QUALCHE ESERCIZIO PER LA SETTIMANA

QUALCHE ESERCIZIO PER LA SETTIMANA

Il Nicola Pellicanò e l' Enrico Massoni May 1, 2013

Trovare e classicare i punti critici delle seguenti funzioni

1.f (x, y) = 2ylog(2 − x²) + y² Studiamo sempre prima il dominio 2 − x²> 0 ⇐⇒ −√

2 < x <√ 2 domf = {(x, y)R²: −√

2 < x <√ 2}

Calcolo gradiente

∇f =h _2y

2−x² · (−2x), 2log(2 − x²) + 2yi Impongo annullamento gradiente

(−_2−x^4xy₂ = 0

2log(2 − x²) + 2y = 0

La prima condizione vale per x = 0 ∨ y = 0 Se x=0 allora nella seconda equazione ho 2log(2) + 2y = 0 =⇒ y = log ¹₂

Se y=0 allora

2log(2 − x²) = 0 =⇒ 2 − x²= 1 =⇒ x²= 1 =⇒ x = ±1

I punti critici da studiare sono: P1(0, log ¹₂
) − P2(1, 0) − P3(−1, 0)

Calcolo matrice hessiana

Hf (x, y) =

" _−4y(2−x2)+2x(−4xy) (2−x²)²

−4x 2−x²

−4x

2−x² 2

#

Hf (0, log ¹₂
) =

 −4log ¹₂
0

0 2



ho due autovalori positivi =⇒ Hf denita positiva =⇒ P1minimo

Hf (1, 0) =

 0 −4

−4 2



minori incapsulati non funzionano, prima che trovare gli autovalori col polinomio caratteristico controllo il determinate : det(Hf) =

−16 < 0 =⇒ Hf indenita =⇒ P2sella

Hf (−1, 0) =

 0 4 4 2



det(Hf ) = −16 < 0=⇒ Hf indenita =⇒ P3sella

2.f(x, y) = p1 + x²+ y² 1 + x²+ y²≥ 0, ∀(x, y)

∇f =



√ x

1+x²+y²,√ ^y

1+x²+y²









√ x

1+x²+y² = 0

√ y

1+x²+y² = 0 (x = 0

Hf (x, y) =

" _y²₊₁

(1+x²+y²)^3/2 −_(1+x2^xy_+y2)3/2

−_(1+x2^xy_{+y2)3/2 (1+x}^x₂²_+y⁺¹_2)3/2

#

Hf (0, 0) =

 1 0 0 1



autovalori tutti positivi=⇒ Hf denita positiva =⇒

P1min

3.f(x, y) = (x + y)(x − y)²

domf = R²

∇f =(x − y)²+ 2(x + y)(x − y), (x − y)²− 2(x + y)(x − y)

((x − y)²+ 2(x + y)(x − y) = 0 (x − y)²− 2(x + y)(x − y) = 0

y = x

Dunque i punti critici sono del tipo P (x0, x0)

Hf (x, y) =

 2(x − y) + 2(x − y) + 2(x + y) −2(x + y)

−2(x + y) −2(x − y) − 2(x − y) + 2(x + y)



Hf (x0, x0) =

 4x₀ −4x0

−4x₀ 4x₀



se usiamo i minori incapsulati abbiamo 41= 4x₀, 42=0 Non concludo nulla: col polinomio caratteristico invece

det(Hf − tI) = det

 4x₀− t −4x₀

−4x0 4x0− t



= (4x₀− t)²− 16x²₀= −8x₀t + t²= 0 t1= 0,t2= 8x0

dunque concludiamo che

Hf (x₀, x₀) =

 4x0 −4x0

−4x0 4x0

 è







semidef inita − positiva x₀> 0

nulla x0= 0

semidef inita − negativa x₀< 0

Siccome siamo in un caso di semidenita usiamo l'estensione dell'algoritmo clas- sico:

1. f(x0, x0) = 0

2. f(x, y) ≥ f(x0, x0) =⇒f (x, y) ≥ 0 =⇒ (x + y)(x − y)² ≥ 0 =⇒ x + y ≥ 0 =⇒ y ≥ −x

3. graco

Concludiamo (x0, x0)sono







minimi x0> 0 sella x0= 0 massimi x₀< 0

4.f (x, y) = x⁴− x²y²− 2x²+ 2y²

∇f = [4x³− 2xy²− 4x, −2x²y + 4y]

(4x³− 2xy²− 4x = 0

−2x²y + 4y = 0

Considero ad esempio seconda equazione y(4 − 2x²) = 0 =⇒ y = 0 ∨ x = ±√

2 Ponendo y=0 la seconda eq viene

4x³− 4x = 0 =⇒ x(4x²− 4) = 0=⇒ x = 0 ∨ x = ±1 Ponendo x=√

2 8√

2 − 2√

2y²− 4√

2 = 0 =⇒ 4 − y²− 2 = 0 =⇒ y = ±√ 2 Ponendo x=-√

2

−8√ 2+2√

2y²+ 4√

2 = 0 =⇒ −4 + y²+ 2 = 0 =⇒ y = ±√ 2

I punti critici sono:

(0, 0), (1, 0), (−1, 0), (√ 2,√

2), (√ 2, −√

2), (−√ 2,√

2), (−√ 2, −√

2)

Hf (x, y) =

 12x²− 2y²− 4 −4xy

−4xy −2x²+ 4



Hf (0, 0) =

 −4 0

0 4



autovalori discordi=⇒ Hfindenita=⇒ sella

Hf (1, 0) =

 8 0 0 2



autovalori positivi=⇒ Hf denita positiva=⇒ minimo

Hf (−1, 0) =

 8 0 0 2



autovalori positivi=⇒ Hf denita positiva=⇒ minimo

Hf (√ 2,√

2) =

 16 −8

−8 0



autovalori discordi (pol caratteristico)=⇒ Hf indenita=⇒

sella

Hf (√ 2, −√

2) =

 16 8 8 0



autovalori discordi (pol caratteristico)=⇒ Hf in- denita

Hf (−√ 2,√

2) =

 16 8 8 0



autovalori discordi (pol caratteristico)=⇒ Hf indenita=⇒

sella

Hf (−√ 2, −√

2) =

 16 −8

−8 0



autovalori discordi (pol caratteristico)=⇒ Hf indenita=⇒ sella

5.f(x, y) = _1+x^x2+y²

∇f =h_1+x2+y²−2x(x)

(1+x²+y²)² , −_(1+x^2xy_2+y2)2i (_1+x2+y²−2x(x)

(1+x²+y²)² = 0

−_(1+x^2xy2+y²)² = 0

(1 + x²+ y²− 2x(x) = 0

−2xy = 0

Dalla seconda equazione ottengo x = 0∨y = 0 per x=0

1 + y²= 0 =⇒ IM P per y=0

1 − x²= 0 =⇒ x = ±1

pt critici: (1, 0) − (−1, 0)

Hf (x, y) =

" _2x(x³_−3(y²₊₁₎₎

(x²+y²+1)³ −^2y(−3x_(x2+y^22+y+1)²⁺¹⁾³

−^2y(−3x_(x2+y^22+y+1)²⁺¹⁾³ −^2x(x_(x2²+y^−3y2+1)²⁺¹⁾³

#

Hf (1, 0) =

 −¹₂ 0 0 −¹₂



autovalori negativi=⇒ Hf denita negativa=⇒ massimo

Hf (−1, 0) =

 1 0 0 ¹₂



autovalori positivi=⇒ Hf denita positiva=⇒ minimo

6.f (x, y) =p−x²− y²+ 3,attenzione!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

−x²− y²+ 3 ≥ 0 =⇒ x²+ y² ≤ 3 Problema!! Il dominio non è un insieme aperto!

Quello che possiamo fare è studiare i punti interni ma non sappiamo nulla della frontiera.

Se facciamo lo studio classico troviamo che (0,0) è un punto di massimo.

Per capire cosa succede alla frontiera possiamo fare due ragionamenti:

1. La funzione è continua nel dominio chiuso , quindi per Weirstraβ un minimo deve esistere! Siccome non l'ho trovato allora esso sarà sulla frontiera! Ma dove?

La risposta è tutta la frontiera perchè z=0 in ogni punto!

2. Mi rendo conto che la funzione è una semisfera positiva. Da un semplice studio graco vedo che tutta la frontiera delimita il minimo della calotta.

N.B. L'esercizio era non tanto perchè esce all'esame una cosa così bastarda ma per abituarsi a ragionare a fronte di bastardate del genere, e soprattutto a riconoscere quando dei criteri possono e NON possono essere applicati.

7.f(x, y) = y^2x y > 0

∇f =2log(y)y^2x, 2xy^2x−1

(2log(y)y^2x= 0 2xy^2x−1= 0 (y = 1

x = 0

Hf (x, y) =

 4log²(y)y^2x (4xlog(y) + 2)y^2x−1 (4xlog(y) + 2)y^2x−1 2x(2x − 1)y^2x−1



Hf (0, 1) =

 0 2 2 0



det < 0 =⇒ Hfindenita=⇒ sella

8.f(x, y) = ^x_y+^x₈− y y 6= 0

∇f = [¹_y+¹₈, −_y^x2 − 1] (₁

y +¹₈ = 0

−_y^x2− 1 = 0 (y = −8

x = −64 Hf (x, y) =

 0 −_y¹2

−_y¹2

2x y³



Hf (−64, −8) =

 0 −₆₄¹

−₆₄^{1 1}₄



det<0=⇒ Hfidenita=⇒ sella

9.f(x, y) = xlog(xy²)

xy²> 0 =⇒ x > 0 ∧ y 6= 0

∇f = [log(xy²) + 1,^2x_y]

(log(xy²) + 1 = 0

2x y = 0

NON ESISTONO PUNTI CRITICI

10.f (x, y, z) = x^z

∇f = [zx^z−1, 0, log(x)x^z]







zx^z−1= 0 0 = 0 log(x)x^z= 0 (z = 0

x = 1

pt critici: (1,y0, 0)

Hf (x, y, z) =





z(z − 1)x^z−2 0 x^z−1+ log(x)x^z−1

0 0 0

x^z−1+ log(x)x^z−1 0 log²(x)x^z





Hf (1, y0, 0) =





0 0 1 0 0 0 1 0 0



dal polinomio caratteristico riscontriamo la pre- senza di autovalori discordi=⇒ Hfindenita=⇒ tutti punti di sella

11. (Per masochisti) f(x, y) = (sinx)e^cosy

∇f = [cosxe^cosy, −sinxsinye^cosy]

(cosxe^cosy= 0

−sinxsinye^cosy= 0 (cosx = 0

−sinxsiny = 0

(x = ^π₂+ kπ

−(−1)^ksiny = 0 (x = ^π₂+ kπ

y = hπ

N.B. Ho chiamato in due modi diversi i parametri k e h per x e y!! Confondere i due come lo stesso parametro è un errore comune.

Hf (x, y) =

 −sinxe^cosy −sinycosxe^cosy

−sinycosxe^cosy −sinxcosye^cosy+ sinxsin²ye^cosy



Hf (^π₂+ kπ, hπ) =

"

−(−1)^ke^(−1)h 0

0 −(−1)^k(−1)^he^(−1)h

#

Dobbiamo studiare 4 casi:

k pari, h pari

Hf (^π₂+ kπ, hπ) =

 −e 0 0 −e



Hf denita negativa=⇒ massimi

k dispari, h dispari

Hf (^π₂+ kπ, hπ) =

 e⁻¹ 0 0 −e⁻¹



Hfindenita=⇒ sella

k pari, h dispari

Hf (^π₂+ kπ, hπ) =

 −e⁻¹ 0 0 e⁻¹



Hfindenita=⇒ sella

k dispari, h pari

Hf (^π₂+ kπ, hπ) =

 e 0 0 e



Hf denita positiva=⇒ minimi