ESERCIZI Geometria 1 – II Foglio Sottospazi vettoriali, dipendenza lineare
1) Stabilire se sono sottospazi vettoriali i seguenti sottoinsiemi di R
2(a e b parametri reali):
a + 1 0
,
a
20
,
a a
2,
a b
2,
a − 2b 3a + b
,
a a
3,
a b
3,
ab a + b
. Stessa domanda pensandoli sottoinsiemi di C
2e a, b ∈ C.
2) Stabilire se sono sottospazi vettoriali i seguenti insiemi:
a + 2b − 3 2a − b − 1
⊂ R
2,
a − b − 1 2a + b − 1
a + b + 1
⊂ R
3.
3) Sono dati i vettori:
v
1:=
1 1 2 1
v
2:=
1 2 1 + k
0
v
3:=
1 3 0
−1
v
4:=
1 2 1 0
b :=
k 2k 2k 1 + k
.
(a) Determinare per quali valori di k b ` e combinazione di v
1, v
2, v
3, v
4.
(b) Per tali valori di k, determinare l’insieme delle quaterne (a
1, a
2, a
3, a
4) tali per cui b = a
1v
1+ a
2v
2+ a
3v
3+ a
4v
4.
4 Dati i vettori
−
→ v
1:=
1
−1 k 0
, − → v
2:=
k 2 − k 2 + k
2−2
, − → v
3:=
0 k 2k − 1
−1
, − → v
4:=
1
−1 k
2+ k − 1
2k
2− 5
, − →
b :=
k 1 − k k
2+ 1
k + 1
,
(a) Dire per quali k in R − →
b ` e combinazione lineare di − → v
1,...− → v
4.
(b) Per k = 1 trovare tutti i possibili coefficienti di tali combinazioni lineari.
5 Dati i vettori
−
→ v
1:=
1 1 1 1
, − → v
2:=
1
−1 2 1
, − → v
3:=
2 1 − k
3 1 + k
2
, − →
b :=
1 2 k
2− 1
1
,
(a) Dire per quali k in R − →
b ` e combinazione lineare di − → v
1,...,− → v
3.
(b) Per k = −1 trovare tutti i possibili coefficienti di tali combinazioni lineari.
6) Data la matrice A :=
1 2 2 0 0 1 0 1 1 −1 2 1 2 0 0
, trovare un sistema di generatori per il sottospazio Sol(A, 0) di R
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