Statistica
Antonio Azzollini
antonio.azzollini@unibas.it
Anno accademico 2019/2020
Dipartimento di Matematica, Informatica ed Economia (DiMIE) Dipartimento di Matematica, Informatica ed Economia (DiMIE)
Qualche conto con gli indici
Supponiamo di disporre dei dati riferiti, anno per anno, ad una base fissa e voler conoscere i dati riferiti agli stessi anni in base mobile
a1 a2 a3 a4 a5 a6
Anni Acciaio Base fissa Base mobile
1976 23.447 100
1977 23.334 99,5
1978 24.283 103,6
1979 24.250 103,4
1980 26.501 113
1981 24.777 105,7
a2 / a1x100=
a3 / a1
a4/ a1
a5
/ a1
a6/ a1
x100=
x100=
x100=
x100=
a1
Qualche conto con gli indici
Ma...
a1 a2 a3 a4 a5 a6
Anni Acciaio Base fissa Base mobile
1976 23.447 100
1977 23.334 99,5
1978 24.283 103,6
1979 24.250 103,4
1980 26.501 113
1981 24.777 105,7
a2 / a1x100=
a3 / a1
a4/ a1
a5
/ a1
a6/ a1
x100=
x100=
x100=
x100=
a1
Supponiamo di disporre dei dati riferiti, anno per anno, ad una base fissa e voler conoscere i dati riferiti agli stessi anni in base mobile
Qualche conto con gli indici
Non conosciamo i numeri assoluti
👇
Supponiamo di disporre dei dati riferiti, anno per anno, ad una base fissa e voler conoscere i dati riferiti agli stessi anni in base mobile
a1 a2 a3 a4 a5 a6
Anni Acciaio Base fissa Base mobile
1976 100
1977 99,5
1978 103,6
1979 103,4
1980 113
1981 105,7
a2 / a1x100=
a3 / a1
a4/ a1
a5
/ a1
a6/ a1
x100=
x100=
x100=
x100=
a1
Qualche conto con gli indici
a1 a2 a3 a4 a5 a6
Anni Acciaio Base fissa Base mobile
1976 100
1977 99,5
1978 103,6
1979 103,4
1980 113
1981 105,7
a2 / a1x100=
a3 / a1
a4/ a1
a5
/ a1
a6/ a1
x100=
x100=
x100=
x100=
a1
a4 / a1
a3 / a1 = a4
a3 = 103, 4
193,6 = 0,998…
a2
a1 = 99,5
100 = 0,995
Supponiamo di disporre dei dati riferiti, anno per anno, ad una base fissa e voler conoscere i dati riferiti agli stessi anni in base mobile
a3 / a1
a2 / a1 = a3
a2 = 103,6
99,5 = 1,0041 a3 / a1
a2 / a1 = a3
a2 = 103,6
99,5 = 1,0041
a4 / a1
a3 / a1 = a4
a3 = 103, 4
193,6 = 0,998…
Qualche conto con gli indici
Anni Base fissa Operazione Base mobile
1976 100 ——
1977 99,5 0,995 99,5
1978 103,6 103,6/99,5=1,0412 104,1
1979 103,4 103,4/103,6=0,9980 99,9
1980 113 113/103,4 109,3
1981 105,7 105,6/113 93,5
a1 a2 a3 a4 a5 a6
a1
a2
a1 = 99,5
100 = 0,995 a3 / a1
a2 / a1 = a3
a2 = 103,6
99,5 = 1,0041
Supponiamo di disporre dei dati riferiti, anno per anno, ad una base fissa e voler conoscere i dati riferiti agli stessi anni in base mobile
a3 / a1
a2 / a1 = a3
a2 = 103,6
99,5 = 1,0041
a4 / a1
a3 / a1 = a4
a3 = 103, 4
193,6 = 0,998…
a4 / a1
a3 / a1 = a4
a3 = 103, 4
193,6 = 0,998…
Qualche conto con gli indici
Se si conoscono gli indici in una base fissa—ma non i numeri assoluti—e si vuole passare agli indici in un’altra base, l’operazione è simile a quella già vista per il passaggio dalla base fissa a quella mobile.
Anni Acciaio Base 1976 Calcolo Base 1977 1976 23.447 100 (100/99,5)×100 100,5 1977 23.334 99,5 (99,5/99,5)×100 100,0 1978 24.283 103,6 (103,6/99,5)×100 104,1 1979 24.250 103,4 (103,4/99,5)×100 103,9 1980 26.501 113 (113/99,5)×100 113,6 1981 24.777 105,7 (105,7/99,5)×100 106,2
Qualche conto con gli indici
Anni Acciaio Base 1976 Calcolo Base 1977 1976 23.447 100 (100/99,5)×100 100,5 1977 23.334 99,5 (99,5/99,5)×100 100,0 1978 24.283 103,6 (103,6/99,5)×100 104,1 1979 24.250 103,4 (103,4/99,5)×100 103,9 1980 26.501 113 (113/99,5)×100 113,6 1981 24.777 105,7 (105,7/99,5)×100 106,2
a4 / a1
a2 / a1 = a4
a2 = 103, 4
99,5 = 1,039
a1 / a1
a2 / a1 = a1
a2 = 100
99,5 = 1,005 Esempi:
Indici come indici a catena: a4
a1 = a4
a3 × a3
a2 × a2
a1 prodotto di indici a base mobile.
Il metodo del concatenamento è adottato per la costruzione dell’indice dei prezzi al consumo fatta a partire dal 2005 per conformarsi agli standard EUROSTAT.
Se si conoscono gli indici in una base fissa—ma non i numeri assoluti—e si vuole passare agli indici in un’altra base, l’operazione è simile a quella già vista per il passaggio dalla base fissa a quella mobile.
Indici complessi
Si usano quando è necessario confrontare un’aggregazione di prodotti in due diversi periodi di tempo.
Indici complessi
Si usano quando è necessario confrontare un’aggregazione di prodotti in due diversi periodi di tempo.
Prodotti Prezzo 1995 Prezzo 2003 Indice (semplice) Base fissa 1995
Pane bianco (1kg) 0,77 0,89 115,6
Uova (12) 1,85 1,84 99,5
Latte (1lt) 0,88 1,01 114,8
Mele (1kg) 1,46 1,56 106,8
Succo d’arancia (33cl) 1,58 1,70 107,6
Caffè (1kg) 4,40 4,62 105,0
prezzo prodotto 2003
prezzo prodotto 1995 ×100
Consideriamo la seguente tabella
Indici complessi
Prodotti Prezzo 1995 Prezzo 2003 Indice (semplice) Base fissa 1995
Pane bianco (1kg) 0,77 0,89 115,6
Uova (12) 1,85 1,84 99,5
Latte (1lt) 0,88 1,01 114,8
Mele (1kg) 1,46 1,56 106,8
Succo d’arancia (33cl) 1,58 1,70 107,6
Caffè (1kg) 4,40 4,62 105,0
Se metto in qualche modo in relazione fra loro gli indici semplici riferiti a ciascun prodotto, ottengo un indice complesso.
Indici complessi
Media degli indici semplici: 115,6 + 99,5 +!+105,0
6 = 108,2
L’indice della spesa nel 2003 rispetto alla spesa nel 1995 è 108,2, ossia c’è stata una variazione percentuale dell’8,2% dal 1995 al 2003.
Prodotti Prezzo 1995 Prezzo 2003 Indice (semplice) Base fissa 1995
Pane bianco (1kg) 0,77 0,89 115,6
Uova (12) 1,85 1,84 99,5
Latte (1lt) 0,88 1,01 114,8
Mele (1kg) 1,46 1,56 106,8
Succo d’arancia (33cl) 1,58 1,70 107,6
Caffè (1kg) 4,40 4,62 105,0
Se metto in qualche modo in relazione fra loro gli indici semplici riferiti a ciascun prodotto, ottengo un indice complesso.
Questa media è un primo esempio di indice complesso.
Si osservi che non tiene conto dell’importanza di un certo prodotto per una certa famiglia piuttosto che un’altra.
Indici complessi
Media degli indici semplici: 115,6 + 99,5 +!+105,0
6 = 108,2
Prodotti Prezzo 1995 Prezzo 2003 Indice (semplice) Base fissa 1995
Pane bianco (1kg) 0,77 0,89 115,6
Uova (12) 1,85 1,84 99,5
Latte (1lt) 0,88 1,01 114,8
Mele (1kg) 1,46 1,56 106,8
Succo d’arancia (33cl) 1,58 1,70 107,6
Caffè (1kg) 4,40 4,62 105,0
Questa media è un primo esempio di indice complesso.
Attenzione! Si osservi che non si sta tenendo conto dell’importanza che un certo prodotto ha sul bilancio della famiglia (per esempio il caffé "pesa" circa 4 volte e mezzo in più rispetto al latte).
Indici complessi
Media degli indici semplici: 115,6 + 99,5 +!+105,0
6 = 108,2
Prodotti Prezzo 1995 Prezzo 2003 Indice (semplice) Base fissa 1995
Pane bianco (1kg) 0,77 0,89 115,6
Uova (12) 1,85 1,84 99,5
Latte (1lt) 0,88 1,01 114,8
Mele (1kg) 1,46 1,56 106,8
Succo d’arancia (33cl) 1,58 1,70 107,6
Caffè (1kg) 4,40 4,62 105,0
Indici complessi
Riprendiamo la tabella e misuriamo la spesa totale nel 1995 e nel 2003.
Prodotti Prezzo 1995 Prezzo 2003 Indice (semplice) Base fissa 1995
Pane bianco (1kg) 0,77 0,89 115,6
Uova (12) 1,85 1,84 99,5
Latte (1lt) 0,88 1,01 114,8
Mele (1kg) 1,46 1,56 106,8
Succo d’arancia (33cl) 1,58 1,70 107,6
Caffè (1kg) 4,40 4,62 105,0
Totale 10,94 11,62
Indici complessi
Prodotti Prezzo 1995 Prezzo 2003 Indice (semplice) Base fissa 1995
Pane bianco (1kg) 0,77 0,89 115,6
Uova (12) 1,85 1,84 99,5
Latte (1lt) 0,88 1,01 114,8
Mele (1kg) 1,46 1,56 106,8
Succo d’arancia (33cl) 1,58 1,70 107,6
Caffè (1kg) 4,40 4,62 105,0
Totale 10,94 11,62
Calcoliamo l'indice complesso relativo al confronto fra i totali
spesa nel 2003
spesa nel 1995 ×100 = 11,62
10,94 ×100 = 106,2
Qui si mette in relazione la spesa totale nel 2003 rispetto alla spesa nel 1995. Vedremo fra poco che questa è di fatto una media pesata degli indici semplici.
Indici complessi
Prodotti Prezzo 1995 Prezzo 2003 Indice (semplice) Base fissa 1995
Pane bianco (1kg) 0,77 0,89 115,6
Uova (12) 1,85 1,84 99,5
Latte (1lt) 0,88 1,01 114,8
Mele (1kg) 1,46 1,56 106,8
Succo d’arancia (33cl) 1,58 1,70 107,6
Caffè (1kg) 4,40 4,62 105,0
Totale 10,94 11,62
Calcoliamo l'indice complesso relativo al confronto fra i totali
Qui si mette in relazione la spesa totale nel 2003 rispetto alla spesa nel 1995. Vedremo fra poco che questa è di fatto una media pesata degli indici semplici.
spesa nel 2003
spesa nel 1995 ×100 = 11,62
10,94 ×100 = 106,2
Indici complessi
Prodotti Prezzo 1995 Prezzo 2003 Indice (semplice) Base fissa 1995
Pane bianco (1kg) 0,77 0,89 115,6
Uova (12) 1,85 1,84 99,5
Latte (1lt) 0,88 1,01 114,8
Mele (1kg) 1,46 1,56 106,8
Succo d’arancia (33cl) 1,58 1,70 107,6
Caffè (1kg) 4,40 4,62 105,0
Totale 10,94 11,62
Calcoliamo l'indice complesso relativo al confronto fra i totali
La variazione percentuale fra il 2003 ed il 1995 è pari al 6,2%.
spesa nel 2003
spesa nel 1995 ×100 = 11,62
10,94 ×100 = 106,2
La rilevazione dei prezzi al consumo è così importante che è regolata da norme nazionali e internazionali.
L'insieme dei beni considerati si dice paniere: pane, uova, latte, mele...
Indici complessi
La rilevazione dei prezzi al consumo è così importante che è regolata da norme nazionali e internazionali.
L'insieme dei beni considerati si dice paniere: pane, uova, latte, mele...
Indici complessi
Indici complessi
L’indice calcolato nell’esempio precedente è un esempio del cosiddetto indice di Laspeyres.
Indice di Laspeyres
Se
Étienne Laspeyres 1834-1913
q
1, b, q
2, b, …, q
k, b sono le quantità dei beni al tempo baseb
e i prezzi dei beni allo stesso tempo base
b
allora
p
1, b× q
1, b, p
2, b× q
2, b, …, p
k, b× q
k, b rappresentano le spese al tempo baseb
riferite a ciascun bene.p
1, b, p
2, b, …, p
k, bIndice di Laspeyres
Se
Étienne Laspeyres 1834-1913
q
1, b, q
2, b, …, q
k, b sono le quantità dei beni al tempo baseb
e i prezzi dei beni allo stesso tempo base
b
allora
p
1, b× q
1, b, p
2, b× q
2, b, …, p
k, b× q
k, b rappresentano le spese al tempo baseb
riferite a ciascun bene.Se sono le quantità dei beni al tempo base
b
allorarappresentano le spese al tempo corrente
t
riferite a ciascun bene preso nella stessa quantità che al tempo base.p
1, b, p
2, b, …, p
k, bq
1, b, q
2, b, …, q
k, bp
1, t× q
1, b, p
2, t× q
2, b, …, p
k, t× q
k, b=
Indice di Laspeyres
Se
Étienne Laspeyres 1834-1913
q
1, b, q
2, b, …, q
k, b sono le quantità dei beni al tempo baseb
e i prezzi dei beni allo stesso tempo base
b
allora
p
1, b× q
1, b, p
2, b× q
2, b, …, p
k, b× q
k, b rappresentano le spese al tempo baseb
riferite a ciascun bene.Se sono le quantità dei beni al tempo base
b
allorarappresentano le spese al tempo corrente
t
riferite a ciascun bene preso nella stessa quantità che al tempo base.p
1, b, p
2, b, …, p
k, bq
1, b, q
2, b, …, q
k, bp
1, t× q
1, b, p
2, t× q
2, b, …, p
k, t× q
k, b=
q
1, b, q
2, b, …, q
k, bNell'esempio si aveva == == == =1.
Siano p1, t
p1, b ×100, p2, t
p2, b ×100,…, pk, t
pk, b ×100 gli indici dei prezzi dei beni al tempo corrente
t
rispetto al tempo baseb
. Nell'esempio: 115,6; 99,5; 114,8; 106,8;107,6; 105,0.
Indice di Laspeyres
Siano p1, t
p1, b ×100, p2, t
p2, b ×100,…, pk, t
pk, b ×100 gli indici dei prezzi dei beni al tempo corrente
t
rispetto al tempo baseb
. Nell'esempio: 115,6; 99,5; 114,8; 106,8;107,6; 105,0.
Numeri indici: p1, t
p1, b , i = 1,2,…,k Pesi: pi, bqi, b, i = 1,2,…,k
👈
Valori al tempo base
b
dei singoli beni del paniere.
Indice di Laspeyres
IL =
pi, t
pi, b pi, b qi, b
i=1
∑
kpi, b qi, b
i=1
∑
k ×100 =pi, t qi, b
i=1
∑
kpi, b qi, b
i=1
∑
k ×100pi, bqi, b, i = 1,2,…,k IL =
pi, t
pi, b pi, b qi, b
i=1
∑
kpi, bqi, b
i=1
∑
k ×100 =pi, t qi, b
i=1
∑
kpi, bqi, b
i=1
∑
k ×100Siano p1, t
p1, b ×100, p2, t
p2, b ×100,…, pk, t
pk, b ×100 gli indici dei prezzi dei beni al tempo corrente
t
rispetto al tempo baseb
. Nell'esempio: 115,6; 99,5; 114,8; 106,8;107,6; 105,0.
Numeri indici: p1, t
p1, b , i = 1,2,…,k Pesi: pi, bqi, b, i = 1,2,…,k
👈
Valori al tempo base
b
dei singoli beni del paniere.
Indice di Laspeyres
IL =
pi, t
pi, b pi, b qi, b
i=1
∑
kpi, b qi, b
i=1
∑
k ×100 =pi, t qi, b
i=1
∑
kpi, b qi, b
i=1
∑
k ×100pi, bqi, b, i = 1,2,…,k IL =
pi, t
pi, b pi, b qi, b
i=1
∑
kpi, bqi, b
i=1
∑
k ×100 =pi, t qi, b
i=1
∑
kpi, bqi, b
i=1
∑
k ×100IL =
pi, t
pi, b pi, b qi, b
i=1
∑
kpi, b qi, b
i=1
∑
k ×100 =pi, t qi, b
i=1
∑
kpi, b qi, b
i=1
∑
k ×100. . IL =
pi, t
pi, b pi, b qi, b
i=1
∑
kpi, bqi, b
i=1
∑
k ×100 =pi, t qi, b
i=1
∑
kpi, bqi, b
i=1
∑
k ×100IL = .
pi, t
pi, b pi, b qi, b
i=1
∑
kpi, bqi, b
i=1
∑
k ×100 =pi, t qi, b
i=1
∑
kpi, bqi, b
i=1
∑
k ×100IL =
pi, t
pi, b pi, b qi, b
i=1
∑
kpi, bqi, b
i=1
∑
k ×100 =pi, t qi, b
i=1
∑
kpi, bqi, b
i=1
∑
k ×100p1, t
p1, b ×100, p2, t
p2, b ×100,…, pk, t
pk, b ×100
Siano p1, t
p1, b ×100, p2, t
p2, b ×100,…, pk, t
pk, b ×100 gli indici dei prezzi dei beni al tempo corrente
t
rispetto al tempo baseb
. Nell'esempio: 115,6; 99,5; 114,8; 106,8;107,6; 105,0.
Numeri indici: p1, t
p1, b , i = 1,2,…,k Pesi: pi, bqi, b, i = 1,2,…,k
👈
Valori al tempo base
b
dei singoli beni del paniere.
Indice di Laspeyres
IL =
pi, t
pi, b pi, b qi, b
i=1
∑
kpi, b qi, b
i=1
∑
k ×100 =pi, t qi, b
i=1
∑
kpi, b qi, b
i=1
∑
k ×100pi, bqi, b, i = 1,2,…,k IL =
pi, t
pi, b pi, b qi, b
i=1
∑
kpi, bqi, b
i=1
∑
k ×100 =pi, t qi, b
i=1
∑
kpi, bqi, b
i=1
∑
k ×100La media pesata degli indici rispetto ai prezzi del 1995 è data da
👇
115,6 × 0,77 + 99,5 ×1,85 +114,8 × 0,88 +!+105,0 × 4,40
0, 77 +1,85 + 0,88 +!+ 4,40 = 106,22 IL =
pi, t
pi, b pi, b qi, b
i=1
∑
kpi, b qi, b
i=1
∑
k ×100 =pi, t qi, b
i=1
∑
kpi, b qi, b
i=1
∑
k ×100. . IL =
pi, t
pi, b pi, b qi, b
i=1
∑
kpi, bqi, b
i=1
∑
k ×100 =pi, t qi, b
i=1
∑
kpi, bqi, b
i=1
∑
k ×100IL = .
pi, t
pi, b pi, b qi, b
i=1
∑
kpi, bqi, b
i=1
∑
k ×100 =pi, t qi, b
i=1
∑
kpi, bqi, b
i=1
∑
k ×100IL =
pi, t
pi, b pi, b qi, b
i=1
∑
kpi, bqi, b
i=1
∑
k ×100 =pi, t qi, b
i=1
∑
kpi, bqi, b
i=1
∑
k ×100p1, t
p1, b ×100, p2, t
p2, b ×100,…, pk, t
pk, b ×100
Siano p1, t
p1, b ×100, p2, t
p2, b ×100,…, pk, t
pk, b ×100 gli indici dei prezzi dei beni al tempo corrente
t
rispetto al tempo baseb
. Nell'esempio: 115,6; 99,5; 114,8; 106,8;107,6; 105,0.
Numeri indici: p1, t
p1, b , i = 1,2,…,k Pesi: pi, bqi, b, i = 1,2,…,k
👈
Valori al tempo base
b
dei singoli beni del paniere.
Indice di Laspeyres
IL =
pi, t
pi, b pi, b qi, b
i=1
∑
kpi, b qi, b
i=1
∑
k ×100 =pi, t qi, b
i=1
∑
kpi, b qi, b
i=1
∑
k ×100. . IL =
pi, t
pi, b pi, b qi, b
i=1
∑
kpi, b qi, b
i=1
∑
k ×100 =pi, t qi, b
i=1
∑
kpi, b qi, b
i=1
∑
k ×100pi, bqi, b, i = 1,2,…,k
IL =
pi, t
pi, b pi, b qi, b
i=1
∑
kpi, bqi, b
i=1
∑
k ×100 =pi, t qi, b
i=1
∑
kpi, bqi, b
i=1
∑
k ×100IL = .
pi, t
pi, b pi, b qi, b
i=1
∑
kpi, bqi, b
i=1
∑
k ×100 =pi, t qi, b
i=1
∑
kpi, bqi, b
i=1
∑
k ×100IL =
pi, t
pi, b pi, b qi, b
i=1
∑
kpi, bqi, b
i=1
∑
k ×100 =pi, t qi, b
i=1
∑
kpi, bqi, b
i=1
∑
k ×100p1, t
p1, b ×100, p2, t
p2, b ×100,…, pk, t
pk, b ×100
IL =
pi, t
pi, b pi, b qi, b
i=1
∑
kpi, bqi, b
i=1
∑
k ×100 =pi, t qi, b
i=1
∑
kpi, bqi, b
i=1
∑
k ×100IL =
pi, t
pi, b pi, b qi, b
i=1
∑
kpi, b qi, b
i=1
∑
k ×100 =pi, t qi, b
i=1
∑
kpi, b qi, b
i=1
∑
k ×100. .
=
Siano p1, t
p1, b ×100, p2, t
p2, b ×100,…, pk, t
pk, b ×100 gli indici dei prezzi dei beni al tempo corrente
t
rispetto al tempo baseb
. Nell'esempio: 115,6; 99,5; 114,8; 106,8;107,6; 105,0.
Numeri indici: p1, t
p1, b , i = 1,2,…,k Pesi: pi, bqi, b, i = 1,2,…,k
👈
Valori al tempo base
b
dei singoli beni del paniere.
Indice di Laspeyres
IL =
pi, t
pi, b pi, b qi, b
i=1
∑
kpi, b qi, b
i=1
∑
k ×100 =pi, t qi, b
i=1
∑
kpi, b qi, b
i=1
∑
k ×100. . IL =
pi, t
pi, b pi, b qi, b
i=1
∑
kpi, b qi, b
i=1
∑
k ×100 =pi, t qi, b
i=1
∑
kpi, b qi, b
i=1
∑
k ×100pi, bqi, b, i = 1,2,…,k
IL =
pi, t
pi, b pi, b qi, b
i=1
∑
kpi, bqi, b
i=1
∑
k ×100 =pi, t qi, b
i=1
∑
kpi, bqi, b
i=1
∑
k ×100IL = .
pi, t
pi, b pi, b qi, b
i=1
∑
kpi, bqi, b
i=1
∑
k ×100 =pi, t qi, b
i=1
∑
kpi, bqi, b
i=1
∑
k ×100IL =
pi, t
pi, b pi, b qi, b
i=1
∑
kpi, bqi, b
i=1
∑
k ×100 =pi, t qi, b
i=1
∑
kpi, bqi, b
i=1
∑
k ×100p1, t
p1, b ×100, p2, t
p2, b ×100,…, pk, t
pk, b ×100
IL =
pi, t
pi, b pi, b qi, b
i=1
∑
kpi, bqi, b
i=1
∑
k ×100 =pi, t qi, b
i=1
∑
kpi, bqi, b
i=1
∑
k ×100IL =
pi, t
pi, b pi, b qi, b
i=1
∑
kpi, b qi, b
i=1
∑
k ×100 =pi, t qi, b
i=1
∑
kpi, b qi, b
i=1
∑
k ×100. .
=