Antonio Azzollini antonio.azzollini@unibas.it Statistica

(1)

Statistica

Antonio Azzollini

antonio.azzollini@unibas.it

Anno accademico 2019/2020

Dipartimento di Matematica, Informatica ed Economia (DiMIE)

(2)

Distribuzioni miste

Tra le domande poste in un questionario, una è relativa alla percezione della propria felicità.

Considerando tutti gli aspetti della tua vita, quanto ti ritieni felice? Esprimi la tua scelta mettendo una crocetta ( ) su questa linea per indicare il tuo

livello di felicità.

✖

estremamente infelice

estremamente felice

✖

Il dato è la lunghezza di questo segmento

Felicità

Frequenza

0 9 18 26 35

Misura

[0;1] [1;2] [2;3] [3;4] [4;5] [5;6] [6;7] [7;8] [8;9]

[9;10] [10;11] [11;12]

Lunghezza totale: 12 cm.

(3)

Distribuzioni miste

Tra le domande poste in un questionario, una è relativa alla percezione della propria felicità.

Considerando tutti gli aspetti della tua vita, quanto ti ritieni felice? Esprimi la tua scelta mettendo una crocetta ( ) su questa linea per indicare il tuo

livello di felicità.

✖

estremamente infelice

estremamente felice

✖

Il dato è la lunghezza di questo segmento

Felicità

Frequenza

0 9 18 26 35

Misura

[0;1] [1;2] [2;3] [3;4] [4;5] [5;6] [6;7] [7;8] [8;9]

[9;10] [10;11] [11;12]

Stratificare rispetto al genere.

♀ ♂

Lunghezza totale: 12 cm.

👇

(4)

Distribuzioni miste

[0;1] [1;2] [2;3] [3;4] [4;5] [5;6] [6;7] [7;8] [8;9] [9;10] [10;11] [11;12] Totale

1 8 4 4 15 7 8 23 11 11 6 1 99

2 1 2 4 15 8 9 10 14 14 5 2 86

Totale 3 9 6 8 30 15 17 33 25 25 11 3 185

♀

♂

Maschi

Densità

0,00 0,06 0,13 0,19 0,25

Misura

[0;1] [1;2] [2;3] [3;4] [4;5] [5;6] [6;7] [7;8] [8;9] [9;10][10;11][11;12]

Femmine

Densità

0,00 0,06 0,13 0,19 0,25

Misura

[0;1] [1;2] [2;3] [3;4] [4;5] [5;6] [6;7] [7;8] [8;9] [9;10][10;11][11;12]

Media = 6,45

Deviazione Standard = 2,44 Coefficiente di variazione = 0,37

Media = 6,91

Deviazione Standard = 2,22 Coefficiente di variazione = 0,32

(5)

Più variabili qualitative

Occhiali Genere

Occhiali SI Occhiali NO Totale Totale

Mano S 7 4 11

Mano D 55 25 80 91

Mano S 3 3 6

Mano D 28 38 66 72

Totale 93 70 163

In questo esempio abbiamo tre variabili qualitative: il sesso (M,F) l’uso degli occhiali (SI/NO) e la mano preferita (S/D).

♀

♂

(6)

Più variabili qualitative

Occhiali Genere

Mano S 7 4 11

Mano D 55 25 80 91

Mano S 3 3 6

Mano D 28 38 66 72

Totale 93 70 163

Numero di intervistati mancini: 17.

♀

♂

(7)

Più variabili qualitative

Occhiali Genere

Mano S 7 4 11

Mano D 55 25 80 91

Mano S 3 3 6

Mano D 28 38 66 72

Totale 93 70 163

Distribuzione doppia Numero di femmine che scrivono con la mano destra

♀

♂

(8)

Più variabili qualitative

Occhiali Genere

Mano S 7 4 11

Mano D 55 25 80 91

Mano S 3 3 6

Mano D 28 38 66 72

Totale 93 70 163

Distribuzione congiunta Numero di maschi che

scrivono con la mano

sinistra e portano gli occhiali

Distribuzione doppia Numero di femmine che scrivono con la mano destra

♀

♂

(9)

Più variabili qualitative

Ricapitoliamo utilizzando la notazione insiemistica

Insieme totale degli intervistati:

Maschi:

Femmine:

Occhiali SI:

Occhiali NO:

Mano sinistra:

Mano destra:

S M

F

O

_SI

O

_NO

Sx Dx

M ∪ F = S

M ∩ F = ∅ }

^esaustivi^disgiunti

Sx ∪ Dx = S

Sx ∩ Dx = ∅ }

O

_SI

∪O

_NO

= S

O

_SI

∩O

_NO

= ∅ }

(10)

Più variabili qualitative

Occhiali Genere

Mano S 7 4 11

Mano D 55 25 80 91

Mano S 3 3 6

Mano D 28 38 66 72

Totale 93 70 163

♀

♂

(11)

Più variabili qualitative

Occhiali Genere

Mano S 7 4 11

Mano D 55 25 80 91

Mano S 3 3 6

Mano D 28 38 66 72

Totale 93 70 163

♀

♂

F

(12)

Più variabili qualitative

Occhiali Genere

Mano S 7 4 11

Mano D 55 25 80 91

Mano S 3 3 6

Mano D 28 38 66 72

Totale 93 70 163

♀

♂

O

_NO

F

(13)

Più variabili qualitative

Occhiali Genere

Mano S 7 4 11

Mano D 55 25 80 91

Mano S 3 3 6

Mano D 28 38 66 72

Totale 93 70 163

♀

♂ M ∩ Dx

O

_NO

F

(14)

Più variabili qualitative

Occhiali Genere

Mano S 7 4 11

Mano D 55 25 80 91

Mano S 3 3 6

Mano D 28 38 66 72

Totale 93 70 163

♀

♂

M ∩ Sx ∩O

_SI

M ∩ Dx

O

_NO

F

(15)

Occhiali Genere Occhiali SI Occhiali NO Totale Totale

Mano S 7 4 11

Mano D 55 25 80 91

Mano S 3 3 6

Mano D 28 38 66 72

Totale 93 70 163

♀

♂

Grafici

0 15 30 45 60

Mano S Mano D Mano S Mano D Occhiali SI Occhiali NO

maschi femmine

(16)

Distribuzione condizionata

Distribuzione condizionata di occhiali & scrittura vs. genere.

7

91 = M ∩ Sx ∩O_SI

M ×100

38

72 = F ∩ Dx ∩O_NO

F ×100

38

72 = F ∩ Sx

F ×100

👉

percentuale di maschi con occhiali &

mancini.

percentuale di femmine senza occhiali &

non mancine.

percentuale di femmine mancine.

Occhiali Mano Genere Occhiali SI Occhiali NO Totale Totale

Mano S 7 4 11

Mano D 55 25 80 91

Mano S 3 3 6

Mano D 28 38 66 72

♀

♂

38

72 = F ∩ Dx ∩O_NO

F ×100

7

11 = M ∩ Sx ∩O_SI

M ∩ Sx ×100 7

11 = M ∩ Sx ∩O_SI

M ∩ Sx ×100 7

11 = M ∩ Sx ∩O_SI

M ∩ Sx 7 ×100

91 = M ∩ Sx ∩O_SI

M ×100

38

72 = F ∩ Dx ∩O_NO

F ×100

19,02

57,06 ×100 = rapporto di composizione = 33,33%

(17)

Distribuzione condizionata

Distribuzione condizionata di occhiali vs. scrittura & genere.

In questo caso, quali sono gli insiemi coinvolti?

Mano S 7 4 11

Mano D 55 25 80 91

Mano S 3 3 6

Mano D 28 38 66 72

♀

♂

(18)

Distribuzione condizionata

Distribuzione condizionata di occhiali vs. scrittura & genere.

In questo caso, quali sono gli insiemi coinvolti?

7

11 = M ∩ Sx ∩O_SI

M ∩ Sx ×100

👉

percentuale con occhiali fra i maschi mancini.

3

6 = F ∩ Sx ∩O_SI

F ∩ Sx ×100

👉

percentuale con occhiali fra le femmine mancine.

7

11 = M ∩ Sx ∩O_SI

M ∩ Sx ×1007

11 = M ∩ Sx ∩O_SI

M ∩ Sx ×100

7

11 = M ∩ Sx ∩O_SI

M ∩ Sx ×1003

6 = F ∩ Sx ∩O_SI

F ∩ Sx ×100

Mano S 7 4 11

Mano D 55 25 80 91

Mano S 3 3 6

Mano D 28 38 66 72

♀

♂

(19)

Distribuzione condizionata

Un grafico a mosaico è una rappresentazione grafica che consente di esaminare l’associazione fra due variabili qualitative.

Passo1: quadrato di lato 1 Passo2: suddividere l’area del quadrato in due rettangoli di aree

proporzionali alle

percentuali di una delle distribuzioni marginali.

Ad esempio la variabile occhiali 57,06% & 42,94%

no si

Occhiali

Genere Occhiali NO Occhiali SI Totale 38,04% 17,79% 55,83%

19,02% 25,15% 44,17%

Totale 57,06% 42,94% 100%

♀

♂

(20)

Distribuzione condizionata

Occhiali

Occhiali NO Occhiali SI 66,67% 41,43%

33,33% 58,57%

Totale 100% 100%

♀

♂

Passo3: suddividere l’area di ogni rettangolo in base alle distribuzioni

condizionate. Ad esempio, la regione Occhiali NO di area proporzionale al 57,6%

viene suddivisa in due regioni, Maschi & Femmine di area proporzionale a 66,7%

& 33,33%.

femmine

maschi

occhiali

no si

Occhiali

maschi femmine genere

La forma del grafico a mosaico non cambia di molto se la stessa costruzione viene fatta partendo dalla variabile Genere.

Come si legge il grafico?

nosi

(21)

Distribuzione condizionata

Occhiali

Occhiali NO Occhiali SI 66,67% 41,43%

33,33% 58,57%

Totale 100% 100%

♀

♂

Passo3: suddividere l’area di ogni rettangolo in base alle distribuzioni

condizionate. Ad esempio, la regione Occhiali NO di area proporzionale al 57,6%

viene suddivisa in due regioni, Maschi & Femmine di area proporzionale a 66,7%

& 33,33%.

La forma del grafico a mosaico non cambia di molto se la stessa costruzione viene fatta partendo dalla variabile Genere.

Come si legge il grafico?

Tanto più la griglia si avvicina ad una croce tanto più le due variabili sono indipendenti.

femmine

maschi

occhiali

si

Occhiali

maschi femmine genere

nosi

no

(22)

Caratteri indipendenti

Se un carattere non ha alcuna influenza sull’altro—e viceversa—allora si dice che i due caratteri sono indipendenti.

(23)

Caratteri indipendenti

In assenza di indipendenza si parla di connessione fra i due caratteri. Le due

variabili tendono ad influenzarsi reciprocamente e tra di loro esiste una relazione.

(24)

Caratteri indipendenti

In assenza di indipendenza si parla di connessione fra i due caratteri. Le due

variabili tendono ad influenzarsi reciprocamente e tra di loro esiste una relazione.

In termini statistici si riconosce che una variabile X è indipendente da una variabile Y quando le distribuzioni condizionate di Y sono uguali per ogni modalità (o classi di modalità) di X, cioè hanno le stesse frequenze relative (percentuali).

Esempio. Consideriamo due caratteri

X

^ed

Y

le cui modalità si comportano come nella seguente tabella:

12 4 16 8 40

15 5 20 10 50

9 3 12 6 30

36 12 48 24 120

X / Y Y

X

y₁ y₂ y₃ y₄ x₁

x₂ x₃

(25)

12 4 16 8 40 15 5 20 10 50

9 3 12 6 30

36 12 48 24 120

X / Y Y

X

C’è indipendenza

40/120= 

0,33

12/36= 

0,33

4/12= 

0,33

16/48= 

0,33

8/24= 

0,33 50/120= 

0,42

15/36= 

0,42

5/12= 

0,42

20/48= 

0,42

10/24= 

0,42 30/120= 

0,25

9/36= 

0,25

3/12= 

0,25

12/48= 

0,25

6/24= 

0,25

Totale 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00

X x₁ x₂ x₃

y₁ y₂ y₃ y₄ x₁

x₂ x₃

f (X) f (X | y₁) f (X | y₂) f (X | y₃) f (X | y₄ )

Caratteri indipendenti

(26)

Caratteri indipendenti

Non c’è indipendenza

0,80 0,05 0,05 0,40

0,10 0,85 0,05 0,30

0,10 0,10 0,90 0,30

Totale 1,00 1,00 1,00 1,00

X x₁ x₂ x₃

f (X | y₁) f (X | y₂) f (X | y₃) f (X | y₄ )

Nella tabella precedente abbiamo osservato che la modalità del carattere non è in alcun modo influenzata dalla modalità del carattere Y. Se invece

avessimo avuto una tabella come quella qua sotto dove le frequenze relative del carattere

X

X dipendono chiaramente dalle modalità del carattereY concluderemmo che i due caratteri non sono indipendenti.

(27)

Caratteri indipendenti

Frequenza assoluta Occhiali

Genere Occhiali NO Occhiali SI Totale

62 29 91

31 41 72

Totale 93 70 163

♀

♂

Tabella delle frequenze relative condizionate Occhiali

44,17% 44,17% 44,17%

Totale 100% 100% 100%

♀

♂

Se i caratteri fossero

indipendenti produrrebbero una tabella come questa,

👈

163 persone: 55,83% maschi, 44,17% femmine.

(28)

Caratteri indipendenti

62 29 91

31 41 72

Totale 93 70 163

♀

♂

44,17% 44,17% 44,17%

Totale 100% 100% 100%

♀

♂

Se i caratteri fossero

indipendenti produrrebbero una tabella come questa, ma così non è…

👈

(29)

33,33% 58,57% 44,17%

Totale 100% 100% 100%

♀

♂ 👈

Caratteri indipendenti

62 29 91

31 41 72

Totale 93 70 163

♀

♂

E infatti producono una tabella come questa.

(30)

Caratteri indipendenti

Occhiali

Genere Occhiali NO Occhiali SI 31,85% 23,98%

25,20% 18,97%

Totale 57,05% 42,95%

♀

♂

Distribuzione congiunta se indipendenti

Occhiali

19,02% 25,15%

Totale 57,06% 42,94%

♀

♂

Distribuzione congiunta effettiva

93× 0,5583

163 ×100 = 31,85

Distribuzione marginale del carattere occhiali

93× 0,5583

163 ×100 = 31,85 93× 0,5583

163 Frequenza relativa di chi ×100 = 31,85

non indossa occhiali

(31)

Caratteri indipendenti

Occhiali

25,20% 18,97%

Totale 57,05% 42,95%

♀

♂

Occhiali

19,02% 25,15%

Totale 57,06% 42,94%

♀

♂

93× 0,5583

163 ×100 = 31,85

93× 0,5583

163 ×100 = 31,85 93× 0,5583

Frequenza relativa dei maschi

(32)

Caratteri indipendenti

Occhiali

25,20% 18,97%

Totale 57,05% 42,95%

♀

♂

Occhiali

19,02% 25,15%

Totale 57,06% 42,94%

♀

♂

93× 0,5583

163 ×100 = 31,85

93× 0,5583

163 ×100 = 31,85 93× 0,5583

Frequenza relativa dei maschi

Frequenza relativa percentuale dei maschi che non indossano occhiali

(33)

Caratteri indipendenti

Occhiali

25,20% 18,97%

Totale 57,05% 42,95%

♀

♂

Occhiali

19,02% 25,15%

Totale 57,06% 42,94%

♀

♂

Vediamo le frequenze assolute

confrontate con quelle che sarebbero state se indipendenti.

👇

93× 0,5583

163 ×100 = 31,85

(34)

Occhiali

62 29 91

31 41 72

Totale 93 70 163

♀

♂

Caratteri indipendenti

Occhiali

Genere Occhiali NO Occhiali SI

♀

♂

91

163 × 93 = 51,92 ^ˆn11 = 51,92 ˆn₁₂ = 39,08 ˆn₂₁ = 41,08 ˆn₂₂ = 30,92

Frequenza assoluta se indipendenti

Frequenza assoluta effettiva 91

163 × 93 = 51,92Frequenza relativa dei maschi

(35)

Caratteri indipendenti

Ora calcoliamo le differenze fra le frequenze assolute effettive e quelle ipotetiche.

Occhiali

♀

♂

₆₂ − 51,92 = 10,08

31− 41,08 = −10,08

29 − 39,08 = −10,08 41− 30,92 = 10,08

Le differenze così calcolate vanno normalizzate alle frequenze assolute ipotetiche

ˆn

_ij e poi sommate al quadrato moltiplicando ciascuna di esse per il relativo peso

ˆn

_ij

c

₁₁

= 10,08

51,92 , c

₁₂

= − 10,08

39,08 , c

₂₁

= − 10,08

41,08 , c

₂₂

= 10,08 30,92

dato da .

Otteniamo l’espressione

C

_r

= c

_ij²

ˆn

_ij

j=1

∑

s i=1

∑

r ^dove

⁰ ^{≤ C}

^r

≤ nmin r −1, s −1 { }

r ^r = numero di righe, c = numero di colonne, n = popolazione totale 0 = numero di righe, c = numero di colonne, n = popolazione totale ≤ C

_r

≤ nmin r −1, s −1 { }

(36)

Indice di connessione di Cramer

L’indice di connessione di Cramer è un indice relativo, che varia fra 0 & 1, ottenuto mediante la seguente espressione:

C

_r^*

= c

_ij²

ˆn

_ij

j=1

∑

s i=1

∑

r

n min r { −1, s −1 }

Nell’esempio appena visto si ha

C

_r^*

= 0,25

, ossia un modesto livello di connessione

C

_r^*

= 0 👉

i caratteri

X

^&

Y

sono sconnessi.

Tanto più

C

_r^* si avvicina a

1

, maggiore è la dipendenza tra

X

^&

Y

^.

(37)

Indice di connessione di Cramer

Si ha la perfetta dipendenza quando la tabella delle frequenze assolute (tabella di contingenza) si presenta come una matrice diagonale.

92 0 92

0 71 71

Totale 92 71 163

♀

♂

In tal caso poniamo…

(38)

Indice di connessione di Cramer

92 0 92

0 71 71

Totale 92 71 163

♀

♂

Distribuzione se indipendenti Occhiali

♀

♂

_ˆn

11 = 51,92 ˆn₁₂ = 40,07 ˆn₂₁ = 40,07 ˆn₂₂ = 30,92

👇

92 − 51,92 = 40,07 0 − 40,07 = −40,07 71− 30,92 = 40,07

c

₁₁

= 40,07

51,92 c

₁₂

= − 40,07 40,07 c

₂₁

= − 40,07

40,07 c

₂₂

= 40,07 30,92

👇

C

_r

= c

_ij²

ˆn

_ij

j=1

∑

s i=1

∑

r