RETI LINEARI
1 Leggi di Kirchoff . Metodo delle correnti di maglia
E1
R1
I1
R2 I2
R3
I3
E2
R5 I5
R6 I6
R7
R4 I4
J1 J2 J3
J4
Il calcolo delle correnti e delle differenze di potenziale in un circuito lineare come quello in figura si effettua assegnando un verso convenzionale alle correnti nelle resistenze (alcuni di questi sono indicati in figura) ed applicando la conservazione della carica ad ogni nodo:
n
X
i=0
Ii= 0 (1)
e la legge di Ohm ad ogni maglia chiusa del circuito:
m
X
i=0
Ei=
`
X
i=0
RiIi (2)
Ad esempio, nel nostro circuito, per il nodo a cui sono collegate R1,R2 ed R3 si ha:
A tal fine consideriamo le maglie elementari che compongono il circuito (provate a definirle) ed introdu- ciamo le correnti di maglia Ji; nel nostro esempio abbiamo 4 maglie.
Le correnti effettive nelle resistenze saranno uguali a quelle di maglia per gli elementi che appartengono ad una sola maglia; nel nostro esempio:
I1= J1 ; I3= J2 (5)
mentre per ricavare la corrente negli elementi che sono in comune a due maglie, utilizziamo le (1); nel nostro esempio, da (3) si ottiene:
I2= J1−J2 (6)
quindi le correnti effettive negli elementi in comune a due maglie sono date dalla differenza delle due correnti di maglia.
Scriviamo ora le equazioni delle maglie:
E1 = R1J1+ R2(J1−J2)
0 = R3J2+ R4(J2−J3) + +R2(J2−J1)
−E2 = R5J3+ R6(J3−J4) + R4(J3−J2) 0 = R6(J4−J3) + R7J4
(7)
Riordiniamo i termini e riscriviamo il sistema in forma matriciale:
R1+ R2 −R2 0 0
−R2 R2+ R3+ R4 −R4 0 0 −R4 R4+ R5+ R5 −R6
0 0 −R6 R6+ R7
·
J1
J2 J3 J4
=
E1
0
−E2 0
(8)
La matrice dei coefficienti `e simmetrica ed i suoi elementi hanno le seguenti propriet`a:
• Gli elementi diagonali, chiamiamoli aii, sono uguali alla somma delle resistenze presenti nella maglia i-esima;
• Gli elementi non diagonali aij = aji sono uguali alla somma delle resistenze, nel nostro esempio una sola per volta, in comune fra le maglie i-esima e j-esima, cambiata di segno.
Applicando queste due propriet`a potremo scrivere direttamante la matrice dei coefficienti per qualunque circuito.
Notiamo infine che nel metodo delle correnti di maglia si scrive esplicitamente solo la seconda legge di Kirchoff (2) mentre si tiene conto implicitamente della prima (1) con l’introduzione delle correnti di maglia.
2 La rete lineare come dispositivo con due terminali
E1
R1
R2
R3 E2
A
RC
R5
R6 B
R7
R4
Consideriamo ora una qualunque rete lineare, e due terminali A e B collegati a due punti qualsiasi della rete. Connettiamo ad A e B una resistenza RC (resistenza di carico).
E possibile predire il comportamento del sistema tra i due terminali (cio`e la differenza di potenziale tra A` e B e la corrente in RC) per qualsiasi carico senza conoscere i dettagli della rete , ma solo eseguendo un numero finito di misure ai capi A e B ?.
In particolare le misure pi`u semplici che possiamo effettuare sono quelle della corrente di corto circuito Icc e della differenza di potenziale a circuito aperto Vca:
Icc ≡corrente tra A e B per RC = 0
Vca ≡ differenza di potenziale tra A e B per RC = ∞
In risposta alla domanda mostreremo nei prossimi paragrafi che qualsiasi rete lineare `e equivalente ad un generatore ideale di tensione in serie con una resitenza o , alternativamente, ad un generatore ideale di corrente in parallelo con una resistenza. Mostreremo poi come calcolare i parametri di questi due circuiti equivalenti a partire solo dalle due quantit`a misurate Vca ed Icc.
3 Il teorema di Thevenin
Rete lineare
A
≡ ETh
RTh A
B E
R1
I
A
RC
IC R2
Il riquadro evidenzia la separazione tra la rete ed il carico RC. Secondo le definizioni date, in questo caso si ha:
ETh= E R1+ R2
R2 (9)
RTh= R1//R2= R1R2
R1+ R2
(10)
Vogliamo calcolare IC, la corrente nel carico, quindi calcoliamo preliminarmente alcune quantit`a indicate in figura:
I = E
R1+ R2//RC
= E R2+ RC
R1R2+ R1RC+ R2RC
(11)
VAB= IR2//RC= E R2RC
R1R2+ R1RC+ R2RC
(12)
IC = VRABC
= ER2
R1R2+R1RC+R2RC
= E
R1+R2
R2(R1+R2)
R1R2+R1RC +R2RC
= ETh (R1+R2)
R1R2+R1RC+R2RC
= ETh
RC+R1R2
R1 +R2
= ETh
RC+RTh
(13)
Quest’ultima espressione `e quella che otterremmo direttamente per il circuito equivalente di Thevenin collegato sul carico.
Vi faccio notare che la rete lineare considerata in questo esempio viene detta partitore di tensione; infatti pu`o essere utilizata per limitare la differenza di potenziale su un carico. In assenza di carico:
VAB= E R2
R1+ R2
(14)
quindi il dispositivo ci permette di diminuire la differenza di potenziale fornita dal generatore di un fattore costante. Naturalmente, come abbiamo visto, in presenza del carico il discorso si complica. In quali condizioni la (14) resta approssimativamente vera ?
Come dovrebbe essere fatto un semplice partitore di corrente?
4 Il teorema di Norton
B ETh
RTh A
≡
B
IN RN
A
I due circuiti in figura sono equivalenti qualunque sia il carico collegato ai terminali A e B se:
RN = RTh e IN = ETh RTh
(15)
Nel secondo circuito il simbolo circolare col trattino orizzontale rappresenta un generatore ideale di corrente.
Infatti considerando i due circuiti collegati a due carichi uguali ed imponendo che le correnti nel carico siano le stesse nei due casi:
B ETh
RTh A
RC
i ≡
B
IN j RN
A
RC
i
si ha per il primo:
VAB = ETh−iRTh (16)
e per il secondo:
VAB = jRN = iRC (17)
dall’uguaglianza dei secondi membri si ricava:
j = ETh RN
−iRTh
RN
(18) e quindi:
IN= j + i = ETh RN
−iRTh
RN
+ i (19)
Ora IN (generatore ideale di corrente) deve essere indipendente dal carico, quindi da i, quindi il termine contenente i si deve annullare, il che avviene per:
Ogni rete lineare `e equivalente, su due suoi terminali A e B, ad un generatore ideale di corrente IN in parallelo con una resistenza RN. IN `e la corrente misurata tra A e B in corto circuito;
RN `e la resistenza misurata tra A e B quando nella rete sostituiamo i generatori di tensione con corto circuiti e quelli di corrente con circuiti aperti.
5 Misura dei parametri dei circuiti equivalenti di Thevenin e Norton
Come abbiamo visto, ETh e IN sono la differenza di potenziale a circuito aperto e la corrente di corto circuito rispettivamente, quindi possono essere ottenute da misure ai capi A e B; secondo gli enunciati dei teoremi, per ricavare RTh ed RN dovremmo invece eseguire delle operazioni sul circuito. La (21) ci consente tuttavia di ricavare anche queste quantit`a in funzione di Vca ed Icc.
In definitiva, possiamo ricavare i parametri dei circuiti equivalenti di Thevenin e Norton eseguendo solo delle misure ai capi A e B:
ETh= Vca ; RTh = Vca
Icc (22)
IN= Icc ; RN = RTh= Vca
Icc (23)
6 Massimo trasferimento di potenza
Consideriamo un generatore reale, equivalente ad un generatore ideale E in serie alla resistenza interna Rint, collegato ad una resistenza di carico RC. La potenza complessiva erogata dal generatore `e data da:
P = E I = E2 Rint+ RC
(24) mentre quella dissipata (o, se preferite, utilizzata) nel carico `e
PC = E2
(Rint+ RC)2RC (25)
Come variano queste due quantit`a al variare di RC e per E ed Rint fissati ?.
Potete facilmente verificare che il massimo di P si ha per RC = 0:
Pmax = E2 Rint
(26) e che il massimo di PC si ha per:
RC = Rint (27)
e vale:
PCmax = E2 4 Rint
(28) Poich`e in molte situazioni siamo interessati alla potenza effettivamente erogata nel carico, queste consid- erazioni possono essere utili per dimensionare il generatore rispetto al carico e/o viceversa.
7 La trasformazione triangolo-stella
A
B C
RT1
RT2 RT3
≡
A
B C
RS1
RS2 RS3
I due circuiti in figura sono equivalenti se le resistenze misurate tra le tre coppie di terminali sono uguali per i due circuiti. Devono cio`e valere le tre relazioni:
RT1//(RT2+ RT3) = RS1+ RS2
RT2//(RT1+ RT3) = RS2+ RS3
RT3//(RT1+ RT2) = RS1+ RS3
(29)
che ci permettono di calcolare le RTi note le RTi o viceversa; potete trovare le espressioni esplicite della trasformazione sul libro di testo. Tale trasformazione pu`o essere utile per semplificare circuiti in cui sono inseriti elementi di tipo triangolo o di tipo stella. Ad esempio, i due circuiti seguenti sono equivalenti:
A
C
B
≡
A
C
B
ma nel primo non `e possibile calcolare la resistenza equivalente tra i terminali A e B utilizzando solo le regole di composizione di serie e paralleli, mentre nel secondo questo `e possibile; quindi applicando le espressioni standard della trasformazione possiamo realizzare una effettiva semplificazione del circuito. Ovviamente si pu`o ottenere comunque lo stesso risultato applicando le leggi di Kirchoff.
