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L’ANALISI ARMONICA DI UN SEGNALE PERIODICO
Il segnale elettrico è una grandezza fisica (in genere una tensione) che varia in funzione del tempo e che trasmette un'informazione.
Quasi tutti i segnali che interagiscono con le nostre macchine sono periodici, cioè si ripetono tali e quali dopo un certo intervallo di tempo: il periodo. Ci farebbe molto comodo se queste grandezze fossero delle funzioni matematiche semplici da trattare, anzi, ci farebbe molto piacere se fossero seni o coseni (le funzioni periodiche più semplici). La dura realtà è diversa: compiendo misure con l'osciloscopio si presentano le più svariate forme, ad esempio quella di figura 1.
Allora perché non cercare di risolvere il problema scomponendolo in sottoproblemi? Come si può procedere? La soluzione ci è stata fornita da un matematico francese: Jean Baptiste Joseph Fourier (21 marzo 1768 – 16 maggio 1830) il quale ha dimostrato che una qualsiasi funzione periodica è data dalla somma di infinite sinusoidi ciascuna avente ampiezza, frequenza e fase opportune.
Ma iniziamo con un caso semplicissimo: una sinusoide. La sua formula è data da:
f(t)=V0sin(ωt+φ) Dove:
V0 è l'ampiezza, ω la pulsazione,
φ lo sfasamento rispetto all'origine.
Il grafico di un segnale sinusoidale nel dominio del tempo è mostrato in figura 2. Le sue caratteristiche sono:
ampiezza: V0=5 V, pulsazione ω=157rad/sec, frequenza=ω/2π=25Hz, periodo T=40msec fase φ=0,3rad.
Figura 1 Un segnale generico.
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Lo stesso segnale nel dominio della frequenza si vede in figura 3.
Qualsiasi funzione periodica di periodo T integrabile1 (quindi qualsiasi segnale periodico) può essere scritta nel seguente modo:
A questo punto non ci resta che calcolare i coefficienti di ciascun addendo.
1Una funzione è integrabile in un intervallo se è continua in quell'intervallo con al più un numero finito di discontinuità di prima specie.
Figura 2 Segnale sinusoidale nel dominio del tempo.
Figura 3 Segnale sinusoidale nel dominio della frequenza.
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dove T è il periodo della funzione. La relazione scritta prima è nota come forma cartesiana della serie di Fourier non è utile per determinare lo spettro cioè per rappresentare il segnale nel dominio della frequenza.
Possiamo, però, riscrivere la serie nel seguente modo: la forma polare:
Dove:
e
Ora poiché la pulsazione del segnale è data da:
Dove f è la frequenza del segnale possiamo scrivere:
Da quest'ultima relazione si vede che il segnale f(t) è la somma di infinite sinusoidi la prima con frequenza uguale al segnale stesso (fondamentale), la seconda con frequenza doppia, la terza con frequenza tripla, ecc. Le sinusoidi con frequenza multipla di quella del segnale in esame vengono dette armoniche (rispettivamente prima armonica o fondamentale, seconda armonica, terza armonica, ecc.).
I coefficienti Ck sono le ampiezze delle sinusoidi e Φk sono le fasi.
Se conosciamo la forma polare del nostro segnale possiamo disegnare agevolmente i grafici relativi all'ampiezza e allo sfasamento nel dominio della frequenza.
La forma esponenziale della serie di Fourier
Usando la forma esponenziale della serie di Fourier è possibile rappresentare in un unico grafico l’ampiezza e la fase del segnale in esame. Vediamo come.
Ogni numero complesso può essere scritto usando la funzione esponenziale con la formula di Eulero:
Figura 4 Rappresentazione della formula di Eulero nel piano complesso.
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Il vettore OP di figura 4 rappresenta il numero complesso che, in questo caso, un’armonica del segnale. Il modulo di OP si ricava da:
OP è, quindi, un vettore unitario o versore.
L’argomento di OP dipende dal tempo. Al crescere di t il punto P ruota in verso antiorario descrivendo una circonferenza di raggio unitario. Se kω è costante il punto P si muove di moto circolare uniforme.
Per rappresentare la k-esima armonica di modulo M si scrive:
Questa scrittura contiene sia l’informazione del modulo che quella della fase.
Ricaviamo adesso le espressioni del seno e del coseno in funzione dell’esponenziale complesso.
Prima, però, dobbiamo ricordare che:
Impostiamo il sistema:
E risolviamolo:
Consideriamo adesso la forma cartesiana della serie di Fourier:
Sostituiamo alle funzioni trigonometriche le funzioni esponenziali complesse appena trovate:
5/7 Raccogliemo gli esponenziali:
Moltiplicando numeratore e denominatore delle frazioni con j al denominatore e ricordando che si ottiene:
I coefficienti delle funzioni esponenziali positive e negative sono complessi coniugati. Possiamo scrivere:
Quindi:
Ora ponendo:
Si può scrivere:
Lo spettro del segnale (il suo grafico nel dominio della frequenza) è individuato da infiniti numeri complessi disposti su entrambi i semiassi di ω. Per questo motivo questo spettro si dice bilatero.
Nelle forme cartesiana e polare, invece, lo spettro è unilatero infatti i coefficienti (reali) si dispongono solo nel semiasse positivo di ω.
Ci serviamo, quindi, dei numeri complessi per rappresentare il segnale in una forma più compatta.
Ciascun coefficiente complesso contiene l’informazione sia del modulo che della fase. Conoscendo i coefficienti è possibile ricostruire il segnale.
Adesso facciamo un esempio: disegnamo lo spettro bilatero di un segnale e ricostruiamolo.
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k fk (Hz) Ek (mV)
-9 -1350 200+j300
-8 -1200 500-j400
-7 -1050 700+j800
-6 -900 300-j1000
-5 -750 400+j700
-4 -600 600-j200
-3 -450 800+j600
-2 -300 500-j900
-1 -150 300+j600
0 0 900
1 150 300-j600
2 300 500+j900
3 450 800-j600
4 600 600+j200
5 750 400-j700
6 900 300+j1000
7 1050 700-j800
8 1200 500+j400
9 1350 200-j300
Disegnamo lo spettro.
Figura 5 Spettro bilatero.
In figura 5 è rappresentata una parte dello spettro bilatero di un segnale. Si vedono i vettori posizionati alle varie frequenze. Ogni vettore ruota con velocità angolare |kω| quindi il grafico rappresenta la fotografia dello spettro in un determinato istante.
I vettori posizionati sul semiasse positivo ruotano con velocità angolare kω (coefficienti di ejkωt dello sviluppo in serie)e quindi con verso antiorario.
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I vettori posizionati sul semiasse negativo ruotano con velocità angolare -kω (coefficienti di e-jkωt dello sviluppo in serie) e quindi con verso orario.
La serie di Fourier bilatera fornisce solo un modo compatto di rappresentare un segnale che, in ogni caso, è una funzione reale come deve essere. Infatti notiamo che i coefficienti che corrispondono alla stessa frequenza presa in modulo sono complessi coniugati e, quando vengono sommati, forniscono solo il contributo reale.
Ad esempio consideriamo la nona armonica (quella a frequenza di 1350Hz). Dalla tabella leggiamo:
Sommiamo adesso questi due termini della serie bilatera di Fourier:
Ricordando le formule di Eulero:
Si ottiene un numero reale.
Usando questo procedimento possiamo ricostruire il segnale.
Per comodità riporto la tabella con l’armonica e la funzione corrispondente:
Armonica Funzione
1 600cos(ωt)+1200sin(ωt)
2 1000cos(2ωt)-1800sin(2ωt)
3 1600cos(3ωt)+1200sin(3ωt)
4 1200cos(4ωt)-400sin(4ωt)
5 800cos(5ωt)+1400sin(5ωt)
6 600cos(6ωt)-2000sin(6ωt)
7 1400cos(7ωt)+1600sin(7ωt)
8 1000cos(8ωt)-800sin(8ωt)
9 400cos(9ωt)+600sin(9ωt)
Grafico del segnale ricostruito:
Figura 6 Il segnale nel dominio del tempo
