggio
Spesso i segnali hanno un contenuto armonico piuttosto esteso, ma le componenti armoniche a frequenza più alta sono di entità insignificante. In tali casi è utile compiere un filtraggio che riduce la banda del segnale fM a quella realmente significativa fM’.
In tal modo la riduzione della massima frequenza del segnale da fM a fM’ consente l’uso di frequenze di campionamento più basse ed evita il fenomeno di aliasing.
Il filtro antialiasing è di norma presente in tutti gli stadi di ingresso dei sistemi di misura digitali a campionamento.
Il campionamento in pratica
Gli impulsi matematici utilizzati per dimostrare il teorema del campionamento non sono evidentemente utilizzabili in pratica e costituiscono solo un mezzo analitico.
Se il fine della procedura di campionamento è quello di conoscere i valori s(iTc) del segnale originario s(t) in precisi istanti di tempo (iTc), dovremo ricorrere a circuiti elettronici idonei a questo scopo. Nei casi pratici il campionamento di un segnale viene realizzato con il circuito di sample & hold che rileva il valore del segnale analogico ogni Tc secondi.
Il valore campionato viene mantenuto per il tempo necessario al convertitore AD per effettuare la conversione in forma numerica.
Se si rispetta il vincolo imposto dal teorema del campionamento, i campioni ottenuti in tal modo sono comunque sufficienti a conoscere esattamente (a parte il rumore di quantizzazione, che non dipende dal campionamento) tutta l’informazione contenuta nel segnale.
La ricostruzione in pratica
Anche il processo di ricostruzione, esaminato in precedenza con le funzioni interpolanti, non può in pratica ricorrere a impulsi matematici né a funzioni sinc indefinitamente estese.
D’altra parte, presenta notevole interesse pratico nel caso in cui si debba produrre un segnale analogico s(t), partendo da una sequenza di numeri s(iTc) che ne rappresentano i campioni, presi ogni Tc secondi. Il campo di applicazione pratica di tale tecnica si ha nei generatori programmabili di segnali. Tali strumenti sono in grado di generare fisicamente dei segnali di tensione, con una forma d’onda nota (sinusoidale, triangolare, quadra, ecc.) ma anche arbitraria. In essi si determina il valore numerico di ciascun campione del segnale che si vuole generare, tramite una funzione matematica oppure una tabella.
I valori dei campioni così ottenuti vengono quindi attribuiti agli impulsi elementari di una sequenza. Questi impulsi elementari possono essere di varia forma, ottimizzata per specifiche applicazioni, ma tipicamente sono rettangolari, oppure delle sinc con durata limitata. Gli impulsi attraversano il successivo filtro passa-basso (di ricostruzione) che isola le componenti in banda base, approssimando in tal modo il segnale desiderato.
2 - Troncamento del segnale
Distorsione di leakage
L’analisi di Fourier è un metodo ben noto per ottenere informazioni sullo spettro di un segnale e può essere impiegata anche su segnali campionati.
Tuttavia occorre soffermarci su alcuni aspetti particolari e mettere in evidenza alcune considerazioni importanti.
Si è già visto che l’analisi di Fourier si applica formalmente a segnali di durata infinitamente estesa e pertanto anche la sequenza dei campioni che rappresenta il segnale in forma discreta dovrà essere teoricamente di lunghezza infinita.
Tale ipotesi non è realizzabile nella pratica, tuttavia può essere approssimata quando si tratti di segnali di durata molto estesa rispetto all’intervallo di campionamento.
In generale, con riferimento a un processo di campionamento reale, la sequenza dei campioni avrà necessariamente un inizio e una fine, e pertanto il numero dei campioni a disposizione sarà in numero finito.
Per esaminare il problema è utile considerare il segnale di durata limitata come una porzione del segnale generico s(t), prelevata attraverso una opportuna finestra temporale w(t), detta anche finestra di troncamento o di osservazione window.
L’effetto del troncamento sul segnale si può rappresentare nel seguente modo:
) ( ) ( )
(t s t wt
sw = ⋅ (2.1)
La trasformata di Fourier del segnale troncato risulta dalla convoluzione degli spettri:
) ( ) ( )
(f S f W f
Sw = ∗ (2.2)
La convoluzione della trasformata S(f) del segnale con la trasformata W(f) della finestra di troncamento introduce un nuovo tipo di distorsione, detta di dispersione (leakage).
In pratica, se lo spettro del segnale originario S(f) contiene delle transizioni nette, ad esempio componenti armoniche impulsive come nel caso di un segnale periodico nel tempo, tali transizioni vengono smussate e lo spettro del segnale periodico troncato si disperde in frequenza, tanto più quanto più è stretta la finestra di troncamento.
Si consideri, per fissare le idee, un segnale sinusoidale s(t) di ampiezza A e frequenza f0. Il suo spettro bilatero S(f) presenta due impulsi matematici di area A/2 alle frequenze ±f0:
) 2 (
) 2 (
) ( 2
cos )
( 0 0 A f f0
f A f
f S t
f A
t
s = π ⇒ = δ + + δ − (2.3)
La funzione coseno ha spettro di fase nullo, quindi S(f) è reale.
Supponiamo ora di troncare il segnale con una finestra rettangolare w(t) di durata Tw. La trasformata di Fourier W(f) della finestra rettangolare è del tipo sin(x)/x:
w w w
T fT
T fT f
W t
rect t
w w π
⋅ π
=
⇒
⋅
= sin
1 ) ( )
( 1
)
( (2.4)
Pertanto, lo spettro del segnale sinusoidale troncato è dato dalla convoluzione dei due spettri:
) 2 (
) 2 (
) 2 (
) 2 (
) ( ) ( ) ( ) (
0 0
0 0
f f AW f f AW
f A f
f A f
f W f S f W f Sw
− +
+
=
⎟=
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ δ + + δ −
∗
=
∗
=
(2.5)
e produce l’effetto rappresentato in Fig.2.1.
L’entità della dispersione in frequenza dell’impulso matematico originario dipende dalla durata Tw della finestra di osservazione e dal suo andamento temporale. In particolare l’andamento nel tempo della finestra di troncamento w(t) determina l’ampiezza dei lobi laterali della dispersione e risulta quindi direttamente responsabile della accuratezza con cui viene stimato lo spettro del segnale troncato.
Sotto questo aspetto, concreti vantaggi possono essere ottenuti utilizzando finestre temporali non rettangolari, ma con transizione più graduale delle estremità (smoothing windows), per esempio con il profilo punteggiato in Fig.2.1. Le fineste temporali con le estremità non brusche, sono infatti caratterizzate da spettri con lobi laterali e code meno pronunciati.
Fig.2.1 - Dispersione dello spettro per un segnale sinusoidale troncato.
Segnale campionato e troncato
Si consideri ora il campionamento di un segnale troncato, osservato attraverso la finestra rettangolare w(t) di durata Tw=NTc, essendo N il numero di impulsi considerati e Tc
l’intervallo di campionamento.
In tale ipotesi il segnale campionato e troncato sarà individuato dagli N campioni:
) 1 ..., , 2 , 1 , 0 ( )
(iT i= N−
s c (2.6)
e può essere analiticamente rappresentato nella forma (vedi Fig.2.2):
∑
−=
− δ
= 1
0
, ( ) ( ) ( )
N
i
c c
w
c t s iT t iT
s (2.7)
La trasformata di Fourier della sequenza di campioni risulta, applicando la proprietà di traslazione nel tempo:
iTc
f j N
i c w
c f s iT e
S − π
−
∑
== 1 2
0
, ( ) ( ) (2.8)
Questa espressione costituisce un altro modo di rappresentare lo spettro a repliche di un segnale campionato. Tale spettro può essere inteso come una serie di funzioni esponenziali, nel dominio della frequenza, pesate con le ampiezze dei vari campioni.
Si osserva che lo spettro del segnale campionato e troncato risulta ancora una funzione continua nella frequenza (vedi Fig.2.2), formata da repliche dello spettro in banda base.
Tuttavia a causa del troncamento del segnale nel tempo, sarà in generale presente nello spettro
In conseguenza di questo fatto nascerà anche una distorsione di aliasing nel replicare lo spettro. Si vedano in Fig.2.2 le code delle repliche in Sc,w(f).
Fig.2.2 - Segnale campionato e troncato.
3 - Analisi per segnali periodici campionati e troncati
Trasformata discreta di Fourier (DFT)
Dal punto di vista della conoscenza dell’informazione sullo spettro di un segnale campionato e troncato (quindi caratterizzato da N numeri) sarebbe strettamente sufficiente conoscere l’andamento dello spettro solo nell’intervallo di ripetizione in frequenza (0÷fc).
La trasformata discreta di Fourier (Discrete Fourier Transform, DFT) consente di valutare il contenuto armonico in tale intervallo mediante un numero N di componenti discrete.
Il passaggio a una rappresentazione discreta dello spettro risulta concettualmente semplice, osservando che la sequenza finita di N campioni nel tempo può essere considerata appartenente a una successione di sequenze di periodo Tw=NTc che si ripetono indefinitamente dando luogo a un segnale periodico sc,p(t) con frequenza fw=1/Tw (Fig.3.1).
Fig.3.1 - Corrispondenza fra sequenze nel tempo e nella frequenza.
Lo spettro Sc,p(f) della sequenza di campioni replicata nel tempo con periodo Tw, risulta allora
uno spettro a righe, spaziate di fw=1/Tw.
In definitiva, la ripetizione dello spettro in frequenza dipende dal campionamento nel tempo, così come il campionamento in frequenza è dovuto alla periodicità del segnale nel tempo.
Il legame di trasformazione fra i campioni nel tempo si=s(iTc) e i campioni in frequenza Sk=S(kfw) è dato dalla trasformata discreta diretta e inversa di Fourier.
Definizioni della DFT
Poiché le trasformazioni discrete di Fourier (diretta e inversa) coinvolgono solo campioni (sia nel dominio del tempo che della frequenza) vengono definite in forma normalizzata rispetto a variabili indipendenti di tipo adimensionale: pertanto la variabile “tempo” diventa l’indice i, mentre la variabile “frequenza” diventa l’indice k.
La definizione delle componenti armoniche a frequenze multiple di fw, cioè multiple di fc/N, è la seguente:
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ =
=
=
− π
−
= π
− −
=
∑
∑
s iT e s iT e f NfS jN ki w c
N
i
c T
i f k j N
i
c
k ( ) w c ( ) con
1 2
0 ) )(
( 2 1
0
(3.1) In pratica, di tutte le possibili componenti armoniche di ordine k, solo le prime N/2 sono significative e portano informazione. Le successive N/2 armoniche sono speculari (complesse e coniugate) rispetto alla frequenza fc/2 (detta frequenza di folding o di ripiegamento).
Spesso si definisce, per comodità, l’operatore:
jN
e W
π
= 2 (3.2)
Quindi la trasformata discreta di Fourier (DFT) risulta, in forma compatta:
(3.3)
(
0,1,2,... 11
0
−
=
= − −
∑
= s W k NS ki
N
i i
k
)
In modo analogo viene definita la trasformata inversa (IDFT):
(
0,1,2,... 11 1
0
−
=
=
∑
−=
N i
W N S
s ki
N
k k
i
)
(3.4)Si osservi infine che taluni Autori adottano altre definizioni per la trasformazione diretta e inversa, per esempio scambiando il segno “meno” all’esponente di W, oppure scambiando il fattore 1/N, fra le due definizioni. Ciò non cambia il senso della trasformazione.
Utilizzando la tipica struttura di queste relazioni sono stati messi a punto algoritmi efficienti per il calcolo veloce delle diverse componenti armoniche tramite DFT.
Qualora il numero di campioni risulti una potenza di due, gli algoritmi FFT (Fast Fourier Transform) risultano particolarmente utili e sono ormai consolidati nell’analisi armonica dei segnali tramite elaboratore o microprocessori dedicati.
DFT di segnali periodici
I segnali periodici sono di particolare interesse pratico.
In tali casi, l’analisi armonica mediante DFT richiede una certa cautela, soprattutto in relazione alla scelta della finestra di troncamento e al fatto che la frequenza di campionamento sia o meno sincronizzata con la frequenza fondamentale del segnale da analizzare.
Per comprendere tali aspetti, si consideri, come esempio, un segnale sinusoidale di frequenza
f0 e si supponga che venga campionato alla frequenza fc sufficiente a garantire il rispetto del teorema del campionamento.
Riferiamoci inizialmente alla Fig.3.2 e osserviamo che:
• La finestra di osservazione Tw contiene un numero intero m di periodi T0 del segnale da analizzare. In particolare nell’esempio si ha: m = 6 e pertanto Tw = mT0 = 6T0.
• Detto N il numero totale di campioni che cadono in tale finestra di osservazione Tw, la frequenza di campionamento risulta: fc = 1/Tc = N/Tw = Nfw = Nf0/m.
In particolare, nell’esempio si ha: N = 24 campioni e pertanto fc = 24fw = (24/6)f0 = 4f0. In tal caso, ripetere la finestra di osservazione Tw indefinitamente nel tempo, significa riprodurre in forma esatta la funzione periodica.
Fig.3.2 - Spettro di una sinusoide campionata e troncata: Tw= 6T0 e T0= 4Tc.
E infatti il calcolo della DFT per le diverse componenti kfw fornisce componenti tutte nulle tranne proprio l’unica componente armonica effettivamente presente alla frequenza f0 = 6fw, come rappresentato nello spettro di Fig.3.2.
Si consideri ora un secondo esempio, rappresentato in Fig.3.3, dove la finestra di osservazione Tw non risulta un multiplo intero m del periodo T0 e supponiamo Tw = mT0 = 6,5T0.
Fig.3.3 - Spettro di una sinusoide campionata e troncata: Tw = 6,5T0 e T0 = (24/6,5)Tc. Per agevolare il confronto dei due esempi, la durata di osservazione Tw è stata assunta uguale nei due casi, pertanto risultano anche uguali gli step fw = 1/Tw nel dominio della frequenza.
In corrispondenza di tali punti saranno presenti i valori calcolati con la DFT.
Supponiamo inoltre che nel tempo Tw si prelevino ancora N = 24 campioni.
Allora la frequenza di campionamento risulta: fc = 24fw = (24/6,5)f0 = 3,692f0.
In pratica risulta che, con le ipotesi fatte, la frequenza di campionamento fc è uguale a quella
del caso precedente, ma è cambiato il suo rapporto con la frequenza f0 del segnale sinusoidale.
La finesta di osservazione contiene 6,5 periodi T0 del segnale. In questo caso, la ripetizione nel tempo del segnale campionato e troncato non riprodurrà esattamente la funzione periodica originaria, con una conseguente distorsione nello spettro.
Questo fatto trova riscontro nella DFT, che evidenzierà, in tal caso, componenti armoniche non presenti nello spettro del segnale periodico originario, come si vede in Fig.3.3.
Conclusione
Per concludere l’analisi di questo esempio, si consideri infine la Fig.3.4.
La finestra di osservazione ha ancora durata Tw mentre vengono prelevati N = 26 campioni.
In tal caso, la frequenza di campionamento è fc = 26fw = (26/6,5)f0 = 4f0 ma le cose non cambiano, con riferimento alla dispersione delle righe spettrali, come si osserva nella Fig.3.4.
Dall’esame dei semplici casi riportati, si conclude che, per una corretta analisi armonica di segnali periodici mediante DFT, riveste particolare importanza la scelta della finestra di troncamento e il fatto che la frequenza di campionamento sia sincronizzata con la frequenza fondamentale del segnale da analizzare.
Fig.3.4 - Spettro di una sinusoide campionata e troncata: Tw = 6,5T0 e T0 = (26/6,5)Tc. Qualora non si riesca a rendere la finestra di osservazione esattamente multipla del periodo del segnale, un modo per limitare l’inconveniente può essere quello di impiegare finestre molto ampie rispetto al periodo della fondamentale e soprattutto del tipo con transizione graduale delle estremità (smoothing windows).
Per concludere, occorre ancora ricordare che:
• Il concetto di armoniche si riferisce a condizioni di regime; quindi il segnale deve essere stazionario, per ottenere risultati accurati nell’uso della DFT.
• La forma d’onda non deve contenere frequenze interarmoniche, cioè componenti con frequenze che non sono multipli interi della frequenza fondamentale.
