strutturale
L. Massidda,G. Siddi,M. Vallas as
CenterforAdvan edStudies,Resear handDevelopmentinSardinia(CRS4)
O tober 24,2002
1 Introduzione
Inquesto rapportosi evoluto a rontareunproblema lassi odi ingegneria ivile,quellodi una
travesempli ementeappoggiatasolle itatadaunaforzaimpulsivain mezzeria.
Il problema in esame, ben noto dal punto di vista sia sperimentale he teori o e' stato utiliz-
zato per veri are l'appli abilita delle metodologie ad elementi spettrali, alla risoluzione di un
problema di sempli e dinami a strutturale. La metodologiaSEM (Spe tral ElementMethod)e
stataimplementatadal gruppodi Me ani a deiSolidi edelle Strutturenella famiglia di odi i
ELSE, noraquestemetodologiesonostateimpiegatein ambitostrutturale,perlarisoluzionedi
problemistati i,edi dinami atransiente\velo e"legata ioeallapropagazionediondeelasti he
nellestrutture. Ifenomenidinami iinquesto asosonopiu'lenti,interessanofrequenzeinferiori,
evengonogeneri amentede niti omeproblemidi dinami astrutturale.
Irisultatiottenibili onlametodologiaspettralesaranno onfrontati onquelliottenibili onuna
spe i ametodologiaadelementi niti,implementatanel odi e ommer ialeANSYS,di provata
aÆdabilita.
2 Il problema
Si onsideraunatraveadoppioTsempli ementeappoggiata,liberadi vibrareindirezione verti-
ale,dispostainmodo hepossain ettersise ondol'assedellasezione heo relaminoreinerzia,
ossia onl'anima orizzontale. NelleFigure1e2sono riportate rispettivamente unos hemadella
traveeleprin ipali aratteristi hegeometri hedellasezione.
1.955m F
Figure1: S hematrave
Le aratteristi he del materiale utilizzato e le altre grandezze geometri he sono riportate nella
tabella1: La trave e' soggetta aduna forza di tipoimpulsivo appli ata in mezzeria. La forma
50mm 5mm 5mm
5mm 30mm
Figure2: Sezionetrasversale
E 1:87710 11
N=m 2
G 7:820810 10
N=m 2
7481Kg=m
3
0.2
L 1.955m
A 5:510 4
m 2
J 2:310 8
m 4
Table1: Proprietadelmaterialeedellastruttura
dell'impulso,ossialasuadurataelaleggedivariazionedellaforzapossonoin uenzareinmaniera
importante il omportamento della travenel transitorio,in questo aso si onsideraun impulso
di forma triangolare avente una durata T =0:004s ed una intensita massimaF =250N, il ui
andamentoeriportatoin gura3.
LasuatrasformatadiFouriere':
H(!)= (
1 se =0
sin 2
(T)= sin
2
(T)
(T) 2
se 6=0
(1)
Lafrequenza massimapuo'essere onsiderata
max
=2=T (i primidue\lobi" dellaTrasformata
di Fourier), ioe
max
= 5000Hz. Date le aratteristi he me ani he del materialeadottato si
al olanoimodulidiLame:
=5:2138910 10
Pa (2)
=7:8208310 10
Pa (3)
da uisiottengonolevelo itadipropagazioneditaglio
s
eperpendi olare
p :
s
= r
=3233:3m=s (4)
p
= s
+2
=5279:96m=s (5)
Lalunghezzad'ondaminimavalequindi:
min
=
s
max
=0:647m (6)
La tagliadegli elementi spettrali perlo studio della propagazionedi onde elasti he varia ase -
ondadelgradospettrale adottatoepuoessereassuntapariaH =0:065mnel asoperungrado
-0.001 -0.0005 0 0.0005 0.001 time (s)
0 100 200 300
-15000 -10000 -5000 0 5000 10000 15000 frequency (Hz)
0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 70000
Figure3: Time-historydellaforzaappli ataetrasformatadiFourier
spettraleunitarion=1 noadesempioaH=0:647mpern=5.
Le aratteristi hedellasezione edel ari oappli atonel asodi una analisitridimensionale im-
pongonounvalorepiu'bassodellatagliadell'elemento, omesara'an heevidenziatoin seguito.
Lanatura del problemapermette di utilizzarele approssimazionidei pi olispostamenti, esifa
l'ipotesi heil materialemantengaproprietalinearielasti he.
3 Simulazioni on ELSE
ELSE e una famiglia di odi i basati sul Metodo degli Elementi Spettrali, per risolvere questo
problemavieneappli atoun odi eperlapropagazionediondeelasti heindominitridimensionali.
Il odi eebasatosuunalgoritmodiavanzamentoin tempoespli itoa uratoalse ond'ordine,e
suunappro io\elementbyelement", hegarantis emaggiorevelo itaeridottao upazionedi
memoria.
Ilproblemapresentaproprietadisimmetriasiaperquantoriguardale aratteristi hegeometri he
he per le ondizioni di ari o. Infatti e possibile individuare un piano longitudinale ed uno
trasversalerispettoa ui ari hiegeometriarisultanosimmetri i;perquantoriguardale ondizioni
divin oloquestenonrispettanolasimmetriarispettoallasezionetrasversaletuttavialatipologia
del ari o (una forza in direzione verti ale) ed il fatto he il modello si o appli ato si basa
sull'ipotesi di pi olispostamenti, permettono di limitare lo studioad un quartodi trave senza
in iarelavalidita'deirisultati.
Sullabasediquestosie'de isodimodellarelatrave omes hematizzatoinFigura4.Inparti olare
per quanto riguarda il vin olo nell'estremita' destra della trave (piano 3), si e' supposto he
la trave fosse appoggiata in orrispondenza dell'anima, per io' si sono impediti gli spostamenti
verti alidi tuttii suoinodi. Avendoinoltremodellatosolounquartodellatrave,sisonoinseriti
opportunamenteivin olineipianiin uisie'prati atounipoteti otaglio. Piu'pre isamentenel
piano di simmetria trasversale (piano1) sono stati impediti gli spostamenti lungo l'asse z(vedi
gura4), nelpianodi simmetrialongitudinale(piano2)sonostatiblo atiglispostamentilungo
l'assex. Laforzaappli atae'pariadunquartodell'originaria.
Si sono monitorati i risultatiin orrispondenza di due puntidella trave: il punto A ioe' quello
di appli azione del ari oposto aL/2 (977.5 mm), eil punto B posto aL/4 (488.75mm). Per
quanto riguarda i parametri temporali si e' s elto un tempo nale T
f
=0:20s. I risultatisono
statiregistratiin orrispondenzadeiseguentiistanti: t=0:05s;0:10s;0:15s;0:20s.
x y
z
piano 1 piano2
piano3
Figure4: Modellosempli ato
Test Hx(mm) Hy(mm) Hz(mm) N Elementi Nodi t
A 5.0 4.165.0 61.09 2 192 1536 210
7
B 5.0 4.165.0 61.09 3 192 7252 110
7
C 5.0 4.165.0 61.09 4 192 15925 510
8
Table2: ProprietadelmodelloSEM
Il time step (t) e' stato s elto in base alla minima distanza internodale x ed alla massima
velo ita'dipropagazionedelleondenelmateriale
max
imponendoloinferioreallimitedistabilita
CFLdellos hemaespli itodiavanzamentoin tempoadottato: t=0:5
x
max .
Latabella2riportale aratteristi hedellameshrealizzata(vedian heFigura5),ilgradospettrale
(N)ediltime-step(t).
5mm
5mm 5mm
4.16 mm
Figure5: Meshspettrale
4 Simulazione on ANSYS
Perottenere un onfronto dei risultatiottenuti onlametodologiaSEM si e' utilizzatoANSYS
un odi e ommer ialebasatosul metododeglielementi niti,largamente impiegatonellostudio
di problemi simili. Il modello realizzato on ANSYS si di erenzia da quello utilizzato per gli
spettrali solo per le dimensioni assunte per gli elementi, lamesh risulta molto piu' tta, le sue
aratteristi he sono riportate nella tabella 3 e nella gura 6. Le ondizioni di ari oe vin olo
2.5 mm 2.5 mm 2.5 mm
2.5 mm
Figure6: MeshANSYS
I parametridella simulazione in ANSYS sono statis elti diversamente dallasimulazione SEM,
Hx(mm) Hy(mm) Hz(mm) Elementi Nodi t
2.50 2.50 12.22 3520 5589 110
6
Table3: Proprietadel modelloFEM
questo odi e infatti onsente di realizzare simulazioni on metodi espli iti di integrazione in
tempoete ni he\elementbyelement"peril al olodellefozeelasti heedellesolle itazioni,solo
attraversol'utilizzodiunpa hettoseparatoLS-DYNA.
E' stato pertanto ne essario utilizzare un metodo impli ito di avanzamento in tempo. L'uso
di questa metodologia omporta la risoluzione di un problema elasti o ad ogni time step, on
evidentiproblemi in terminidi o upazionedi memoriain asosiutilizzi unmetododirettoper
larisoluzionedeiproblemielasti i(in quantorisultane essariomantenereinmemorialamatri e
disti ness dell'interomodello),e/oditempodi al olo, soprattuttonel asosis elgaunmetodo
iterativoperlarisoluzionedeiproblemielasti i.
Di fattodate ledimensioni delmodelloimpiegato, estatone essarioimpiegare unametodologia
detta\ridotta", heha onsentito diportareaterminelasimulazioneintempi ragionevolie on
suÆ ientea uratezza.
Lametodologiain questione emolto vi inaalla de omposizione modale, siselezionano,in parte
dall'utente,inparteinautomati oun ertonumerodigradidilibertadenominatiMASTER,sulla
basedeiqualiverrades rittoil omportamentodinami odell'interosistema,erisolvendounaserie
di problemi stati i vengono al olatele matri idi inerzia e di rigidita relative aquesti gradi di
liberta. Il metodo impli ito di avanzamento in tempo viene appli ato a questo sottoinsieme di
nodi eallerelativematri i, os
i al olate. Ledimensionidelproblemarisultanomoltoridotte.
Una voltaottenutoil risultato er atosi passa adunafasedi \espansione" deirisultati in uiil
risultatointerminidi spostamentoedellequantitaderivatevieneestrapolatopertuttiinodidel
modellosullabasedeirisultatideinodi MASTER.
Un pro edimento ome quellodes rittofornis erisultati herappresentano unaapprossimazione
dellasoluzioneteori amenteottenibile onunasimulazioneFEMsull'interomodello, heperaltro
asuavolta ostituis e omunqueunaapprossimazionedelrealefenomeno si o. Talirisultatisono
validi ntanto heil ontenutoinfrequenzadel ari oappli atononrisultaparti olarmenteri o.
Sesiprendono omeriferimentoimodipropridivibraredellastruttura,dal onfronto onl'analisi
in frequenza del ari o appli ato si puo determinare la pulsazione dell'ultimo modo di vibrare
e itatodal ari oinquestione hepuo'essereindi ato on!
u
;unmodellonumeri opuofornire
risultatia uratisee'ingradodides riveremodidivibrare,autovettoridelsistema, aratterizzati
dafrequenzeproprie,equindiautovettori,indi ativamentealmenoquattrovoltesuperiori ad!
u .
Sullabase diqueste onsiderazioni,dato helado umentazionediANSYSsuggeris eunnumero
dinodimasteralmenodoppiodelnumerodifrequenzeproprie hesivoglionorisolvere,sies elto
di utilizzare 200nodi master, he dovrebbero essere suÆ enti per des rivere fenomeni dinami i
aratterizzatidafrequenze noa30000Hz.
Iltimestepestatos eltoprossimoalvaloreimpiegatonelle analisi onilmetodoespli ito usato
in ELSE, quinon isono vin olidi stabilitadel al olo masie omunque er atodi manterela
stessaa uratezzadell'algoritmodiavanzamentointempo.
5 Risultati
NellaFigura7sonoriportatiiplotdelle omponentidispostamento,elasolle itazioneequivalente
diVonMises,all'istantet=0:05sottenuti onil odi eELSE.
Lospostamento indirezione verti ale al olatodal odi espettrale peripuntiA eBeriportato
nelleFigure8e9,sipuonotare omegia onungradospettrale2siottenganorisultatia ettabili,
hemiglioranosalendo onilgradospettrale,ma hegia onungrado3possonoritenersiottimali
dato henonsiavverteunaapprezzabiledi erenzatratalirisultatiequelliottenuti onportando
ilgradoa4.
I risultatidel odi eELSE (gradospettrale 3)perilpunto A postoin mezzeriasono onfrontati
inFigura11 on quelliottenuti onANSYS.
0.00 5.00×10 −2 1.00×10 −1 1.50×10 −1 2.00×10 −1 t (s)
−1.00×10 −4
−5.00×10 −5 0.00 5.00×10 −5 1.00×10 −4
uy (m)
degree = 2 degree = 3 degree = 4
Vertical displacement node A
Spectral code results
0.00 1.00×10 −2 2.00×10 −2 3.00×10 −2 4.00×10 −2 5.00×10 −2 t (s)
−1.00×10 −4
−5.00×10 −5 0.00 5.00×10 −5 1.00×10 −4
uy (m)
degree = 2 degree = 3 degree = 4
Vertical displacement node A
Spectral code results
Figure8: RisultatiSEM:spostamentiverti alidelpuntoA
0.00 5.00×10 −2 1.00×10 −1 1.50×10 −1 2.00×10 −1 t (s)
−1.00×10 −4
−5.00×10 −5 0.00 5.00×10 −5 1.00×10 −4
uy (m)
degree = 2 degree = 3 degree = 4
Vertical displacement node B
spectral code results
0.00 1.00×10 −2 2.00×10 −2 3.00×10 −2 4.00×10 −2 5.00×10 −2 t (s)
−1.00×10 −4
−5.00×10 −5 0.00 5.00×10 −5 1.00×10 −4
uy (m)
degree = 2 degree = 3 degree = 4
Vertical displacement node B
spectral code results
Figure9: RisultatiSEM:spostamentiverti alidelpunto B
0.00 5.00×10 −2 1.00×10 −1 1.50×10 −1 2.00×10 −1 t (s)
−1.00×10 −4
−5.00×10 −5 0.00 5.00×10 −5 1.00×10 −4
uy (m)
Vertical displacement node A
ANSYS code results
Figure10: RisultatiFEM:spostamentiverti alidelpuntoA
0.00 5.00×10 −2 1.00×10 −1 1.50×10 −1 2.00×10 −1 t (s)
−1.00×10 −4
−5.00×10 −5 0.00 5.00×10 −5 1.00×10 −4
uy (m)
ANSYS code Spectral code (N=3)
Vertical displacement node A
Results comparison
0.00 1.00×10 −2 2.00×10 −2 3.00×10 −2 4.00×10 −2 5.00×10 −2 t (s)
−1.00×10 −4
−5.00×10 −5 0.00 5.00×10 −5 1.00×10 −4
uy (m)
ANSYS code Spectral code (N=3)
Vertical displacement node A
Results comparison
Figure11: Confrontorisultati
alsegnaledovutoagliautovettoridifrequenza piu elevata.
Iduerisultatisonostati onfrontatian heinfrequenza,medianteunaFFTdelsegnale,riportata
inFigura12. Lelineeverti alimar anolefrequenzedeimodidivibrarediunatravesempli emente
appoggiata, al olatemediantelateoriamonodimensionale. Si puonotareunottimo a ordotra
ledue metodologienumeri he. Iduemetodio ronorisultati oin identi onlasoluzionemonodi-
mensionalealmenoperleprimefrequenze, irisultatitendono poiviaviaadi erire,questo pero
dovrebbeesserelegatoailimitidelmodelloanaliti omonodimensionalepiu headunainesattezza
delrisultatonumeri o: ilmodelloanaliti omonodimensionale essadiesseresigni ativoquando
alsaliredellafrequenzanonpossonopiuesseretras uratiglie ettitridimensionalidideformazione
dellesezioni.
frequency (Hz) 10 -4.0
10 -3.0 10 -2.0 10 -1.0 10 0.0
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
FEM SEM
FFT of simulation results
Point A
Figure12: FFTdeirisultatinumeri ie onfronto onfrequenzeanaliti he
6 Con lusioni
ELSEeunafamigliadi odi i basatisulMetodo degliElementi Spettralisviluppati alCRS4. In
questorapportoun odi eottimizzatoperlostudiodellapropagazionediondeelasti heinstrutture
tridimensionali,estatoappli atoallostudiodi untipi oproblemadidinami astrutturale,quello
dellevibrazioniindotte dauna forzaimpulsivasu unatravesempli emente appoggiata.
Le frequenze aratteristi hedi questatipologiadi problemi sono molto diverse daquelle tipi he
dei fenomenidi propagazioneondulatoria, tuttaviail odi espettrale hadimostrato unaottima
robustezza ed a uratezza nel risolvere questo tipo di problemi, risultando ompetitivo on un
odi eFEM ommer ialedi provataaÆdabilita omeANSYS.
Irisultatiottenuti on leduemetodologienumeri hesisonodimostratiinfattiinottimoa ordo,
sebbeneimetodi dianalisiutilizzati fosseronotevolmentediversi.
[1℄ Fa ioli,E.,F.Maggio,A.Quarteroni,andA.Tagliani,Spe tral-domainde ompositionmethods
forthesolutionofa ousti andelasti waveequations, Geophysi s,61(4),pp.1160-1174,1996
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A knowledgments
This work hasbeenpartlysupported bySardinia RegionAuthoritiesand MURST (Ministero
perl'UniversitaelaRi er aS ienti aeTe nologi a).
