Antonio Azzollini antonio.azzollini@unibas.it Statistica

(1)

Statistica

Antonio Azzollini

antonio.azzollini@unibas.it

Anno accademico 2018/2019

Dipartimento di Matematica, Informatica ed Economia (DiMIE) Dipartimento di Matematica, Informatica ed Economia (DiMIE)

(2)

Quartili e distribuzioni di frequenze

Stanze Appartamenti Frequenze cumulate

1 300 300

2 500 800

3 2.000 2.800

4 3.000 5.800

5 150 5.950

6 100 6.050

7 300 6.350

Per calcolare : A. Rango: 

B. Pertanto si colloca fra  e 

C.

Q1

x

₍₁₅₈₇₎

x

₍₁₅₈₈₎

x

₍₁₅₈₇₎

= x

₍₁₅₈₈₎

= 3 = Q1

C.

Q3

x

₍₄₇₆₃₎

x

₍₄₇₆₄₎

x

₍₄₇₆₃₎

= x

₍₄₇₆₄₎

= 4 = Q3

Stanze

1 2 3 4 5 6 7

6350 +1

( )

× 0,25 = 1587,75

6350 +1

( )

× 0,75 = 4763,25

(3)

Modalità Frequenza Frequenza  cumulata

1 1 1

2 2 3

3 3 6

4 4 10

5 5 15

6 6 21

7 7 28

C.

Q1

x

_{( )}₇

x

_{( )}₈

Q1

x

_{( )}₇

= x

_{( )}₈

= 4 = Q1

28 +1

( )

× 0,25 = 7,25

C.

Q3

x

_{( )}₂₁

^x

_{( )}₂₂

x_{( )}₂₁ = 6, x_{( )}₂₂ = 7

Q3 = 6 + 7 − 6

( )

× 0,5 = 6,5 28 +1

( )

× 0,75 = 21,75

M = 5

x_{( )}₂₁ = 6, x_{( )}₂₂ = 7

Q3 = 6 + 7 − 6

( )

× 0,5 = 6,5⁷⁵

Quartili e distribuzioni di frequenze

28 +1 .

( )

× 0,75 = 21,75

(4)

Modalità Frequenza Frequenza  cumulata

1 7 7

2 6 13

3 5 18

4 4 22

5 3 25

6 2 27

7 1 28

C.

Q1

x

_{( )}₇

= 1 x

_{( )}₈

= 2

28 +1

( )

× 0,25 = 7,25

C.

Q3

x

_{( )}₂₁

x

_{( )}₂₂

x

_{( )}₂₁

= x

_{( )}₂₂

= 4 = Q3

28 +1

( )

× 0,75 = 21,75

Q1 = 1+ 2 −1 ( ) × 0,5 = 1,5

M = 3

28 +1

( )

× 0,25 = 7,25^=1,25

Quartili e distribuzioni di frequenze

(5)

4

1

Da 1 a 7 Da 7 a 1

7 6 5

3 2

Box-plot & simmetria

Asimmetria: ^A = max− M

( )

^{− M − min}

( )

Per il box-plot rosso A = 7 − 5

( )

^{− 5 −1}

( )

^{= −2}

asimmetria negativa

Per il box-plot blu A = 7 − 3

( )

^{− 3−1}

( )

^{= 2}

asimmetria positiva

(6)

Percentili

Dopo una visita di controllo ad un bambino, il medico farà uso di un grafico come questo:

Quindi,dopo aver constatato che il soggetto in questione è al 95-esimo percentile, si preoccuperà un po’.

Cosa significa percentile?

Il percentile

x

è quel valore (non necessariamente

appartenente al campione) che lascia a sinistra l’

x%

dei dati.

E allora dire che un bambino ha un peso al 95-esimo percentile vuol dire che il 95%

della popolazione maschile di quell’età ha un peso inferiore.

(7)

Riprendiamo l’esempio della scuola…

10,3; 12,9; 12,9; 13,5; 13,7; 14,0; 14,2; 15,0; 15,4; 15,7;

16,6; 17,1; 17,4; 17,8; 18,3; 18,3; 18,6; 18,9; 19,7; 20,3;

20,7; 20,8; 21,4; 23,0; 23,2; 23,7; 26,1; 27,1; 29,8; 33,8.

p = 90 :

(

30 +1

)

× 0,90 = 27,9

Il 90-esimo percentile si colloca fra gli elementi di posizione 27 & 28, ossia fra 26,1 & 27,1:

26,1+ 27,1− 26,1

( )

^{× 0,9 = 27}

Conclusione: il 90% degli intervistati dedica allo studio non più di 27 ore.

E se volessimo l’informazione inversa…

Percentili

(8)

Qual’è la percentuale di studenti che non studia più di 27 ore?

0 0,25 0,5 0,75 1

13 15 17 18 20 23 27

Percentili

0,9

27

Numero studenti che studiano non più di 27 ore = 27.

Taglia = 30

p = numero di ore ≤ 27

taglia = 27

30 = 0,90 p = numero di ore ≤ 27

taglia = 27

30 = 0,90

Calcolo la percentuale:

(9)

Percentili

In sintesi:

27 è il 90° percentile del campione

casuale perchè la percentuale di

studenti del campione che studia 27

ore o meno è il 90%.

(10)

Mediana per classi di modalità

[10;14) [14;18) )

[18;22) [22;26) [26;30) [30;34]

5 9 9 3 3 1

Se non si conoscono i valori del campione ma solamente un riassunto in forma tabellare delle classi di frequenza...

Estremi  classi

Frequenze  cumulate

10 0

14 5

18 14=5+9 22 23=14+9

26 26

30 29

34 30

}

In 18 la frequenza cumulata è

mentre in 22 la frequenza cumulata è 23 > 30

2 = 15 Pertanto la classe [18;22) contiene la mediana.

, ₀

5 10 15 20 25 30

10 20 30 40

23

14

18 ? 22 14 < 30

2 = 15,

(11)

Estremi  classi

Frequenze  relative cumulate

10 0

14 0,17

18 0,47

22 0,77

26 0,87

30 0,97

34 1

}

Fra gli estremi 18 e 22 si passa da un valore

inferiore a 0,50 ad uno superiore a 0,50.

Risolvere:

0,1 0,2 0,4 0,5 0,7 0,8 1,0

10 20 30 40

Mediana

y = 0,50

[10;14) [14;18) )

[18;22) [22;26) [26;30) [30;34]

5 9 9 3 3 1

Mediana per classi di modalità

Siccome non so come aumenta la frequenza all'interno della classe [18,22), assumo che l'incremento sia lineare (cioè quello della retta congiungente i punti P e Q)

P

Q

(12)

Estremi  classi

10 0

14 0,17

18 0,47

22 0,77

26 0,87

30 0,97

34 1

}

Traccio una linea orizzontale in

corrispondenza della frequenza 0,50 ed individuo l'intersezione.

Risolviamo:

Mediana

y = 0,50

y

− 0,47

0, 77 − 0,47 =

x

−18 22 −18

y

= 0,50

⎧

⎨ ⎪

⎩⎪

x = 18 + 0,50 − 0,47

0, 77 − 0,47 × 22 −18

( )

^{= 18,4}

[10;14) [14;18) )

[18;22) [22;26) [26;30) [30;34]

5 9 9 3 3 1

-0,1 0,1 0,2 0,4 0,5 0,7 0,8 1,0

0 10 20 30 40

Mediana per classi di modalità

Q

P

La mediana varrà

x = 18 + 0,50 − 0,47

0, 77 − 0,47 × 22 −18 ( ) ^{= 18,4}

(13)

Quartili per classi di modalità

Estremi  classi

10 0

14 0,17

18 0,47

… …

}

Per calcolare i quartili Q1 _e Q3 è possibile considerare di nuovo la tabella delle frequenze cumulate relative.

Per Q1: la frequenza cumulata relativa passa da un valore inferiore a 0,25 (ossia 0,17 in 14) ad un valore superiore a 0,25 (ossia 0,47 in 18).

A. la classe di riferimento per 

B.

Q1 è [14;18)

Q1 = 14 + 0,25 − 0,17

0, 47 − 0,17 × 18 −14

( )

⁼ ^15,08^.

(14)

Estremi  classi

… …

18 0,47

22 0,77

26 0,87

30 0,97

34 1

}

Quartili per classi di modalità

Per calcolare i quartili Q1 _e Q3 è possibile considerare di nuovo la tabella delle frequenze cumulate relative.

PerQ3: la frequenza cumulata relativa passa da un valore inferiore a 0,87 (ossia 0,47 in 18) ad un valore superiore a 0,75 (ossia 0,77 in 22).

A. la classe di riferimento per 

B.

Q3 è [18;22)

Q3 = 18 + 0, 75 − 0,47

0, 77 − 0,47 × 22 −18

( )

⁼ ^{21, 72}^.

(15)

10 30 25 20 15

Box-plot di distribuzioni in classi

Per costruire il box-plot della distribuzione in classi riportiamo come al solito i quartili per costruire la scatola ed all'interno disegnamo la linea della mediana. 

I baffi li disegniamo in relazione al minimo della prima classe ed al massimo dell'ultima classe.

Box-plot dataset esatto Box-plot dataset per classi di modalità

(16)

Indici di dispersione

1. Campo di variazione:

2. Intervallo interquartile:

CVar = max− min IQR = Q3− Q1

Si dicono indici di dispersione (o indici di variabilità) quei parametri che misurano la variabilità del campione casuale. 

Fra di essi riconosciamo:

(17)

Indici di dispersione

CVar = max− min IQR = Q3− Q1

Chiamiamo varianza (campionaria) il valore calcolato attraverso la formula

s

²

s

²

= 1

n −1 ^⎡ _⎣ ( x

₁

− m )

²

^{+ x} (

²

^{− m} )

²

^{+!+ x} (

ⁿ

^{− m} )

²

^⎤ _{⎦ =} _n ¹ ₋₁ ( ^x

ⁱ

^{− m} )

²

i=1

∑

n

s

²

= 1

X

n −1 ^⎡ _⎣ ( x

₁

− m )

²

^{+ x} (

²

^{− m} )

²

^{+!+ x} (

ⁿ

^{− m} )

²

^⎤ _{⎦ =} ¹

n −1 ( x

_i

− m )

²

i=1

∑

n

s

²

= 1

n −1 ^⎡ _⎣ ( x

₁

− m )

²

^{+ x} (

²

^{− m} )

²

^{+!+ x} (

ⁿ

^{− m} )

²

^⎤ _{⎦ =} ¹

n −1 ( x

_i

− m )

²

i=1

∑

n

s

²

= 1

n −1 ^⎡ _⎣ ( x

₁

− m )

²

^{+ x} (

²

^{− m} )

²

^{+!+ x} (

ⁿ

^{− m} )

²

^⎤ _{⎦ =} ¹

n −1 ( x

_i

− m )

²

i=1

∑

n

X X X

s

²

= 1

n −1 ^⎡ _⎣ ( x

₁

− m )

²

^{+ x} (

²

^{− m} )

²

^{+!+ x} (

ⁿ

^{− m} )

²

^⎤ _{⎦ =} ¹

n −1 ( x

_i

− m )

²

i=1

∑

n

dove X

Un ulteriore indice di dispersione che introduciamo è è la media aritmetica del campione casuale.

(18)

Indici di dispersione

CVar = max− min IQR = Q3− Q1

s = varianza (campionaria)

Chiamiamo varianza (campionaria) il valore calcolato attraverso la formula

s

²

s

²

= 1

n −1 ^⎡ _⎣ ( x

₁

− m )

²

^{+ x} (

²

^{− m} )

²

^{+!+ x} (

ⁿ

^{− m} )

²

^⎤ _{⎦ =} _n ¹ ₋₁ ( ^x

ⁱ

^{− m} )

²

i=1

∑

n

s

²

= 1

X

n −1 ^⎡ _⎣ ( x

₁

− m )

²

^{+ x} (

²

^{− m} )

²

^{+!+ x} (

ⁿ

^{− m} )

²

^⎤ _{⎦ =} ¹

n −1 ( x

_i

− m )

²

i=1

∑

n

s

²

= 1

n −1 ^⎡ _⎣ ( x

₁

− m )

²

^{+ x} (

²

^{− m} )

²

^{+!+ x} (

ⁿ

^{− m} )

²

^⎤ _{⎦ =} ¹

n −1 ( x

_i

− m )

²

i=1

∑

n

s

²

= 1

n −1 ^⎡ _⎣ ( x

₁

− m )

²

^{+ x} (

²

^{− m} )

²

^{+!+ x} (

ⁿ

^{− m} )

²

^⎤ _{⎦ =} ¹

n −1 ( x

_i

− m )

²

i=1

∑

n

X X X

s

²

= 1

n −1 ^⎡ _⎣ ( x

₁

− m )

²

^{+ x} (

²

^{− m} )

²

^{+!+ x} (

ⁿ

^{− m} )

²

^⎤ _{⎦ =} ¹

n −1 ( x

_i

− m )

²

i=1

∑

n

X

3. Deviazione standard (campionaria):

dove è la media aritmetica del campione casuale.

Un ulteriore indice di dispersione che introduciamo è

s

s²

(19)

Indici di dispersione

Esempio

10,3; 12,9; 12,9; 13,5; 13,7; 14,0; 14,2; 15,0; 15,4; 15,7;

16,6; 17,1; 17,4; 17,8; 18,3; 18,3; 18,6; 18,9; 19,7; 20,3;

20,7; 20,8; 21,4; 23,0; 23,2; 23,7; 26,1; 27,1; 29,8; 33,8.

La media campionaria è =19,01

10,3 12,9 13,5 13,7 19,01 19,7 20,3 20,7 20,8 21,4

s²

= 1

29 _⎡⎣ ( 10, 3 −19,01 )

²

+ 2 12,9 −19,01 ( )

²

⁺

13,5 −19,01

( )

²

+!+ 33,8 −19,01 ( )

²

_{⎤⎦ = 28,7}

La varianza vale

X

(20)

Indici di dispersione

Esempio

10,3; 12,9; 12,9; 13,5; 13,7; 14,0; 14,2; 15,0; 15,4; 15,7;

16,6; 17,1; 17,4; 17,8; 18,3; 18,3; 18,6; 18,9; 19,7; 20,3;

20,7; 20,8; 21,4; 23,0; 23,2; 23,7; 26,1; 27,1; 29,8; 33,8.

10,3 12,9 13,5 13,7 19,01 19,7 20,3 20,7 20,8 21,4

s²

= 1

29 _⎡⎣ ( 10, 3 −19,01 )

²

+ 2 12,9 −19,01 ( )

²

⁺

13,5 −19,01

( )

²

+!+ 33,8 −19,01 ( )

²

_{⎤⎦ = 28,7}

La deviazione standard è la radice quadrata della varianza

s = 28,7 = 5,36

La varianza vale

X

.

(21)

Indici di dispersione

Esempio

10,3; 12,9; 12,9; 13,5; 13,7; 14,0; 14,2; 15,0; 15,4; 15,7;

16,6; 17,1; 17,4; 17,8; 18,3; 18,3; 18,6; 18,9; 19,7; 20,3;

20,7; 20,8; 21,4; 23,0; 23,2; 23,7; 26,1; 27,1; 29,8; 33,8.

10,3 12,9 13,5 13,7 19,01 19,7 20,3 20,7 20,8 21,4

s²

= 1

29 _⎡⎣ ( 10, 3 −19,01 )

²

+ 2 12,9 −19,01 ( )

²

⁺

13,5 −19,01

( )

²

+!+ 33,8 −19,01 ( )

²

_{⎤⎦ = 28,7}

La deviazione standard è la radice quadrata della varianza

s = 28,7 = 5,36

La deviazione standard fornisce una misura della

“concentrazione” dei dati intorno alla media.

La varianza vale

X

.

(22)

Indici di dispersione

La deviazione standard non è una statistica robusta

1,2, 3 , 4,5

{ } { ^1,2, ³ ^{, 4,15} } { ^1,2, ³ ^{, 4,100} }

👇 👇 👇

CVar = 4 IQR = 2 s = 1,58

CVar = 14 IQR = 2 s = 5,07

CVar = 99 IQR = 2 s = 43,62

.

CVar = 99 IQR = 2

s = 43,62

^. ^.

CVar = 4 IQR = 2 s = 1,58

CVar = 14 IQR = 2 s = 5,07

CVar = 4

IQR = 2

s = 1,58

_.

(23)

Indici di dispersione

1,2, 3 , 4,5

{ } { ^1,2, ³ ^{, 4,15} } { ^1,2, ³ ^{, 4,100} }

👇 👇 👇

CVar = 4 IQR = 2 s = 1,58

CVar = 14 IQR = 2 s = 5,07

CVar = 99 IQR = 2 s = 43,62

• Per variabili quantitative: ordinate in scale sia intervallari che proporzionali.

• Per il suo calcolo vengono utilizzati tutti i dati.

• Un insieme di dati ha una sola deviazione standard.

• Vale zero quando tutti i dati assumono lo stasso valore (variabile statistica degenere). [Esempio:

• È invariante per traslazione. Ossia, se ad ogni dato viene aggiunta una quantità costante allora la deviazione standard non cambia.

.

CVar = 99 IQR = 2

s = 43,62

^. ^.

CVar = 4 IQR = 2 s = 1,58

CVar = 14 IQR = 2 s = 5,07

CVar = 4

IQR = 2

s = 1,58

_.

(24)

Indici di dispersione

1,2, 3 , 4,5

{ } { ^1,2, ³ ^{, 4,15} } { ^1,2, ³ ^{, 4,100} }

👇 👇 👇

CVar = 4 IQR = 2 s = 1,58

CVar = 14 IQR = 2 s = 5,07

CVar = 99 IQR = 2 s = 43,62

.

CVar = 99 IQR = 2

s = 43,62

^. ^.

CVar = 4 IQR = 2 s = 1,58

CVar = 14 IQR = 2 s = 5,07

CVar = 4

IQR = 2

s = 1,58

_.

(25)

Indici di dispersione

1,2, 3 , 4,5

{ } { ^1,2, ³ ^{, 4,15} } { ^1,2, ³ ^{, 4,100} }

👇 👇 👇

CVar = 4 IQR = 2 s = 1,58

CVar = 14 IQR = 2 s = 5,07

CVar = 99 IQR = 2 s = 43,62

.

CVar = 99 IQR = 2

s = 43,62

^. ^.

CVar = 4 IQR = 2 s = 1,58

CVar = 14 IQR = 2 s = 5,07

CVar = 4

IQR = 2

s = 1,58

_.

(26)

2,2,2

{ }

^, ^µ^X^. ^{= 2, s = 0}^].

Indici di dispersione

1,2, 3 , 4,5

{ } { ^1,2, ³ ^{, 4,15} } { ^1,2, ³ ^{, 4,100} }

👇 👇 👇

CVar = 4 IQR = 2 s = 1,58

CVar = 14 IQR = 2 s = 5,07

CVar = 99 IQR = 2 s = 43,62

.

CVar = 99 IQR = 2

s = 43,62

^. ^.

CVar = 4 IQR = 2 s = 1,58

CVar = 14 IQR = 2 s = 5,07

CVar = 4

IQR = 2

s = 1,58

_.

(27)

2, 3, 4 ,5,101

{ }

CVar 👇 = 99 IQR = 2 s = 43,62

2,2,2

{ }

^, ^µ^X^. ^{= 2, s = 0}^].

Indici di dispersione

1,2, 3 , 4,5

{ } { ^1,2, ³ ^{, 4,15} } { ^1,2, ³ ^{, 4,100} }

👇 👇 👇

CVar = 4 IQR = 2 s = 1,58

CVar = 14 IQR = 2 s = 5,07

CVar = 99 IQR = 2 s = 43,62

.

CVar = 99 IQR = 2

s = 43,62

^. ^.

CVar = 4 IQR = 2 s = 1,58

CVar = 14 IQR = 2 s = 5,07

CVar = 4 IQR = 2

s = 1,58

_. ^.

CVar = 14 IQR = 2 s = 5,07

CVar = 4

IQR = 2

s = 1,58

_.

(28)

Concentrazione dei valori

Assumendo in un campione casuale di taglia n la media aritmetica

_X

come indice centrale, considerando la deviazione standard come

indice di dispersione dei dati, ci si pone la questione di stabilire a

priori una stima della percentuale di dati che si "concentrano" in

prossimità di . _X

(29)

Concentrazione dei valori

come indice centrale, considerando la deviazione standard come indice di dispersione dei dati, ci si pone la questione di stabilire a priori una stima della percentuale di dati che si "concentrano" in prossimità di . _X

Più precisamente:

che percentuale di dati si trova nell'intervallo ? Che percentuale nell'intervallo ?

E nell'intervallo ?

X X

[ - s, + s]

X X

[ - 2s, + 2s]

X X

[ - 3s, + 3s]

Assumendo in un campione casuale di taglia n la media aritmetica

_X

(30)

Quando la distribuzione dei dati non è caratterizzata da una forte asimmetria e le osservazioni sono concentrate in prossimità di media e mediana, vale la seguente regola empirica:

La regola empirica vs

la regola di Čebyšëv

(31)

• approssimativamente il 68% dei valori presenta uno scostamento dalla media pari ad 1 volta la deviazione standard;

• Approssimativamente il 95% dei valori presenta uno scostamento dalla media pari a 2 volte la deviazione standard.

• Approssimativamente il 99,7% dei valori presenta uno scostamento dalla media pari a 3 volte la deviazione standard.

Quando la distribuzione dei dati non è caratterizzata da una forte asimmetria e le osservazioni sono concentrate in prossimità di media e mediana, vale la seguente regola empirica:

La regola empirica vs

la regola di Čebyšëv

(32)

• approssimativamente il 95% dei valori presenta uno scostamento dalla media pari a 2 volte la deviazione standard;

• Approssimativamente il 99,7% dei valori presenta uno scostamento dalla media pari a 3 volte la deviazione standard.

Quando la distribuzione dei dati non è caratterizzata da una forte asimmetria e le osservazioni sono concentrate in prossimità di media e mediana, vale la seguente regola empirica:

La regola empirica vs

la regola di Čebyšëv

(33)

• approssimativamente il 95% dei valori presenta uno scostamento dalla media pari a 2 volte la deviazione standard;

• approssimativamente il 99,7% dei valori presenta uno scostamento dalla media pari a 3 volte la deviazione standard.

Quando la distribuzione dei dati non è caratterizzata da una forte asimmetria e le osservazioni sono concentrate in prossimità di media e mediana, vale la seguente regola empirica:

La regola empirica vs

la regola di Čebyšëv