Sottospazi 08/10 Quiz
Quali dei seguenti insiemi sono sottospazi di R3? (i) {(x, 0, z) : x, z ∈ R}
(ii) {(x, x3, 0) : x ∈ R}
(iii) {(x, y, z) : x + y + z = 0}
(iv) {(x, y3, x) : x, y ∈ R}
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Altri appunti
Esercizio Esprimere (9, 12) come combinazione lineare di (3, 2) e (4, 5) in R2. Cioè , trovare a, b ∈ R tali che
(9, 12) = a(3, 2) + b(4, 5).
Soluzione del 08/10 Scriviamo le equazioni per a, b e risol- viamo il sistema. Per visualizzarlo meglio, conviene scrivere i vettori come colonne:
a 3 2
!
+ b 4 5
!
= 9
12
! ,
così che:
( 3a + 4b = 9 2a + 5b = 12.
La matrice completa è 3 4 9
2 5 12
!
∼ 1 43 3 2 5 12
!
∼ 1 43 3 0 73 6
!
∼ 1 43 3 0 1 187
!
∼ 1 0 −37 0 1 187
!
La riduzione totale ci presenta la soluzione:
a = −37, b = 187 .
Interpretazione: Tutte e 5 le matrici sopra (essendo equi- valenti per righe) hanno la stessa relazione tra le colonne.
Dall’ultima matrice, è chiaro che questa relazione è
−37c1 + 187 c2 = c3.
Quindi, la stessa relazione vale prendendo come c1, c2, c3 le colonne di partenza.
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Soluzione del 07/10 Teniamo i vettori come righe e cerchia- mo di ridurre per righe la matrice
M =
3 2 r1 4 5 r2 9 12 r3
.
Abbiamo aggiunto l’ultima colonna solo per segnalare le ope- razioni per righe che facciamo:
M ∼
1 23 13r1 4 5 r2 9 12 r3
∼
1 23 13r1 0 73 r2− 43r1 0 6 r3−3r1
∼
1 23 13r1 0 73 r2− 43r1
0 0 r3−3r1− 187 (r2 − 43r1)
Dichiarando che l’ultima riga sia nulla ci dà r3 = −37r1+ 187 r2,
la soluzione al nostro problema con a = −37, b = 187 .
Osservazione: La matrice completa nella prima soluzione è la trasposta della parte sinistra di M . Se interpretiamo r1, r2, r3 come numeri, M è la matrice di un altro sistema che (per risolvere l’esercizio) deve essere consistente.
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