Elettrodinamica 4 9 novembre 2012

Elettrodinamica 4

9 novembre 2012

Equazione di continuita`

Limiti della legge di Ampère Corrente di spostamento Equazioni di Maxwell

Equazione di continuita`

• E` un’altro modo di esprimere la conservazione della carica elettrica

• Consideriamo una superficie chiusa S attraverso cui puo` transitare carica elettrica

• Al tempo t la carica contenuta entro S sia Q(t) e al tempo successivo t+dt sia Q(t+dt)

• Per la conservazione della carica elettrica

la variazione della carica entro S dev’essere dovuta a corrente che attraversa S

 ^{t dt}  ^Q   ^{t idt}

Q   

Equazione di continuita`

• Il segno negativo davanti a i e` dovuto alla relazione tra

carica e corrente: corrente entrante porta ad un aumento di carica, corrente uscente ad una sua diminuzione

• Ma d’altronde, essendo

• per correnti entranti

che quindi risultano negative

• per correnti uscenti

che quindi risultano positive

• Da qui la necessita` del segno negativo

 ^



S

da n J

i  ˆ

J n

J n

ˆ  0 J   n

ˆ  0

 n

J 

Equazione di continuita`

• Possiamo quindi scrivere l’equazione di continuita` in forma integrale

• Riscriviamo carica e corrente in termini delle loro definizioni integrali

• Possiamo invertire la derivata a primo membro con

l’integrale di volume e usare il teorema della divergenza a secondo membro per passare ad un integrale di

volume

dt i

dQ  

 



 ^{  }

S S

V

a d J

dt dV

d  



   



 ^ _ ^{   }

S V S

V

dV J

t dV



 

Equazione di continuita`

• Siccome la superficie S e` arbitraria, l’uguaglianza degli integrali implica quella degli integrandi

• Si ottiene cosi’ l’eq. di continuita` in forma differenziale

J t



 





   

Lemma

• La divergenza della rotazione di un campo vettoriale e`

identicamente nulla

• Per dimostrarlo poniamoci in un sistema cartesiano e calcoliamo la divergenza

• Il primo termine e`

 ^{ }  ^{ 0}



   A 

   

 

 A 

A z A y

A  x      



  



 



 

 



 

 









 

z x

A y

x A z

A y

A A x

x

z y z y

x

 

 





 

 

 







 







 



 

  

Lemma

• Gli altri due termini si ottengono per permutazione ciclica degli indici, avremo quindi

• Siccome l’ordine di derivazione e` irrilevante, i termini si elidono a due a due e il lemma rimane dimostrato

 

 

 









 





 

 

 









 





 

 

 









 





 

 



 





 





 





 





 





 









y z

A z

y A z

x A x

z A x

y A y

x A

y z

A x

z A x

y A z

y A z

x A y

x A A

x y x

z y z

y x z

y x z

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2







Limiti della legge di Ampère

• Non è applicabile a correnti non stazionarie (ad es. un

condensatore)

• Data una curva C, che contorna il filo, la circuitazione del campo B è

• La corrente concatenata a C risulterebbe

– attraverso S1 : i – attraverso S2 : zero

• Per cui la legge di Ampère dà due risultati diversi a seconda che sia applicata a S1 o a S2

0i



C S1

S2

i l

d B

C





 ^  ^

Maxwell

• Si può vedere anche in forma differenziale:

• Se facciamo la divergenza di entrambi i membri

otteniamo che il primo membro si annulla, mentre il

secondo, per l’eq. di continuita`, in generale è diverso da zero:

• Maxwell propose di aggiungere un termine alla legge di Ampere, in modo da renderla sempre verificata

• L’obiettivo e` arrivare all’eq.

J B 











 ^{ }  ^{ 0}



   B 





   



 











 

J t



 





  



^{ }

Maxwell

• Usando la legge di Gauss, esprimiamo la densità di carica in termini della divergenza del campo E:

• Invertendo le operazioni di derivata temporale e di divergenza, e poi raccogliendo questo operatore:

• L’equazione riformulata che Maxwell propose è dunque

t J

B E  



   



 







 







 ₀₀ ₀

   

B t    



   



 







 ₀₀ ₀

t J E

B 

 







 





0 0

0  



Maxwell

• In forma integrale:

• Il nuovo termine è proporzionale alla derivata del flusso del campo E rispetto al tempo

• Per il condensatore il nuovo termine dà:

– attraverso S1 : zero – attraverso S₂ :

Esattamente quel che serve per rendere uguali i conti su S1 e S2

dt E i d

l d B

C

) (

0 0 0

 





dt i dQ dt

E d

int 0 0

0 0

)

(  



   

S1

S2

Corrente di spostamento

• Il termine

• vien detto corrente di spostamento

• L’equazione di Ampère-Maxwell

• è la 4

equazione dell’e.m. nella sua forma completa

is

dt E d )( 

0





C

i dt i

E i d

l d

B     



Equazioni di Maxwell

• Legge di Gauss per il campo E

• Assenza di monopoli magnetici

• Legge di Faraday-Neumann

• Legge di Ampère-Maxwell

dt E i d

l d B

C

) (

0 0 0

 

 







0 int

)

( 

E  Q

 

0 )

( 

 B 

dt B l d

d E

C

) ( 

  





