Prodotto vettoriale 22/10 Quiz
Nello spazio Oxyz, si considerino i punti A = (1, 3, 4), B = (3, 5, 4).
e i corrispondenti vettori v = ~ OA e w = ~ OB.
Calcolare v × w e la norma kv × wk.
Segue che l’area del triangolo OAB è
(i) 3, (ii) 6, (iii) 9, (iv) 12.
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Altri appunti
Siano
u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3), w = (w1, w2, w3), e sia A∈ R3,3 la matrice con questi vettori come righe.
Dalla costruzione di A−1, sappiamo che
u1 u2 u3 v1 v2 v3
w1 w2 w3
v2w3−v3w2 • • v3w1−v1w3 • • v1w2−v2w1 • •
=
detA • •
0 • •
0 • •
La prima colonna in mezzo è il prodotto vettoriale v × w.
Segue che
u· (v × w) = det A, v· (v × w) = 0, w· (v × w) = 0.
Quindi il prodotto vettoriale v× w è ortogonale ad entrambi v, w .
Invece, u· (v × w) è il cosiddetto prodotto misto tra u, v, w.
È uno scalare, cioè un numero in R . Dalle proprietà del determinante, abbiamo
u· (v × w) = v · (w × u) = w · (u × v)
= −u · (w × v) = −v · (u × w) = −w · (v × u).
La quantità |u · (v × w)| á 0 è il volume del parallelepipedo generato dai vettori u, v, w applicati ad un punto. È zero se e solo se u, v, w sono L I.
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Esempio Siano u = (3, 0, 1) , v = (1, 1, 0) . Determinare il w = u × v e disegnare i vettori u, v, w applicati in O .
Soluzione. Abbiamo
u× v =
3 0 1 1 1 0 i j k
= −i + j + 3k,
oppure w= (−1, 1, 3) .
u
v
uv
I vettori u, v non sono ortogonali (perché u· v 6= 0 ), mentre le coppie u, w e v, w lo sono. La regola della mano destra determina il verso di w , mentre la norma kwk = √
11 è due volte l’area del triangolo.
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