Antonio Azzollini antonio.azzollini@unibas.it Statistica

(1)

Statistica

Antonio Azzollini

antonio.azzollini@unibas.it

Anno accademico 2018/2019

Dipartimento di Matematica, Informatica ed Economia (DiMIE) Dipartimento di Matematica, Informatica ed Economia (DiMIE)

(2)

Qualche conto con gli indici

Supponiamo di disporre dei dati riferiti, anno per anno, ad una base fissa e voler conoscere i dati riferiti agli stessi anni in base mobile

a₁ a₂ a₃ a₄ a₅ a₆

Anni Acciaio Base fissa Base mobile

1976 23.447 100

1977 23.334 99,5

1978 24.283 103,6

1979 24.250 103,4

1980 26.501 113

1981 24.777 105,7

a₂ / ^a¹^x100=

a₃ / ^a¹

a₄/ ^a¹

a₅

/ ^a¹

a₆/ ^a¹

x100=

a₁

(3)

Qualche conto con gli indici

Ma...

a₁ a₂ a₃ a₄ a₅ a₆

1976 23.447 100

1977 23.334 99,5

1978 24.283 103,6

1979 24.250 103,4

1980 26.501 113

1981 24.777 105,7

a₂ / ^a¹^x100=

a₃ / ^a¹

a₄/ ^a¹

a₅

/ ^a¹

a₆/ ^a¹

x100=

a₁

(4)

Qualche conto con gli indici

Non conosciamo i numeri assoluti

👇

a₁ a₂ a₃ a₄ a₅ a₆

1976 100

1977 99,5

1978 103,6

1979 103,4

1980 113

1981 105,7

a₂ / ^a¹^x100=

a₃ / ^a¹

a₄/ ^a¹

a₅

/ ^a¹

a₆/ ^a¹

x100=

a₁

(5)

Qualche conto con gli indici

a₁ a₂ a₃ a₄ a₅ a₆

1976 100

1977 99,5

1978 103,6

1979 103,4

1980 113

1981 105,7

a₂ / ^a¹^x100=

a₃ / ^a¹

a₄/ ^a¹

a₅

/ ^a¹

a₆/ ^a¹

x100=

a₁

a₄ / a₁

a₃ / a₁ = a₄

a₃ = 103, 4

193,6 = 0,998…

a₂

a₁ = 99,5

100 = 0,995

a₃ / a₁

a₂ / a₁ = a₃

a₂ = 103,6

99,5 = 1,0041 a₃ / a₁

a₂ / a₁ = a₃

a₂ = 103,6

99,5 = 1,0041

(6)

Qualche conto con gli indici

Anni Base fissa Operazione Base mobile

1976 100 ——

1977 99,5 0,995 99,5

1978 103,6 103,6/99,5=1,0412 104,1

1979 103,4 103,4/103,6=0,9980 99,9

1980 113 113/103,4 109,3

1981 105,7 105,6/113 93,5

a₁ a₂ a₃ a₄ a₅ a₆

a₁

a₄ / a₁

a₃ / a₁ = a₄

a₃ = 103, 4

193,6 = 0,998…

a₂

a₁ = 99,5

100 = 0,995 a₃ / a₁

a₂ / a₁ = a₃

a₂ = 103,6

99,5 = 1,0041

a₃ / a₁

a₂ / a₁ = a₃

a₂ = 103,6

99,5 = 1,0041

(7)

Qualche conto con gli indici

Se si conoscono gli indici in una base fissa—ma non i numeri assoluti—e si vuole passare agli indici in un’altra base, l’operazione è simile a quella già vista per il passaggio dalla base fissa a quella mobile.

Anni Acciaio Base 1976 Calcolo Base 1977 1976 23.447 100 (100/99,5)×100 100,5 1977 23.334 99,5 (99,5/99,5)×100 100,0 1978 24.283 103,6 (103,6/99,5)×100 104,1 1979 24.250 103,4 (103,4/99,5)×100 103,9 1980 26.501 113 (113/99,5)×100 113,6 1981 24.777 105,7 (105,7/99,5)×100 106,2

(8)

Qualche conto con gli indici

Anni Acciaio Base 1976 Calcolo Base 1977 1976 23.447 100 (100/99,5)×100 100,5 1977 23.334 99,5 (99,5/99,5)×100 100,0 1978 24.283 103,6 (103,6/99,5)×100 104,1 1979 24.250 103,4 (103,4/99,5)×100 103,9 1980 26.501 113 (113/99,5)×100 113,6 1981 24.777 105,7 (105,7/99,5)×100 106,2

a₄ / a₁

a₂ / a₁ = a₄

a₂ = 103, 4

99,5 = 1,039

a₁ / a₁

a₂ / a₁ = a₁

a₂ = 100

99,5 = 1,005 Esempi:

Indici come indici a catena: a₄

a₁ = a₄

a₃ × a₃

a₂ × a₂

a₁ prodotto di indici a base mobile.

Il metodo del concatenamento è adottato per la costruzione dell’indice dei prezzi al consumo fatta a partire dal 2005 per conformarsi agli standard EUROSTAT.

Se si conoscono gli indici in una base fissa—ma non i numeri assoluti—e si vuole passare agli indici in un’altra base, l’operazione è simile a quella già vista per il passaggio dalla base fissa a quella mobile.

(9)

Indici complessi

Si usano quando è necessario confrontare un’aggregazione di prodotti in due diversi periodi di tempo.

(10)

Indici complessi

Si usano quando è necessario confrontare un’aggregazione di prodotti in due diversi periodi di tempo.

Prodotti Prezzo 1995 Prezzo 2003 Indice (semplice) Base fissa 1995

Pane bianco (1kg) 0,77 0,89 115,6

Uova (12) 1,85 1,84 99,5

Latte (1lt) 0,88 1,01 114,8

Mele (1kg) 1,46 1,56 106,8

Succo d’arancia (33cl) 1,58 1,70 107,6

Caffè (1kg) 4,40 4,62 105,0

prezzo prodotto 2003

prezzo prodotto 1995 ×100

Consideriamo la seguente tabella

(11)

Indici complessi

Pane bianco (1kg) 0,77 0,89 115,6

Uova (12) 1,85 1,84 99,5

Latte (1lt) 0,88 1,01 114,8

Mele (1kg) 1,46 1,56 106,8

Caffè (1kg) 4,40 4,62 105,0

Se metto in qualche modo in relazione fra loro gli indici semplici riferiti a ciascun prodotto, ottengo un indice complesso.

(12)

Indici complessi

Media degli indici semplici: 115,6 + 99,5 +!+105,0

6 = 108,2

L’indice della spesa nel 2003 rispetto alla spesa nel 1995 è 108,2, ossia c’è stata una variazione percentuale dell’8,2% dal 1995 al 2003.

Pane bianco (1kg) 0,77 0,89 115,6

Uova (12) 1,85 1,84 99,5

Latte (1lt) 0,88 1,01 114,8

Mele (1kg) 1,46 1,56 106,8

Caffè (1kg) 4,40 4,62 105,0

Se metto in qualche modo in relazione fra loro gli indici semplici riferiti a ciascun prodotto, ottengo un indice complesso.

(13)

Questa media è un primo esempio di indice complesso.

Si osservi che non tiene conto dell’importanza di un certo prodotto per una certa famiglia piuttosto che un’altra.

Indici complessi

6 = 108,2

Pane bianco (1kg) 0,77 0,89 115,6

Uova (12) 1,85 1,84 99,5

Latte (1lt) 0,88 1,01 114,8

Mele (1kg) 1,46 1,56 106,8

Caffè (1kg) 4,40 4,62 105,0

(14)

Questa media è un primo esempio di indice complesso.

Attenzione! Si osservi che non si sta tenendo conto dell’importanza che un certo prodotto ha sul bilancio della famiglia (per esempio il caffé "pesa" circa 4 volte e mezzo in più rispetto al latte).

Indici complessi

6 = 108,2

Pane bianco (1kg) 0,77 0,89 115,6

Uova (12) 1,85 1,84 99,5

Latte (1lt) 0,88 1,01 114,8

Mele (1kg) 1,46 1,56 106,8

Caffè (1kg) 4,40 4,62 105,0

(15)

Indici complessi

Riprendiamo la tabella e misuriamo la spesa totale nel 1995 e nel 2003.

Pane bianco (1kg) 0,77 0,89 115,6

Uova (12) 1,85 1,84 99,5

Latte (1lt) 0,88 1,01 114,8

Mele (1kg) 1,46 1,56 106,8

Caffè (1kg) 4,40 4,62 105,0

Totale 10,94 11,62

(16)

Indici complessi

Pane bianco (1kg) 0,77 0,89 115,6

Uova (12) 1,85 1,84 99,5

Latte (1lt) 0,88 1,01 114,8

Mele (1kg) 1,46 1,56 106,8

Caffè (1kg) 4,40 4,62 105,0

Totale 10,94 11,62

Calcoliamo l'indice complesso relativo al confronto fra i totali

spesa nel 2003

spesa nel 1995 ×100 = 11,62

10,94 ×100 = 106,2

Qui si mette in relazione la spesa totale nel 2003 rispetto alla spesa nel 1995. Vedremo fra poco che questa è di fatto una media pesata degli indici semplici.

(17)

Indici complessi

Pane bianco (1kg) 0,77 0,89 115,6

Uova (12) 1,85 1,84 99,5

Latte (1lt) 0,88 1,01 114,8

Mele (1kg) 1,46 1,56 106,8

Caffè (1kg) 4,40 4,62 105,0

Totale 10,94 11,62

Qui si mette in relazione la spesa totale nel 2003 rispetto alla spesa nel 1995. Vedremo fra poco che questa è di fatto una media pesata degli indici semplici.

spesa nel 2003

spesa nel 1995 ×100 = 11,62

10,94 ×100 = 106,2

(18)

Indici complessi

Pane bianco (1kg) 0,77 0,89 115,6

Uova (12) 1,85 1,84 99,5

Latte (1lt) 0,88 1,01 114,8

Mele (1kg) 1,46 1,56 106,8

Caffè (1kg) 4,40 4,62 105,0

Totale 10,94 11,62

La variazione percentuale fra il 2003 ed il 1995 è pari al 6,2%.

spesa nel 2003

spesa nel 1995 ×100 = 11,62

10,94 ×100 = 106,2

(19)

La rilevazione dei prezzi al consumo è così importante che è regolata da norme nazionali e internazionali.

L'insieme dei beni considerati si dice paniere: pane, uova, latte, mele...

Indici complessi

(20)

La rilevazione dei prezzi al consumo è così importante che è regolata da norme nazionali e internazionali.

L'insieme dei beni considerati si dice paniere: pane, uova, latte, mele...

Indici complessi

(21)

Indici complessi

L’indice calcolato nell’esempio precedente è un esempio del cosiddetto indice di Laspeyres.

(22)

Indice di Laspeyres

, …, p

_{k, b}

(23)

Indice di Laspeyres

Se

q

_{1, b}

, q

_{2, b}

, …, q

b

allora

p

_{1, b}

× q

_{1, b}

, p

_{2, b}

× q

_{2, b}

, …, p

_{k, b}

× q

b

Se sono le quantità dei beni al tempo base

b

, …, p

_{k, t}

× q

_{k, b}

=

(24)

Indice di Laspeyres

Se

q

_{1, b}

, q

_{2, b}

, …, q

b

allora

p

_{1, b}

× q

_{1, b}

, p

_{2, b}

× q

_{2, b}

, …, p

_{k, b}

× q

b

Se sono le quantità dei beni al tempo base

b

, …, p

_{k, t}

× q

_{k, b}

=

q

_{1, b}

, q

_{2, b}

, …, q

_{k, b}

Nell'esempio si aveva =⁼ =⁼ =⁼ =1.

(25)

Siano ^p^{1, t}

p_{1, b} ×100, p_{2, t}

p_{2, b} ×100,…, p_{k, t}

p_{k, b} ×100 gli indici dei prezzi dei beni al tempo corrente

t

rispetto al tempo base

b

. Nell'esempio: 115,6; 99,5; 114,8; 106,8;

107,6; 105,0.

Indice di Laspeyres

(26)

Siano ^p^{1, t}

p_{1, b} ×100, p_{2, t}

p_{2, b} ×100,…, p_{k, t}

t

b

. Nell'esempio: 115,6; 99,5; 114,8; 106,8;

107,6; 105,0.

Numeri indici: ^p^{1, t}

p_{1, b} , i = 1,2,…,k Pesi: p_{i, b}q_{i, b}, i = 1,2,…,k

👈

Valori al tempo base

b

dei singoli beni del paniere.

Indice di Laspeyres

I_L =

p_{i, t}

p_{i, b} p_{i, b} q_{i, b}

i=1

∑

k

p_{i, b} q_{i, b}

i=1

∑

k ^{×100 =}

p_{i, t} q_{i, b}

i=1

∑

k

p_{i, b} q_{i, b}

i=1

∑

k ^×100

p_{i, b}q_{i, b}, i = 1,2,…,k I_L =

p_{i, t}

p_{i, b} p_{i, b} q_{i, b}

i=1

∑

k

p_{i, b}q_{i, b}

i=1

∑

k ^{×100 =}

p_{i, t} q_{i, b}

i=1

∑

k

p_{i, b}q_{i, b}

i=1

∑

k ^×100

(27)

Siano ^p^{1, t}

p_{1, b} ×100, p_{2, t}

p_{2, b} ×100,…, p_{k, t}

t

b

. Nell'esempio: 115,6; 99,5; 114,8; 106,8;

107,6; 105,0.

👈

b

Indice di Laspeyres

I_L =

p_{i, t}

p_{i, b} p_{i, b} q_{i, b}

i=1

∑

k

p_{i, b} q_{i, b}

i=1

∑

k ^{×100 =}

p_{i, t} q_{i, b}

i=1

∑

k

p_{i, b} q_{i, b}

i=1

∑

k ^×100

p_{i, b}q_{i, b}, i = 1,2,…,k I_L =

p_{i, t}

p_{i, b} p_{i, b} q_{i, b}

i=1

∑

k

p_{i, b}q_{i, b}

i=1

∑

k ^{×100 =}

p_{i, t} q_{i, b}

i=1

∑

k

p_{i, b}q_{i, b}

i=1

∑

k ^×100

I_L =

p_{i, t}

p_{i, b} p_{i, b} q_{i, b}

i=1

∑

k

p_{i, b} q_{i, b}

i=1

∑

k ^{×100 =}

p_{i, t} q_{i, b}

i=1

∑

k

p_{i, b} q_{i, b}

i=1

∑

k ^×100

. . I_L =

p_{i, t}

p_{i, b} p_{i, b} q_{i, b}

i=1

∑

k

p_{i, b}q_{i, b}

i=1

∑

k ^{×100 =}

p_{i, t} q_{i, b}

i=1

∑

k

p_{i, b}q_{i, b}

i=1

∑

k ^×100

I_L = .

p_{i, t}

p_{i, b} p_{i, b} q_{i, b}

i=1

∑

k

p_{i, b}q_{i, b}

i=1

∑

k ^{×100 =}

p_{i, t} q_{i, b}

i=1

∑

k

p_{i, b}q_{i, b}

i=1

∑

k ^×100

I_L =

p_{i, t}

p_{i, b} p_{i, b} q_{i, b}

i=1

∑

k

p_{i, b}q_{i, b}

i=1

∑

k ^{×100 =}

p_{i, t} q_{i, b}

i=1

∑

k

p_{i, b}q_{i, b}

i=1

∑

k ^×100

p_{1, t}

p_{1, b} ×100, p_{2, t}

p_{2, b} ×100,…, p_{k, t}

p_{k, b} ×100

(28)

Siano ^p^{1, t}

p_{1, b} ×100, p_{2, t}

p_{2, b} ×100,…, p_{k, t}

t

b

. Nell'esempio: 115,6; 99,5; 114,8; 106,8;

107,6; 105,0.

👈

b

Indice di Laspeyres

I_L =

p_{i, t}

p_{i, b} p_{i, b} q_{i, b}

i=1

∑

k

p_{i, b} q_{i, b}

i=1

∑

k ^{×100 =}

p_{i, t} q_{i, b}

i=1

∑

k

p_{i, b} q_{i, b}

i=1

∑

k ^×100

p_{i, b}q_{i, b}, i = 1,2,…,k I_L =

p_{i, t}

p_{i, b} p_{i, b} q_{i, b}

i=1

∑

k

p_{i, b}q_{i, b}

i=1

∑

k ^{×100 =}

p_{i, t} q_{i, b}

i=1

∑

k

p_{i, b}q_{i, b}

i=1

∑

k ^×100

La media pesata degli indici rispetto ai prezzi del 1995 è data da

👇

115,6 × 0,77 + 99,5 ×1,85 +114,8 × 0,88 +!+105,0 × 4,40

0, 77 +1,85 + 0,88 +!+ 4,40 = 106,22 I_L =

p_{i, t}

p_{i, b} p_{i, b} q_{i, b}

i=1

∑

k

p_{i, b} q_{i, b}

i=1

∑

k ^{×100 =}

p_{i, t} q_{i, b}

i=1

∑

k

p_{i, b} q_{i, b}

i=1

∑

k ^×100

. . I_L =

p_{i, t}

p_{i, b} p_{i, b} q_{i, b}

i=1

∑

k

p_{i, b}q_{i, b}

i=1

∑

k ^{×100 =}

p_{i, t} q_{i, b}

i=1

∑

k

p_{i, b}q_{i, b}

i=1

∑

k ^×100

I_L = .

p_{i, t}

p_{i, b} p_{i, b} q_{i, b}

i=1

∑

k

p_{i, b}q_{i, b}

i=1

∑

k ^{×100 =}

p_{i, t} q_{i, b}

i=1

∑

k

p_{i, b}q_{i, b}

i=1

∑

k ^×100

I_L =

p_{i, t}

p_{i, b} p_{i, b} q_{i, b}

i=1

∑

k

p_{i, b}q_{i, b}

i=1

∑

k ^{×100 =}

p_{i, t} q_{i, b}

i=1

∑

k

p_{i, b}q_{i, b}

i=1

∑

k ^×100

p_{1, t}

p_{1, b} ×100, p_{2, t}

p_{2, b} ×100,…, p_{k, t}

p_{k, b} ×100

(29)

Siano ^p^{1, t}

p_{1, b} ×100, p_{2, t}

p_{2, b} ×100,…, p_{k, t}

t

b

. Nell'esempio: 115,6; 99,5; 114,8; 106,8;

107,6; 105,0.

👈

b

Indice di Laspeyres

I_L =

p_{i, t}

p_{i, b} p_{i, b} q_{i, b}

i=1

∑

k

p_{i, b} q_{i, b}

i=1

∑

k ^{×100 =}

p_{i, t} q_{i, b}

i=1

∑

k

p_{i, b} q_{i, b}

i=1

∑

k ^×100

. . I_L =

p_{i, t}

p_{i, b} p_{i, b} q_{i, b}

i=1

∑

k

p_{i, b} q_{i, b}

i=1

∑

k ^{×100 =}

p_{i, t} q_{i, b}

i=1

∑

k

p_{i, b} q_{i, b}

i=1

∑

k ^×100

p_{i, b}q_{i, b}, i = 1,2,…,k

I_L =

p_{i, t}

p_{i, b} p_{i, b} q_{i, b}

i=1

∑

k

p_{i, b}q_{i, b}

i=1

∑

k ^{×100 =}

p_{i, t} q_{i, b}

i=1

∑

k

p_{i, b}q_{i, b}

i=1

∑

k ^×100

I_L = .

p_{i, t}

p_{i, b} p_{i, b} q_{i, b}

i=1

∑

k

p_{i, b}q_{i, b}

i=1

∑

k ^{×100 =}

p_{i, t} q_{i, b}

i=1

∑

k

p_{i, b}q_{i, b}

i=1

∑

k ^×100

I_L =

p_{i, t}

p_{i, b} p_{i, b} q_{i, b}

i=1

∑

k

p_{i, b}q_{i, b}

i=1

∑

k ^{×100 =}

p_{i, t} q_{i, b}

i=1

∑

k

p_{i, b}q_{i, b}

i=1

∑

k ^×100

p_{1, t}

p_{1, b} ×100, p_{2, t}

p_{2, b} ×100,…, p_{k, t}

p_{k, b} ×100

I_L =

p_{i, t}

p_{i, b} p_{i, b} q_{i, b}

i=1

∑

k

p_{i, b}q_{i, b}

i=1

∑

k ^{×100 =}

p_{i, t} q_{i, b}

i=1

∑

k

p_{i, b}q_{i, b}

i=1

∑

k ^×100

I_L =

b

. Nell'esempio: 115,6; 99,5; 114,8; 106,8;

107,6; 105,0.

👈

b

Indice di Laspeyres

I_L =

p_{i, t}

p_{i, b} p_{i, b} q_{i, b}

i=1

∑

k

p_{i, b} q_{i, b}

i=1

∑

k ^{×100 =}

p_{i, t} q_{i, b}

i=1

∑

k

p_{i, b} q_{i, b}

i=1

∑

k ^×100

. . I_L =

p_{i, t}

p_{i, b} p_{i, b} q_{i, b}

i=1

∑

k

p_{i, b} q_{i, b}

i=1

∑

k ^{×100 =}

p_{i, t} q_{i, b}

i=1

∑

k

p_{i, b} q_{i, b}

i=1

∑

k ^×100

p_{i, b}q_{i, b}, i = 1,2,…,k

I_L =

p_{i, t}

p_{i, b} p_{i, b} q_{i, b}

i=1

∑

k

p_{i, b}q_{i, b}

i=1

∑

k ^{×100 =}

p_{i, t} q_{i, b}

i=1

∑

k

p_{i, b}q_{i, b}

i=1

∑

k ^×100

I_L = .

p_{i, t}

p_{i, b} p_{i, b} q_{i, b}

i=1

∑

k

p_{i, b}q_{i, b}

i=1

∑

k ^{×100 =}

p_{i, t} q_{i, b}

i=1

∑

k

p_{i, b}q_{i, b}

i=1

∑

k ^×100

I_L =

p_{i, t}

p_{i, b} p_{i, b} q_{i, b}

i=1

∑

k

p_{i, b}q_{i, b}

i=1

∑

k ^{×100 =}

p_{i, t} q_{i, b}

i=1

∑

k

p_{i, b}q_{i, b}

i=1

∑

k ^×100

p_{1, t}

p_{1, b} ×100, p_{2, t}

p_{2, b} ×100,…, p_{k, t}

p_{k, b} ×100

I_L =

p_{i, t}

p_{i, b} p_{i, b} q_{i, b}

i=1

∑

k

p_{i, b}q_{i, b}

i=1

∑

k ^{×100 =}

p_{i, t} q_{i, b}

i=1

∑

k

p_{i, b}q_{i, b}

i=1

∑

k ^×100

I_L =

p_{i, t}

p_{i, b} p_{i, b} q_{i, b}

i=1

∑

k

p_{i, b} q_{i, b}

i=1

∑

k ^{×100 =}

p_{i, t} q_{i, b}

i=1

∑

k

p_{i, b} q_{i, b}

i=1

∑

k ^×100

. .

=