Statistica
Antonio Azzollini
antonio.azzollini@unibas.it
Anno accademico 2019/2020
Dipartimento di Matematica, Informatica ed Economia (DiMIE) Dipartimento di Matematica, Informatica ed Economia (DiMIE)
Per caratteri qualitativi, la variabilità è più opportunamente stimata attraverso un indice di eterogeneità.
Variabilità nei caratteri qualitativi
Indice di eterogeneità (di Gini):
E = 1− f (
12+!+ f
k2)
Minimo quando vi è una sola modalità con frequenza relativa
1
E 👇 = 0
Massimo quando tutte le
k
modalità sono equifrequenti:1 k
E = 1− 1
k
2+!+ 1 k
2⎛ ⎝⎜ ⎞
⎠⎟ = 1 − k
k
2= k −1 k
👇
E' il caso di massima omogeneità nella distribuzione di frequenze.
E' il caso di massima eterogeneità nella distribuzione di frequenze.
E = 1− 0,047 (
2+ 0,079
2+!+ 0,047
2) = 0,67
Poiché
k −1
k = 6
7 = 0,86
, concludiamo che la distribuzione è piuttosto eterogenea!Variabilità nei caratteri qualitativi
Colore dei
capelli N° di persone Frequenze relative
Neri 10 0,35
Castano chiaro 3 0,11
Castano scuro 6 0,21
Rossi 1 0,04
Biondi 5 0,18
Bianchi 3 0,11
Totale 28 1
0,35 0,11 0,11 0,78 5
6 0,83
Il coefficiente di variazione
Una proprietà auspicabile per un indice di variabilità è che esso non dipenda dalla unità di misura in cui il carattere è espresso. Questa proprietà consente di effettuare confronti fra grandezze con misure diverse e non solo…
Esempio: l’altezza di 5 studenti (in cm) è: 172, 175, 176, 178, 180.
Si ha
µ = 176,2
eds = 3,033
In metri la media sarebbe
µ = 1,762
mentre la deviazione standard sarebbes = 0,03 !
X.
X.
.
Il coefficiente di variazione
Una proprietà auspicabile per un indice di variabilità è che esso non dipenda dalla unità di misura in cui il carattere è espresso. Questa proprietà consente di effettuare confronti fra grandezze con misure diverse e non solo…
Esempio: l’altezza di 5 studenti (in cm) è: 172, 175, 176, 178, 180.
Si ha
µ = 176,2
eds = 3,033
In metri la media sarebbe
µ = 1,762
mentre la deviazione standard sarebbes = 0,03
Possiamo concludere che nel secondo caso la variabilità sia inferiore?
!
X.
X.
.
Il coefficiente di variazione
Una proprietà auspicabile per un indice di variabilità è che esso non dipenda dalla unità di misura in cui il carattere è espresso. Questa proprietà consente di effettuare confronti fra grandezze con misure diverse e non solo…
Esempio: l’altezza di 5 studenti (in cm) è: 172, 175, 176, 178, 180.
Si ha
µ = 176,2
eds = 3,033
In metri la media sarebbe
µ = 1,762
mentre la deviazione standard sarebbes = 0,03
Possiamo concludere che nel secondo caso la variabilità sia inferiore?
!
Certamente NO!
X.
X.
.
Il coefficiente di variazione
Si introduce il cosiddetto coefficiente di variazione, definito come il
rapporto fra la deviazione standard e la media campionaria (presa
con il segno positivo). Tale definizione è ben posta per distribuzioni
statistiche a media non nulla.
Il coefficiente di variazione
CV = 0,0172
In simboli
X.
s = 3,033
Si introduce il cosiddetto coefficiente di variazione, definito come il rapporto fra la deviazione standard e la media campionaria (presa con il segno positivo). Tale definizione è ben posta per distribuzioni statistiche a media non nulla.
.
Si introduce il cosiddetto coefficiente di variazione, definito come il rapporto fra la deviazione standard e la media campionaria (presa con il segno positivo). Tale definizione è ben posta per distribuzioni statistiche a media non nulla.
Nell’esempio appena visto il coefficiente di variazione è
CV = 0,0172
Il coefficiente di variazione
CV = 0,0172
In simboli
X.
s = 3,033
.
.
Il coefficiente di variazione
Esempio: l’altezza di 5 neonati (in cm) è: 52, 50, 46, 51, 53.
Il coefficiente di variazione
Esempio: l’altezza di 5 neonati (in cm) è: 52, 50, 46, 51, 53.
Risulta che:
•
la media è 50,4 cm;
•
la deviazione standard è 2,70 cm.
Il coefficiente di variazione
Esempio: l’altezza di 5 neonati (in cm) è: 52, 50, 46, 51, 53.
Risulta che:
•
la media è 50,4 cm;
•
la deviazione standard è 2,70 cm.
Il coefficiente di variazione
Esempio: l’altezza di 5 neonati (in cm) è: 52, 50, 46, 51, 53.
Risulta che:
•
la media è 50,4 cm;
•
la deviazione standard è 2,70 cm.
Il coefficiente di variazione
Esempio: l’altezza di 5 neonati (in cm) è: 52, 50, 46, 51, 53.
Risulta che:
•
la media è 50,4 cm;
•
la deviazione standard è 2,70 cm.
E pertanto...
il coefficiante di variazione è
Il coefficiente di variazione
Esempio: l’altezza di 5 neonati (in cm) è: 52, 50, 46, 51, 53.
Risulta che:
•
la media è 50,4 cm;
•
la deviazione standard è 2,70 cm.
E pertanto...
il coefficiente di variazione è CV = 0,0172 0,053.
Il coefficiente di variazione
Anche quando le unità di misura sono le stesse il coefficiente di variazione può tornare utile.
Regione DC PLI Regione DC PLI Regione DC PLI
Piemonte 27,6 6,6 Toscana 25,3 1,4 Puglia 36,3 2,1
Lombardia 33,4 3,8 Umbria 26,2 1,2 Basilicata 46,0 0,8
Veneto 42,6 2,8 Marche 33,4 1,6 Calabria 36,8 0,9
Liguria 27,3 0,7 Lazio 31,1 2,7 Sardegna 31,7 1,5
Friuli V. G. 34,5 2,2 Abruzzo 42,2 1,7 Sicilia 26,9 1,7 Trentino A.
A. 27,6 1,6 Molise 55,5 2,2
Emilia R. 22,8 2,3 Campania 36,2 2,4
Distribuzione delle percentuali di voto nel 1963
Il coefficiente di variazione
Anche quando le unità di misura sono le stesse il coefficiente di variazione può tornare utile.
Regione DC PLI Regione DC PLI Regione DC PLI
Piemonte 27,6 6,6 Toscana 25,3 1,4 Puglia 36,3 2,1
Lombardia 33,4 3,8 Umbria 26,2 1,2 Basilicata 46,0 0,8
Veneto 42,6 2,8 Marche 33,4 1,6 Calabria 36,8 0,9
Liguria 27,3 0,7 Lazio 31,1 2,7 Sardegna 31,7 1,5
Friuli V. G. 34,5 2,2 Abruzzo 42,2 1,7 Sicilia 26,9 1,7 Trentino A.
A. 27,6 1,6 Molise 55,5 2,2
Emilia R. 22,8 2,3 Campania 36,2 2,4
Distribuzione delle percentuali di voto nel 1963
• La percentuale media è del 33,9% per la DC mentre per il PLI è del 2,3%.
• Le differenze fra una regione e l’altra sono maggiori, in punti percentuali, nella DC. Infatti tra la Basilicata e l’Emilia Romagna vi è una differenza di 23,2 punti percentuali mentre per il PLI la differenza massima è solo di 5,8 punti percentuali.
• La deviazione standard della percentuale di voti è 8,23 per la DC mentre è 1,41 per il PLI.
• Se si confrontano i coefficienti di variazione il risultato si rovescia. La distribuzione di voto della DC presenta una variabilità minore rispetto a quella del PLI.
Il coefficiente di variazione
Anche quando le unità di misura sono le stesse il coefficiente di variazione può tornare utile.
Regione DC PLI Regione DC PLI Regione DC PLI
Piemonte 27,6 6,6 Toscana 25,3 1,4 Puglia 36,3 2,1
Lombardia 33,4 3,8 Umbria 26,2 1,2 Basilicata 46,0 0,8
Veneto 42,6 2,8 Marche 33,4 1,6 Calabria 36,8 0,9
Liguria 27,3 0,7 Lazio 31,1 2,7 Sardegna 31,7 1,5
Friuli V. G. 34,5 2,2 Abruzzo 42,2 1,7 Sicilia 26,9 1,7 Trentino A.
A. 27,6 1,6 Molise 55,5 2,2
Emilia R. 22,8 2,3 Campania 36,2 2,4
Distribuzione delle percentuali di voto nel 1963
• La percentuale media è del 33,9% per la DC mentre per il PLI è del 2,3%.
• Le differenze fra una regione e l’altra sono maggiori, in punti percentuali, nella DC. Infatti tra la Basilicata e l’Emilia Romagna vi è una differenza di 23,2 punti percentuali mentre per il PLI la differenza massima è solo di 5,8 punti percentuali.
• La deviazione standard della percentuale di voti è 8,23 per la DC mentre è 1,41 per il PLI.
• Se si confrontano i coefficienti di variazione il risultato si rovescia. La distribuzione di voto della DC presenta una variabilità minore rispetto a quella del PLI.
Il coefficiente di variazione
Anche quando le unità di misura sono le stesse il coefficiente di variazione può tornare utile.
Regione DC PLI Regione DC PLI Regione DC PLI
Piemonte 27,6 6,6 Toscana 25,3 1,4 Puglia 36,3 2,1
Lombardia 33,4 3,8 Umbria 26,2 1,2 Basilicata 46,0 0,8
Veneto 42,6 2,8 Marche 33,4 1,6 Calabria 36,8 0,9
Liguria 27,3 0,7 Lazio 31,1 2,7 Sardegna 31,7 1,5
Friuli V. G. 34,5 2,2 Abruzzo 42,2 1,7 Sicilia 26,9 1,7 Trentino A.
A. 27,6 1,6 Molise 55,5 2,2
Emilia R. 22,8 2,3 Campania 36,2 2,4
Distribuzione delle percentuali di voto nel 1963
• La percentuale media è del 33,9% per la DC mentre per il PLI è del 2,3%.
• Le differenze fra una regione e l’altra sono maggiori, in punti percentuali, nella DC. Infatti tra la Basilicata e l’Emilia Romagna vi è una differenza di 23,2 punti percentuali mentre per il PLI la differenza massima è solo di 5,8 punti percentuali.
• La deviazione standard della percentuale di voti è 8,23 per la DC mentre è 1,41 per il PLI.
• Se si confrontano i coefficienti di variazione il risultato si rovescia. La distribuzione di voto della DC presenta una variabilità minore rispetto a quella del PLI.
CV
DC= 8,23
33,9 = 0,24, CV
PLI= 1, 41
2, 3 = 0,61
Il coefficiente di variazione
Anche quando le unità di misura sono le stesse il coefficiente di variazione può tornare utile.
Regione DC PLI Regione DC PLI Regione DC PLI
Piemonte 27,6 6,6 Toscana 25,3 1,4 Puglia 36,3 2,1
Lombardia 33,4 3,8 Umbria 26,2 1,2 Basilicata 46,0 0,8
Veneto 42,6 2,8 Marche 33,4 1,6 Calabria 36,8 0,9
Liguria 27,3 0,7 Lazio 31,1 2,7 Sardegna 31,7 1,5
Friuli V. G. 34,5 2,2 Abruzzo 42,2 1,7 Sicilia 26,9 1,7 Trentino A.
A. 27,6 1,6 Molise 55,5 2,2
Emilia R. 22,8 2,3 Campania 36,2 2,4
Distribuzione delle percentuali di voto nel 1963
• La percentuale media è del 33,9% per la DC mentre per il PLI è del 2,3%.
• Le differenze fra una regione e l’altra sono maggiori, in punti percentuali, nella DC. Infatti tra la Basilicata e l’Emilia Romagna vi è una differenza di 23,2 punti percentuali mentre per il PLI la differenza massima è solo di 5,8 punti percentuali.
• La deviazione standard della percentuale di voti è 8,23 per la DC mentre è 1,41 per il PLI.
• Se si confrontano i coefficienti di variazione il risultato si rovescia. La distribuzione di voto della DC presenta una variabilità minore rispetto a quella del PLI.
CV
DC= 8,23
33,9 = 0,24, CV
PLI= 1, 41
2, 3 = 0,61
Precisione della media campionaria
Il coefficiente di variazione consente di valutare anche la “correttezza” della media campionaria. Infatti la media campionaria si ritiene un indice corretto se il coefficiente di variazione assume valori inferiori a 0,5.
Esempio:
CV
DC= 8,23
33,9 = 0,24, CV
PLI= 1, 41
2, 3 = 0,61
La media è un indice corretto per la percentuale della DC ma non per quella del PLI.
Si definisce precisione della media campionaria
SEM = s
n = 1,5 per la DC 0,27 per il PLI
⎧⎨
⎩
SEM
il rapporto fra la deviazione standard e la radice quadrata della taglia.Al crescere della taglia il parametro
SEM
diminuisce e quindi la media campionaria fornisce una valutazione più precisa.I rapporti statistici sono rapporti fra due grandezze, di cui almeno una di natura statistica, legate da una relazione logica.
Essi vengono prevalentemente calcolati per eliminare l’influenza di circostanze che, altrimenti, non renderebbero confrontabili i dati.
Rapporti Statistici
Fra i rapporti statistici riconosciamo:
•
Rapporti di composizione
•
Rapporti di coesistenza
•
Rapporti di derivazione
•
Rapporti di densità
•
Rapporti indici
Rapporto di composizione
Sono chiamati anche rapporti di parte al tutto. Si ottengono rapportando una intensità (o una frequenza) parziale all’intensità (o frequenza) totale. Il risultato in genere viene moltiplicato per 100 ottenendo i rapporti percentuali.
Rapporto di composizione
In una distribuzione di frequenze servono per confrontare l’incidenza (il contributo) di ciascuna modalità alla numerosità totale. In questa situazione essi non sono altro che le frequenze relative.
Sono chiamati anche rapporti di parte al tutto. Si ottengono rapportando una intensità (o una frequenza) parziale all’intensità (o frequenza) totale. Il risultato in genere viene moltiplicato per 100 ottenendo i rapporti percentuali.
Rapporto di composizione
una parte
totale ×100
👉
1.500.0009.000.000 ×100 = 16,67% Volkswagen( )
Totale 9.000.000 x = una parte
totale ×100
👉 una parte : totale = x :100
Al posto del totale si può utilizzare un’altra quantità che viene detta base.
Rapporto di composizione
Rapporto di coesistenza
Riguardano quelle situazioni in cui si vuole confrontare modalità in qualche modo antitetiche o due quantità concettualmente differenti.
Rapporto di coesistenza
In una distribuzione di frequenze esso consiste in un rapporto (eventualmente moltiplicato per 100) tra la frequenza corrispondente ad una modalità e la frequenza corrispondente ad un’altra modalità.
Riguardano quelle situazioni in cui si vuole confrontare modalità in qualche modo antitetiche o due quantità concettualmente differenti.
Rapporto di coesistenza
x = b
a ×100 👉
Il rapporto di coesistenza è il rapporto, espresso in percentuale, fra due grandezze riferite a due modalità.
a
eb
Rapporto di coesistenza
Esprime a quanto corrisponde il numeratore avendo posto il denominatore uguale a 100.
È quel valore di
x
tale cheb : a = x :100
Esempio: supponiamo di avere un campione casuale 181 persone la cui distribuzione di frequenza sul carattere sesso è la seguente:
Maschi Femmine
124 57
x = b
a ×100 👉
Il rapporto di coesistenza è il rapporto, espresso in percentuale, fra due grandezze riferite a due modalità.
a
eb
Rapporto di coesistenza
Esprime a quanto corrisponde il numeratore avendo posto il denominatore uguale a 100.
È quel valore di
x
tale cheb : a = x :100
Esempio: supponiamo di avere un campione casuale 181 persone la cui distribuzione di frequenza sul carattere sesso è la seguente:
Maschi Femmine
124 57
57
124 ×100 = 45,96
👉
x = b
a ×100 👉
Il rapporto di coesistenza è il rapporto, espresso in percentuale, fra due grandezze riferite a due modalità.
a
eb
Rapporto di coesistenza
Esprime a quanto corrisponde il numeratore avendo posto il denominatore uguale a 100.
Ogni 100 maschi ci sono 45,96 femmine. Rapporto di femminilità
È quel valore di
x
tale cheb : a = x :100
Esempio: supponiamo di avere un campione casuale 181 persone la cui distribuzione di frequenza sul carattere sesso è la seguente:
Maschi Femmine
124 57
57
124 ×100 = 45,96
👉
Ogni 100 maschi ci sono 45,96 femmine. Rapporto di femminilitàx = b
a ×100 👉
È quel valore dix
tale cheb : a = x :100
Esprime a quanto corrisponde il numeratore avendo posto il denominatore uguale a 100.Il rapporto di coesistenza è il rapporto, espresso in percentuale, fra due grandezze riferite a due modalità.
a
eb
124
57 ×100 = 217,54
👉
Ogni 100 femmine ci sono 217,54 maschi. Rapporto di mascolinitàRapporto di coesistenza
Le medie e le deviazioni standard delle quotazioni giornaliere dei titoli azionari Indesit & De Longhi nell’arco del 2006 sono state:
Indesit: media = 9,89; deviazione standard = 1,16
De Longhi: media = 3,03; deviazione standard = 0,57 Quale dei due titoli ha meno variabilità?
Rapporto di coesistenza
Le medie e le deviazioni standard delle quotazioni giornaliere dei titoli azionari Indesit & De Longhi nell’arco del 2006 sono state:
Indesit: media = 9,89; deviazione standard = 1,16
De Longhi: media = 3,03; deviazione standard = 0,57
media Indesit = 3 × media De Longhi
deviazione standard Indesit > deviazione standard De Longhi
Rapporto di coesistenza
Quale dei due titoli ha meno variabilità?
Le medie e le deviazioni standard delle quotazioni giornaliere dei titoli azionari Indesit & De Longhi nell’arco del 2006 sono state:
Indesit: media = 9,89; deviazione standard = 1,16
De Longhi: media = 3,03; deviazione standard = 0,57
Un giusto confronto fra le variabilità dei due titoli può avvenire previa rimodulazione della deviazione standard in rapporto alla media.
In sostanza le quantità da confrontare sono i rapporti di coesistenza che altro non sono che...
Rapporto di coesistenza
Quale dei due titoli ha meno variabilità?
media Indesit = 3 × media De Longhi
deviazione standard Indesit > deviazione standard De Longhi
Le medie e le deviazioni standard delle quotazioni giornaliere dei titoli azionari Indesit & De Longhi nell’arco del 2006 sono state:
Indesit: media = 9,89; deviazione standard = 1,16
De Longhi: media = 3,03; deviazione standard = 0,57
Un giusto confronto fra le variabilità dei due titoli può avvenire previa rimodulazione della deviazione standard in rapporto alla media.
In sostanza la quantità da confrontare è il rapporto di coesistenza che altro non è che...deviazione standard
media
Rapporto di coesistenza
Quale dei due titoli ha meno variabilità?
media Indesit = 3 × media De Longhi
deviazione standard Indesit > deviazione standard De Longhi
Le medie e le deviazioni standard delle quotazioni giornaliere dei titoli azionari Indesit & De Longhi nell’arco del 2006 sono state:
Indesit: media = 9,89; deviazione standard = 1,16
De Longhi: media = 3,03; deviazione standard = 0,57 Quale dei due titoli ha meno variabilità?
coefficiente di variazione De Longhi ×100= 0,57
3,03 = 18,81 coefficiente di variazione Indesit ×100= 1,16
9,89 = 11,73
...il già noto
coefficiente di variazione percentualizzato
Rapporto di coesistenza
Rapporto di derivazione
Rapporto di derivazione
In una distribuzione di frequenze, esso è dato dal rapporto fra la frequenza della modalità di un carattere B e la frequenza della corrispondente modalità di un altro carattere A, essendo A il presupposto logico o temporale di B.
Tale tipo di rapporto interviene quando si vuole effettuare
correttamente un confronto (rapporto) fra la modalità di un
carattere e quella di un altro carattere che, sul piano logico o
temporale, ne costituisce l’antecedente o il presupposto.
B A
Regione b=veicoli incidentati a=veicoli b/a b/a × 1.000
Abruzzo 7.252 1.131.299 0,006 6
Basilicata 1.726 457.376 0,004 4
Calabria 6.570 1.565.296 0,004 4
Campania 21.587 4.350.447 0,005 5
Emilia Romagna 38.497 3.724.937 0,010 10
Friuli-Venezia Giulia 8.207 1.010.877 0,008 8
Lazio 53.240 4.859.950 0,011 11
Liguria 17.048 1.328.553 0,013 13
Lombardia 74.672 7.693.053 0,010 10
Marche 12.373 1.350.814 0,009 9
Molise 933 272.883 0,003 3
Piemonte 25.341 3.710.183 0,007 7
Puglia 24.377 2.862.659 0,009 9
Sardegna 8.628 1.303.464 0,007 7
Sicilia 26.528 4.257.928 0,006 6
Toscana 34.380 3.289.007 0,010 10
Trantino-Alto Adige 5.097 1.050.066 0,005 5
Umbria 5.680 803.525 0,007 7
Valle D’Aosta 642 201.564 0,003 3
Veneto 29.396 3.903.220 0,008 8
Il rapporto di derivazione é il rapporto fra due quantità a b
A e B
rappresenta una manifestazione di una variabile rappresenta una manifestazione di una variabile generata da A .
b e a dove
Rapporto di derivazione
L’esempio del numero di incidenti con le auto per regione si riferisce a rapporti di derivazione.
b
a ×1000
La quinta colonna della tabella ci indica, regione per regione, quanti incidenti si verificano per ogni 1.000 macchine immatricolate nella regione stessa: ci sono 6 incidenti in Abruzzo, 4 in Basilicata e così via.
su 1.000, ma se necessario si può utilizzare un valore più elevato.
Rapporto di derivazione
B A
Regione b=veicoli incidentati a=veicoli b/a b/a × 1.000
Abruzzo 7.252 1.131.299 0,006 6
Basilicata 1.726 457.376 0,004 4
Calabria 6.570 1.565.296 0,004 4
Emilia Romagna 21.587 4.350.447 0,005 5
... ... ... ... ...
In questo caso abbiamo usato la formula per esprimere il rapporto su
Età Decessi Popolazione Femmin
e
Maschi Femmine Maschi
<1 25 21 272.400 258.566
1-14 61 58 3.887.954 3.684.265 15-29 317 129 5.395.451 5.239.304 30-44 1.568 589 6.622.520 6.610.429 45-59 7.073 2.416 5.365.813 5.548.221 60-69 13.825 6.566 3.084.258 3.460.637 70-79 32.498 26.089 2.142.455 2.947.833 80-89 36.153 55.900 713.313 1.363.955 90 & oltre 13.852 38.149 102.818 295.552
Totale 105.372 129.917 27.586.982 29.408.762
Rapporto di derivazione
La tabella riporta i morti per malattie dell’apparato cardio-circolatorio per popolazione, per genere e classi di età (ISTAT 2001).
Età Decessi Popolazione Femmin
e
Maschi Femmine Maschi
<1 25 21 272.400 258.566
1-14 61 58 3.887.954 3.684.265 15-29 317 129 5.395.451 5.239.304 30-44 1.568 589 6.622.520 6.610.429 45-59 7.073 2.416 5.365.813 5.548.221 60-69 13.825 6.566 3.084.258 3.460.637 70-79 32.498 26.089 2.142.455 2.947.833 80-89 36.153 55.900 713.313 1.363.955 90 & oltre 13.852 38.149 102.818 295.552
Totale 105.372 129.917 27.586.982 29.408.762
Rapporto di derivazione
La mortalità delle donne per queste cause è inferiore o superiore a quella degli uomini?
La tabella riporta i morti per malattie dell’apparato cardio-circolatorio per popolazione, per genere e classi di età (ISTAT 2001).
Età Decessi Popolazione Femmin
e
Maschi Femmine Maschi
<1 25 21 272.400 258.566
1-14 61 58 3.887.954 3.684.265 15-29 317 129 5.395.451 5.239.304 30-44 1.568 589 6.622.520 6.610.429 45-59 7.073 2.416 5.365.813 5.548.221 60-69 13.825 6.566 3.084.258 3.460.637 70-79 32.498 26.089 2.142.455 2.947.833 80-89 36.153 55.900 713.313 1.363.955 90 & oltre 13.852 38.149 102.818 295.552
Totale 105.372 129.917 27.586.982 29.408.762
La tabella riporta i morti per malattie dell’apparato cardio-circolatorio per popolazione, per genere e classi di età (ISTAT 2001).
👇
105.372
27.586.982 ×100.000 = 382,0 129.917
29.408.762 ×100.000 = 441,8
Si tratta di rapporti di derivazione, visto che il numero di decessi dipende anche dalla numerosità della popolazione dei singoli generi. Il numero di decessi preso da solo non è un dato di per sé confrontabile.
Rapporto di derivazione
La mortalità delle donne per queste cause è inferiore o superiore a quella degli uomini?
Rapporto di densità
In generale il rapporto di densità si definisce come il rapporto
dove a numeratore appare la grandezza oggetto di osservazione
ed a denominatore la dimensione del campo in cui essa è stata
osservata (può essere un intervallo temporale, un'area
geografica...)
Rapporto di densità
I rapporti di densità sono utilizzati quando si vogliono confrontare
grandezze la cui eterogeneità è dovuta al fatto che sono osservate in
riferimento a campi di dimensioni diverse.
Rapporto di densità
I rapporti di densità sono utilizzati quando si vogliono confrontare grandezze la cui eterogeneità è dovuta al fatto che sono osservate in riferimento a campi di dimensioni diverse.
Un esempio si ha quando si vogliono confrontare le frequenze relative
osservate in due distribuzioni per classi in cui l'ampiezza delle classi
della prima è differente rispetto a quella della seconda.
Rapporto di densità
I rapporti di densità sono utilizzati quando si vogliono confrontare grandezze la cui eterogeneità è dovuta al fatto che sono osservate in riferimento a campi di dimensioni diverse.
Un esempio si ha quando si vogliono confrontare le frequenze relative osservate in due distribuzioni per classi in cui l'ampiezza delle classi della prima è differente rispetto a quella della seconda.
Come già osservato, un corretto confronto è possibile ricorrendo alla
distribuzione delle densità di frequenze relative che si ottengono
dividendo le frequenze relative delle classi per l'ampiezza della classe.
Rapporto di densità
Regione Popolazione
residenti
Superficie Km2
Densità abitanti/Km2
Sicilia 5.094.937 25.832,39 197
Piemonte 4.436.798 25.387,07 175
Sardegna 1.663.859 24.100,02 69
Lombardia 9.973.397 23.863,65 418
Toscana 3.750.511 22.987,04 163
Emilia Romagna 4.446.354 22.452,78 198
Puglia 4.090.266 19.540,90 209
Veneto 4.926.818 18.407,42 268
Lazio 5.870.451 17.232,29 341
Calabria 1.980.533 15.221,90 130
Campania 5.869.965 13.670,95 429
Trentino-Alto Adige 1.051.951 13.605,50 77
Abruzzo 1.333.939 10.831,84 123
Basilicata 578.391 10.073,32 57
Marche 1.553.138 9.401,38 165
Umbria 896.742 8.464,33 106
Friuli-Venezia Giulia 1.229.363 862,30 1426
Liguria 1.591.939 5.416,21 294
Molise 314.725 4.460,65 71
Val D’Aosta 128.591 3.260,90 39
Indici semplici
Indici semplici
Quando le quantità coinvolte nei rapporti sono associate ad un tempo (un momento storico), il rapporto prende il nome di indice.
L'indice valuta la modifica occorsa, nel tempo, della misurazione
espressa al numeratore rispetto a quella espressa al denominatore la
quale viene presa come base di riferimento.
Indici semplici
IN SOSTANZA
Quando le quantità coinvolte nei rapporti sono associate ad un tempo (un momento storico), il rapporto prende il nome di indice.
L'indice valuta la modifica occorsa, nel tempo, della misurazione
espressa al numeratore rispetto a quella espressa al denominatore la
quale viene presa come base di riferimento.
Indici semplici
pongono a confronto le intensità o le frequenze di uno stesso fenomeno in tempi diversi.
IN SOSTANZA
Quando le quantità coinvolte nei rapporti sono associate ad un tempo (un momento storico), il rapporto prende il nome di indice.
L'indice valuta la modifica occorsa, nel tempo, della misurazione
espressa al numeratore rispetto a quella espressa al denominatore la
quale viene presa come base di riferimento.
Indici semplici
Esempio
Nel Gennaio 1987 la paga oraria media di un operaio è stata di €4,30.
Nel Gennaio 2003 la paga oraria media di un operaio è stata di €6,70.
paga oraria gennaio 2003
paga oraria gennaio 1987 ×100 = 6, 7
4, 3 ×100 = 155,81
Il rapporto 155,81 rappresenta l’indice di paga oraria di un operaio
nel Gennaio 2003, riferito al periodo Gennaio 1987.
Indici semplici
paga oraria gennaio 2003
paga oraria gennaio 1987 ×100 = 6, 7
4, 3 ×100 = 155,81
Il rapporto 155,81 rappresenta l’indice di paga oraria di un operaio nel Gennaio 2003, riferito al periodo Gennaio 1987.
👇
Esempio
Nel Gennaio 1987 la paga oraria media di un operaio è stata di €4,30.
Nel Gennaio 2003 la paga oraria media di un operaio è stata di €6,70.
La paga oraria nel 2003 è 1,5 volte la paga del 1987.
Indici semplici
paga oraria gennaio 2003
paga oraria gennaio 1987 ×100 = 6, 7
4, 3 ×100 = 155,81
Il rapporto 155,81 rappresenta l’indice di paga oraria di un operaio nel Gennaio 2003, riferito al periodo Gennaio 1987.
La paga oraria nel 2003 è 1,5 volte la paga del 1987.
Ma di quanto è variata?
Esempio
Nel Gennaio 1987 la paga oraria media di un operaio è stata di €4,30.
Nel Gennaio 2003 la paga oraria media di un operaio è stata di €6,70.
👇
paga oraria gennaio 2003
paga oraria gennaio 1987 ×100 −100 = 6, 7
4, 3 ×100 −100 = 55,81
👇
paga oraria gennaio 2003-paga oraria gennaio 1987
paga oraria gennaio 1987 ×100 = 55,81
Indici semplici
Variazione percentuale
paga oraria gennaio 2003
paga oraria gennaio 1987 ×100 −100 = 6, 7
4, 3 ×100 −100 = 55,81
👇
paga oraria gennaio 2003-paga oraria gennaio 1987
paga oraria gennaio 1987 ×100 = 55,81
C’è stato un aumento del 55,81% nella paga oraria di un operaio nel periodo da gennaio 1987 a gennaio 2003.
Indici semplici
Variazione percentuale
In generale per valutare le variazioni percentuali che si registrano nel tempo è necessario sottrarre ai numeri che costituiscono gli indici il valore 100, ossia
Indici semplici
Variazione percentuale
In generale per valutare le variazioni percentuali che si registrano nel tempo è necessario sottrarre ai numeri che costituiscono gli indici il valore 100, ossia
a
ha
b×100 −100 = a
ha
b−1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ×100 = a
h− a
ba
b⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ×100
Indici semplici
Variazione percentuale
In generale per valutare le variazioni percentuali che si registrano nel tempo è necessario sottrarre ai numeri che costituiscono gli indici il valore 100, ossia
a
ha
b×100 −100 = a
ha
b−1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ×100 = a
h− a
ba
b⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ×100
Se
a
h rappresenta la misura della grandezza al tempoh
eda
b rappresenta la misura della stessa grandezza al tempo inizialeb
alloraah − ab
ab ×100
rappresenta la variazione percentuale della grandezza dal tempo
b
altempo
h
.Indici semplici
Variazione percentuale
si dicono numeri indice a base fissa i seguenti rapporti:
I i, i −1 = a i
a i −1 ×100, i = 2,…,k
Indici semplici a base fissa
a b
a
ba 1 . ,a 2 , …,a k
a
. . b .Assegnate le grandezze
a 1 ,a 2 , …,a k
Esempio
Anni Acciaio Grandezza Indici
1976 23.447 100
1977 23.334 99,5
1978 24.383 103,6
1979 24.250 103,4
1980 26.501 113
1981 24.777
a a a a a a
165243 105,7Gli indici riportati in ultima c o l o n n a r a p p re s e n t a n o i rapporti percentualizzati fra la p r o d u z i o n e d e l l ' a n n o considerato e quella del 1976 (base fissa).
Indici semplici a base fissa
La seguente tabella riporta la produzione di acciaio di prima fabbricazione in Italia dal 1976 al 1981.
I
1978,1976I
1977,1976−1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ×100 = 103,6
99,5 −1
⎛ ⎝⎜ ⎞
⎠⎟ ×100 = 4,12 ≈ 103,6 − 99,5
Utilizziamo la notazione I
1978,1976I
1977,1976−1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ×100 = 103,6
99,5 −1
⎛ ⎝⎜ ⎞
⎠⎟ ×100 = 4,12 ≈ 103,6 − 99,5
anno,1976
.
per indicare l'indice di un anno
in rapporto alla base fissa data dalla produzione del 1976. Per
esempio =103,6 rappresenta l'indice del 1978 in rapporto
al 1976.
Anni Acciaio Grandezza Indici Variazioni
1976 23.447 100 ———
1977 23.334 99,5 -0,5
1978 24.383 103,6 +3,6
1979 24.250 103,4 +3,4
1980 26.501 113 +13
1981 24.777
a a a a a a
165432 105,7 +5,7Esempio
Indici semplici a base fissa
Se si vuole conoscere le variazioni dell’indice sempre in rapporto alla base fissa considerata, a ciascun indice bisogna sottrarre 100.
Nell'ultima colonna sono
ripor tate le variazioni di
produzione in rapporto alla
produzione del 1976 (base
fissa).
Anni Acciaio Grandezza Indici Variazioni
1976 23.447 100 ———
1977 23.334 99,5 -0,5
1978 24.383 103,6 +3,6
1979 24.250 103,4 +3,4
1980 26.501 113 +13
1981 24.777
a a a a a a
165432 105,7 +5,7Esempio
Se si vuole conoscere la variazione dell’indice fra il 1978 e il 1977 basterà utilizzare la formula
I1978,1976I1977,1976 −1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ×100 = 103,6 99,5 −1
⎛⎝⎜ ⎞
⎠⎟ ×100 = 4,12 ≈ 103,6 − 99,5
La formula precedente è giustificata dalla formula di cambio di base fissa. Per esempio, per passare dall'indice in base "anno 1976" all'indice in base "anno 1977": .
I1978,1976I1977,1976 −1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ×100 = 103,6
99,5 −1
⎛⎝⎜ ⎞
⎠⎟ ×100 = 4,12 ≈ 103,6 − 99,5 I1978,1976
I1977,1976 −1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ×100 = 103,6
99,5 −1
⎛⎝⎜ ⎞
⎠⎟ ×100 = 4,12 ≈ 103,6 − 99,5 I1978,1976
I1977,1976 −1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ×100 = 103,6
99,5 −1
⎛⎝⎜ ⎞
⎠⎟ ×100 = 4,12 ≈ 103,6 − 99,5
.
=
Indici semplici a base fissa
Il periodo di riferimento può non essere un singolo anno.
Anno Prezzo Indice (1990) Indice (1990-91) Indice (1990-91-92)
1985 18,00 € 1990 20,00 €
1991 22,00 € 110,0 1992 23,00 € 115,0 2004 38,00 € 190,0
18
20 ×100 = 90,0 20
20 ×100 = 100,0
Esempio
Il prezzo di una spillatrice da ufficio è
Indici semplici a base fissa
Anno Prezzo Indice (1990) Indice (1990-91) Indice (1990-91-92)
1985 18,00 € 1990 20,00 €
1991 22,00 € 110,0 104,8
1992 23,00 € 115,0 109,5
2004 38,00 € 190,0 181,0
18
20 ×100 = 90,0 18
21×100 = 85,7 20
20 ×100 = 100,0 20
21 ×100 = 95,2
20 + 22
2 = 21 Prezzo medio 1990-91
Esempio
Il prezzo di una spillatrice da ufficio è
Indici semplici a base fissa
Il periodo di riferimento può non essere un singolo anno.
Anno Prezzo Indice (1990) Indice (1990-91) Indice (1990-91-92)
1985 18,00 € 1990 20,00 €
1991 22,00 € 110,0 104,8 101,5
1992 23,00 € 115,0 109,5 106,1
2004 38,00 € 190,0 181,0 175,5
18
20 ×100 = 90,0 18
21×100 = 85,7 18
21,67 ×100 = 90,0 20
20 ×100 = 100,0 20
21 ×100 = 95,2 20
21,67 ×100 = 92,3
20 + 22 + 23
3 = 21,67 Prezzo medio 1990-91-92
Esempio
Il prezzo di una spillatrice da ufficio è
Indici semplici a base fissa
Il periodo di riferimento può non essere un singolo anno.
Gli sconti e le variazioni
Calcolo del prezzo scontato
a
2 di un articolo a partire dal prezzo inizialea
1sconto
s
. e dalloGli sconti e le variazioni
Se ad esempio l’articolo costa 90 euro e c’è uno sconto del 30%, per determinare il prezzo scontato si calcola
90 − 90 × 0,30 = 63 ( )
1Calcolo del prezzo scontato
a
2 di un articolo a partire dal prezzo inizialea
1sconto
s
. e dalloGli sconti e le variazioni
Se ad esempio l’articolo costa 90 euro e c’è uno sconto del 30%, per determinare il prezzo scontato si calcola
90 − 90 × 0,30 = 63 ( )
1In questo caso 30 rappresenta la variazione percentuale. In generale, a quale operazione corrisponde la 1
( )
?a
1− a
1× s = a
2Calcolo del prezzo scontato
a
2 di un articolo a partire dal prezzo inizialea
1sconto
s
. e dalloGli sconti e le variazioni
Se ad esempio l’articolo costa 90 euro e c’è uno sconto del 30%, per determinare il prezzo scontato si calcola
90 − 90 × 0,30 = 63 ( )
1In questo caso 30 rappresenta la variazione percentuale. In generale, a quale operazione corrisponde la 1
( )
?a
1− a
1× s = a
2👉 a
1a − a
1 2×100 = p
sconto percentuale.
p
Calcolo del prezzo scontato
a
2 di un articolo a partire dal prezzo inizialea
1sconto
s
. e dalloIndici semplici a base mobile
si dicono numeri indice a base mobile i seguenti rapporti:
I i, i −1 = a i
a i −1 ×100, i = 2,…,k
Assegnate le grandezze
a 1 ,a 2 , …,a k
Indici semplici a base mobile
Esempio
La seguente tabella riporta la produzione di acciaio di prima fabbricazione in Italia dal 1976 al 1981
a
1a
2a
3a
4a
5a
6a
2/ a
1a
3/ a
2a
4/ a
3a
5/ a
4a
6/ a
5x 100 x 100 x 100 x 100 x 100
Anni Acciaio Grandezze Indici Indici
1976 23.447 —— ——
1977 23.334 99,5
1978 24.283 104,1
1979 24.250 99,9
1980 26.501 109,3
1981 24.777 93,5
Indici semplici a base mobile
Questi numeri forniscono la variazione della produzione avutasi rispetto all’anno precedente. Per esempio la variazione percentuale di produzione dal 1979 al 1980 è...
Esempio
La seguente tabella riporta la produzione di acciaio di prima fabbricazione in Italia dal 1976 al 1981
(109,3 - 100)% = 9,3%.
a
1a
2a
3a
4a
5a
6a
2/ a
1a
3/ a
2a
4/ a
3a
5/ a
4a
6/ a
5x 100 x 100 x 100 x 100 x 100
Anni Acciaio Grandezze Indici Indici
1976 23.447 —— ——
1977 23.334 99,5
1978 24.283 104,1
1979 24.250 99,9
1980 26.501 109,3
1981 24.777 93,5
Indici semplici a base mobile
Quale è la variazione percentuale media nell'intervallo temporale 1976 - 1981?
Esempio
La seguente tabella riporta la produzione di acciaio di prima fabbricazione in Italia dal 1976 al 1981
a
1a
2a
3a
4a
5a
6a
2/ a
1a
3/ a
2a
4/ a
3a
5/ a
4a
6/ a
5x 100 x 100 x 100 x 100 x 100
Anni Acciaio Grandezze Indici Indici
1976 23.447 —— ——
1977 23.334 99,5
1978 24.283 104,1
1979 24.250 99,9
1980 26.501 109,3
1981 24.777 93,5
Indici semplici a base mobile
a
1a
2a
3a
4a
5a
6a
2/ a
1a
3/ a
2a
4/ a
3a
5/ a
4a
6/ a
5Quale è la variazione percentuale media nell'intervallo temporale 1976 - 1981?
La variazione percentuale media è la media geometrica di indici a base mobile meno 100
99,5 ×104,1× 99,9 ×109,3× 93,5
5
−100
Esempio
La seguente tabella riporta la produzione di acciaio di prima fabbricazione in Italia dal 1976 al 1981
x 100 x 100 x 100 x 100 x 100
Anni Acciaio Grandezze Indici Indici
1976 23.447 —— ——
1977 23.334 99,5
1978 24.283 104,1
1979 24.250 99,9
1980 26.501 109,3
1981 24.777 93,5