Probabilit`a e Statistica con Applicazioni all’Idrologia II parte 16.5.2011
Esercizio 1
Due pompe operano in parallelo per fornire l’approvvigionamento idrico di un paese vicino ad un’area di vacanza. La domanda di acqua `e sogetta a fluttuazioni settimanali e stagionali. Ogni unit`a ha una capacit`a tale che pu`o sostenere la necessit`a per l’80% del tempo nel caso l’altra unit`a si rompa. La probabilit`a di rottura di ogni unit`a `e del 10%, mentre la probabilit`a di rottura di entrambe contemporaneamente `e del 3%. Siano Ai = {funzionasolola pompa i} dove i = 1, 2, B = {entrambe le pompe funzionano} e C = {entrambe le pompe non funzionano}.
a) Determinare la probablilit`a degli eventi A1, A2, B, C
b) Qual’`e la probabilit`a che la necessit`a di acqua del paese sia soddisfatta?
c) Sapendo che la necessit`a di acqua del paese `e soddisfatta quale `e la probabilit`a che funzioni solo la prima pompa?
Esercizio 2
La media e la deviazione standard della resistenza alla compressione di 40 cubi di calcestruzzo sono di µ = 60.14 e σ = 5.05 N/mm2. Si assume che la resistenza alla compressione di un cubo `e una variabile casuale X con distribuzione normale N (µ, σ∈).
a) Quale valore di resistenza alla compressione `e superato in 19 test su 20 (quale ´e il valore di X che `e superato con probabilit`a 19/20)
b) Qual’`e la probabilit`a che un cubo si rompa se soggetto ad una compressione di 43 N/mm2 o meno?
c) Qual’`e la probabilit`a che la resistenza alla compressione siano nel range 50.04−70.24 N/mm2? Esercizio 3
Un periodo di giorni consecutivi di pioggia `e detto wet run se il giorno immediatamente prima ed il giorno immediatamente dopo sono secchi. Analogamente un periodo di giorni nei quali non c’`e pioggia `e detto dry run se giorni con pioggia lo precedono e lo succedono. La distribuzione di periodi bagnati e secchi `e importante per
a) determinare lo stimatore di massima verosimiglianza per µ e ricavare la stima sulla base del campione dato (determinare lo stimatore per λ e poi ricavare lo stimatore per µ);
b) calcolare il valore medio di X e la probabilit`a di avere un tempo di vita inferiore alle 10 ore.
Esercizio 4
E dato un campione di n = 30 valori di una variabile con distribuzione normale con media` campionaria ¯x = 2 e varianza campionaria s2 = 9.
a) Determinare al 95% l’intervallo di confidenza per il valore medio µ con σ2 non nota.
b) Calcolare quanto deve essere grande il campione affinch´e la lunghezza dell’intervallo di confidenza sia L = 0.5.
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