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Provare che S `e una superficie regolare nell’origine

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Academic year: 2021

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Geometria 4 Bracci-Salvatore

Esonero N. 2 —- 7 Giugno 2012

SiaΓ la curva nel piano (x, y) definita da y = x6, per x∈ [0, +∞). Sia S la superficie ottenuta ruotandoΓ attorno all’asse delle y.

1. Provare che S `e una superficie regolare nell’origine.

2. Trovare le curvature principali di S, la curvatura media e la curvatura di Gauss nell’origine.

3. Sia α: [a, b] → S il meridiano parametrizzato per lunghezza d’arco che unisce (1, 1, 0) a (0, 0, 0). Dire se α `e una geodetica motivando la risposta.

4. Determinare lo spazio tangente a S in(1, 1, 0).

5. Calcolare il trasporto parallelo del vettore(1, 6, 1) ∈ T(1,1,0)S nel punto(0, 0, 0) lungo α [Sugg: si utilizzino i punti 3 e 4 e le propriet`a del trasporto parallelo].

6. Provare che S `e diffeomorfa al piano{y = 0} ma non `e isometrica a tale piano.

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