SulFapprossimazione dell'integrale di Lebesgue mediunte integrali di Riemann.

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SulFapprossimazione dell'integrale di Lebesgue mediunte integrali di Riemann.

M e m o r i a di ~IUSEPPE SCORzA*DR~(~O~I (a Napoli),

S u n t o . - I n questa Memoria viene assegnata u n a legge che ad ogni funzione misurabile fa corrispondere u n a successione di integral/i di !%~EMA~N convergente verso il relativo inte.

grale di LEBESGUE.

Nel c e r c a r e di r e n d e r e indipendenti dal postulato di ZERMELO le dimostrazioni di alcuni teoremi sulle funzioni misurabili, mi sono accorto che, senza fare alcun ricorso a quel postulato, p o t e v a essere istituito m~ procedimento atto a fornire, per ciascuna funzione misurabile, una successione di integrali di I%IEMANN (superiori o inferiori) a v e n t e per limite il relativo integrale di LEBESGUE, e che da

ei6,

con opportune modificazioni ed ampliamen~i, p o t e v a esser dedotta una definizione dell'integrale di una funzione di variabile reale, a v e n t e s e n z ' a l t r o l ' i d e n t i c a p o r t a t a di quella data da LEBESGUE~ s e si am- mette il postulato di ZERMELO.

A v e n d o comunicato a mio p a d r e i rilievi da me fatti ed a v e n d o egli, in seguito a ci6, r i c h i a m a t a la mia attenzione su di una Memoria del prof. B. LEVI, p u b b l i c a t a tre anni fa (~), he visto c h e l a definizione di integrale che avrei potuto d e d u r r e dal detto procedimento s a r e b b e stata del tutto simile a quella gih proposta dal prof. LEVI.

Posto ci6, non 4 il caso di fermarsi ad illustrare la definizione in discorso (~); ma, se non mi inganno, non ~ del tutto inutile esporre in questa

(i) BEPPO LEVI~ Sulla definizione dell'integrale~ ~ Annali di Matematica ~, seMe IV.

tomo I (1923-1924). Vedi anche: G~t:SEPPE VITALI, Sulla definizione di integrale delle fun.

zioni di u,~o~ variabile, ~< A n n a l i di M a t e m a t i c a ~>~ serie I V , tomo I I ~1924-1925). (l~Iel testo dico ,< tre a n n i fa ~ perch~ il manoscritto di questo la:voro f~a i n v i a t o n e l dicerabre del 1927).

('~) Tanto pifi che o r m a i si posseggono sistemazioni della teoria degli i n t e g r a l i di LE- BESGUE che~ anche dal p u n t o di v i s t a della semplicit~ didattica~ n u t l a lasciano a desiderate.

I n t e n d o a l l u d e r e con ci6 in modo partieolare alla esposizione 4i quella teoria che si t r o v a nei Fondamenti di CatcoIo deUe variazioni del prof. TO~ELLI (Bologna~ Zanichelli, 19~2, vol. I~ loagg. 143-198) e, a n c o r a megtio, a q n e l l a svolta d a l medesimo A u t o r e n e l l a M e m o r i a : Sulla nozione di integq'ale (qaesti ,, A n n a t i >~ serie IV~ tomo I), alla q u a l e r i m a n d o p e r la bib]iografia dell' argomento.

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62 G. ScORZ~-DRAc~o~I: S u l l ' a p p r o s s i m a z i o n e delt'i~tegrale di Lebesgue

hTota il p r o c e d i m e n t o d a cui p o t r e b b e essere d e d o t t a p e r le funzioni misu- rabiti.

1. I p u n t i

3 1 1 t 1

. . . . X ~ - 2 ~ ~ X - - 2 n _ l , X - - 2 n , X ~--- O, X ~ - ~ , X ~ 2 * * _ 1 , . . . .

d e t e r m i n a n o s u l l ' a s s e delle x , p e r ogni v a l o r e intero e positivo di n, u n ' i m finith n u m e r a t a di i n t e r v a l l i

1 I i I

.... 2 n _ ~ ~ x ~ 2 " ' 2 '~ ~ x ~ O' O ~ x ~ 2- ~ , ....

A1 v a r i a r di n gti i n t e r v M l i c o n s i d e r a t i d e s c r i v o n o un i n s i e m e n u m e - r a t o I ' di insiemi n u m e r a t i di i n t e r v a l l i . L ' i n s i e m e I degti i n t e r v a l l i di tutti gli insiemi di I ' ~ q u i n d i n u m e r a b i l e ed i suoi e l e m e n t i si possono o r d i n a r e in un' union s u c c e s s i o n e

(1) I ' I , , 5 , ....

DMia (1) e s t r a g g h i a m o p i n t e r v a l l i [n,, .... , I % e e o n s i d e r i a m o l ' i n s i e m e J ' = 4 - .... 4 -

D i c o e h e l ' i n s i e m e J d e g l i i n s i e m i J' b n u m e ~ ' a b i l e .

Ci6 ~ i m m e d i a t o : ad ogni punto intero di S~ ( p = 1, 2, .... ), n~, .... , n v , si pub fat' c o r r i s p o n d e r e uno ed un solo e l e m e n t o di aT, i' i n s i e m e J ' ~ g,, + .... + I,~ ; ora la totalitg dei punti i n t e r i di S ~ S~, .... ~ n u m e r a b i l e , quindi a n c h e J 4 n u m e r a b i l e ed i suoi e l e m e n t i si possono o r d i n a t e

J " J~, J.2, ....

2. ]~ noto c h e la m i s u r a di LEBESGUE di un i n s i e m e E m i s u r a b i l e e di m i s u r a finita 5 l ' e s t r e m o s u p e r i o r e delle porzioni c h i u s e e 1imitate di E ; in altri termini, fissato un n u m e r o positivo e, esiste s e m p r e un i n s i e m e chiuso e l i m i t a t o C tale c h e sin

(2)

C ~ E, m C ~ m E ~ m C + ~.

0 r a la m i s u r a s e c o n d o LEBESGUE 6 1~% m i s u r a e s t e r n a secondo JORDAN d e l l ' i n s i e m e chiuso e l i m i t a t o C c o i n c i d o n o (~); m a la m i s u r a e s t e r n a di C

(I) CARATHI~ODOR¥~ V o ' r l e s u n g e n i~ber r e e l l e F u n k t i o n e n . Teubner, 1918, pag. 297, § 287.

(3)

mediante integrali di R i e m a n n 63

seondo JORDAN non 4 altro t h e l ' e s t r e m o i n f e r i o r e delle m i s u r e degli e l e m e n t i di J c h e r i c o p r o n o C, quindi fissato il n u m e r o positivo ~ esiste un J,~ per il q u a l e

(3) C < J~, mC~__ m J ~ m C + ~.

D a C ~ J , e C ~ E si d e d u c e

C < J n . E e quindi m C ~ m E . J + ~ m C q - ~ ;

c o n f r o n t a n d o la s e c o n d a di q u e s t e d i s e g u a g l i a n z e con la s e c o n d a delle (2) e delle (3), si ottiene

m E - - m E . J n ~ ~, m J n - - m E . J ~ .~_ e, dalla s e c o n d a delle quali d i s c e n d e

~nJn ~__ m E . J n -t- ~ ~ m E -~- ~;

p e r c o n s e g u e n z a .

S e E ~ u n i n s i e m e m i s u r a b i l e d i m i s u r a f i n i t a ed ~ ~ u n n u m e r o po- sitivo, esiste a l m e n o u n e l e m e n t o J , d i J t a l e che sia

(4) r e ( E - - E . J n ) ~ ~, ~ ( J n - - E . J ~ ) ~ ~, m J n ~ m E + ~.

Ad ogni e si pub n a t u r a l m e n t e far c o r r i s p o n d e r e l ' e l e m e n t o di J c h e n e l l ' o r d i n a m e n t o fissato 4 il primo a verificare le (4).

3. Sia adesso

~n ~ - 2 - ~ di m o d o c h e ~ ~v %~ - - ~ .

I n d i c h i a m o con J+~, il p r i m o degli e l e m e n t i di J p e r il q u a l e

P o n i a m o

E , -.~ E - - E . J+~,

ed i n d i c h i a m o con J~,. it p r i m o e l e m e n t o di J p e r it q u a t e

Sia

e sia J,~o

E 2 ~ E, - - E , . J,~

il p r i m o e l e m e n t o di J p e r il qunle

m ( E 2 - - E~.J~)_~/~3, m J ~ ~ m E 2 + % ~ % ÷ ~ .

(4)

64 G. S c o R z , ~ - D m ~ G o x J : Sull' approssimazione dell' integrale di Lebesgue

Si ponga

E 3 - = E , 2 --E~.J:.~

e si applichi ad E~ il discorso iatto per E~ E t , E2.

Cosi p r o s e g u e n d o indefinitamente, si ottengono due successioni di insiemi E > E~ ;> E ~ > .... ,

] . , , J . , , ],~, ....

t h e verificano to seguenti disuguaglianze

mE~ <__ zp, m J% <__ sp_~ + % Posto

(p = 2, 3,....).

E,, = + . , ....

misurabile, perch+ s o m m a di un'infinith numerabile di in- si ha che Eo 6

tervalli chiusi ;

che l ' i n s i e m e ( E - - E . E o ) + contenuto in E~, E2, .... , e, poich+ + l i m m E v ~

p ~ c w

lim ~p = 0~ + ~nche

p ~ c ~

r e ( E - - E . E o ) = O ; e che t ' i n s i e m e (E o - - E . Eo) 6 con~enuto in

( J ~ , - - E . J ~ , ) @ J ~ , @ ....

e quindi 6

re(E0 -- E . Eo) ~ m { ( J ~ , - E . J~, )-4- J~,~ @ .... / ~ m ( J ~ , - E . J , ~ , ) + m J , ~ + . . . . ~ (~)

~...~o

< s~ + (% -t- %) + (% + %) + .... ---- 2 2~ ~ = s.

Riassumendo : Se E O un i n s i e m e m i s u r a b i l e d i m i s u r a f i n i t a , esiste u n a legge t h e ei c o n s e n t e di f a r c o r r i s p o n d e r e ad ogni ~ > 0 u n i n s @ m e Eo, s o m m a d i u n ' i n f i n i t d n u m e r a t a di i n t e r v a l l i , tale che siano v e r i f i e a t e le r e t a z i o n i

m( E - - E . Eo) = O, m( E~, - - E . Eo) ~ s.

In parol% l ' i n s i e m e E o ricopre E a m e n o di un insieme di misura

(l) Si b a d i b e n e che, nel caso partScolarc in esame, q u e s t a d i s e g u a g l i a n z a si giustifica senz~ l @ o r r e r e al p r i n c i p i o delle infinite scelte arbitrarie.

(5)

mediante integrali di Riemam,t 65

nulla, e la porzione di E 0 t h e non a p p a r t i e n e ad E h a u n a m i s u r a m i n o r e di e (~).

~. P e r r a g g i u n g e r e m a g g i o r c h i a r e z z a helle d i m o s t r a z i o n i dei h u m e r i seguenti, s a r £ b e n e p r e m e t t e r e q u M c h e c o n s i d e r a z i o n e sugli insiemi esternu- m e n t e q u a d r a b i l i .

Sia E un i n s i e m c m i s u r a b i l e di m i s u r a finit~ ed F la s u a f r o n t i e r a (s), frontiera, c h e 6 un i n s i e m e chiuso e qufndi m i s u r a b i l e ; se 6

m ( F - - E . F) = 0,

cio4 se h a mism'a nulla la porzione di F che non a p p a r t i e n e ad E, d i r e m o t h e E ~ e s t e r n a m e n t e q u a d r a b i l e (a).

E v i d e n t e m e n t e : Ogni i n s i e m e chiuso di m i s u r a finita ~ e s t e r n a m e n t e q u a d r a b i l e (~) ; e l ' i n s i e m e s o m m a di u n n u m e r o finito di i n s i e m i esterna- m e n t e q u a d r a b i l i , iorivi a due a due di p u n t i c o m u n i o non, ~ e s t e r n a m e n t e q u a d r a b i l e ¢).

D i m o s t r i a m o adesso c h e : Se E ~ u n i n s i e m e e s t e r n a m e n t e q u a d r a b i l e ed E' ~ u n a p o r z i o n e di E di m i s m ' a nulIa, l' insieme E~-= E ~ E' ~ ester- n a m e n t e quadrabile.

I n d i c h i m n o con F te~ f r o n t i e r a di E, con F~ la f r o n t i e r a di E~; d o b b i a m o d i m o s t r a r e c h e 6

m(F~ - - E ~ • F~) = 0.

E e h i a r o inf'atti c h e u n punto di F~ c h e non a p p a r t i e n e ad E~ o [ un p u n t o di ( F 2 - E . F ) o 5 un punto di E ' ; sicch~ si h~

( F, - - E,. F,) < ( F - - F . E) + E', e di qui d i s c e n d e

re(F, -- E,- F,) ~ re(F-- F. E) + m E ' = 0.

C e n s i d e r i a m o adesso u n ' i n f i n i t ~ n u m e r a t a di intervMli chiusi

(5) :i:~, ~ , ....

(') L a proposizione del testo ~ un caso p a r t i c o l a r e di un teorema geometrico de] prof. VI- TALt (Sui gr~q)pi d i p u n t i e s u l l e f u n z i o n i d i v a r i a b i l i reali. ,~ A t t i della R. A c c a d e m i a di T o r i n o ~, 43~ 1.908) n e l t a f o r m a d a t a g l i dal C~RAT~EODORY (1oc. cir, pagg. 299-306); perb del t e o r e m a del VITALI n o n conosco d i m o s t r a z i o n i i n d i p e n d e n t i dal postulato di ZERMEL0.

(2) CAB;A.TItl~ODORY~ ]OC, cir. pag, 216, (3) CAlaATgEODO~, 1OC. cit., pag. 289.

(4) CAR£THf:ODO]CY, 1OC. cir.. pag. 291.

(5) CArCATltEODORY, toc. cit., pag. 290.

A.nuali di ~fatematioa, Serie IV, Tomo VII, 9

(6)

66 G. SCOgZA+-DRAGO~I: Sull' approssimazione dell'integrale di Lebesgue

contenuti in un intervallo I e d indichiamo con in il segmento i,, privato dei punti estremi.

L' insieme

si ottiene sopprimendo d a l l ' i n s i e m e chiuso [ - - l i ~ J r - i ~ / b .... I

gti estremi degli intervalli (5). 0 r a questi estremi formano uu insieme numerabile, e (quindi) di misura nulla; di conseguenza, per il l e m m a precedent%

possiamo dire c h e :

Se i~, i,, .... ~ u n a sueeessione di i n t e r v a l l i c o n t e n u t i i n u n s e g m e n t o I, l" i n s i e m e I - - l i ~ 4 i~-~- .... 1 ~ e s t e r n a m e n t e q u a d r a b i t e .

5. Ci5 posto, dal t e o r e m a dimostrato al n. ° 3 si d e d u c e c h e :

Se E ~ u n insie~ne m i s u r a b i l e d i m i s u ~ a finita, esisle u ~ a legge che ad ogni ~ :> 0 f a corrisponde~'e u n a p o r z i o n e E~ di E e s t e c n a m e n t e q~+~ad~abile e tale che sia

m ( E - - E~) ~ s.

Supponiamo in un primo momento che E sia limitato ed indichiamo con i il primo degli intervalli chiusi ( - 1, 1), ( - - 2 , 2 ) , . . . . che contiene E.

Posto E ' - - I - - E, dalla misurabilit~ di E segue m E - ~ - m I - m E ' .

P e r il t e o r e m a precedente, ad ~ possiamo far eorrispondere un insiem~ ben d e t e r m i n a t o E0' ~ s o m m a di un'infiuit~t n u m e r a t a di intervalli chiusi i~, i~, ....

(che possiamo e v i d e n t e m e n t e supporre) contenuti in I e che ricopre E ' a meno di un insieme di misura nulla~ per il quale

m ( E 0 ' - E ' . E o ' ) ~ e , cio6 m E o ' ~ m E ' + s .

P e r il n. ° 4 l ' i n s i e m e I - - E o ' 6 e s t e r n a m e n t e q u a d r a b i l e ; inoltre 6 m ( I - - Eo') - - m I - - mEo'

m I - m E ' - - s m E - - ~ ; quindi, se poniamo

a b b i a m o ehe

E, - - ( [ - - Eo') - - ( E ' - - E ' . E+'),

1' insieme E, 6 e s t e r n a m e n t e quadrabile perch~ differenza del-

(7)

mediante integrali di Riemann 67

l ' i n s i e m e e s t e r n a m e n t e q u a d r a b i l e ( I - - Eo') e d e l l ' i n s i e m e (E' ^-^- E ' . Eo') (n. ° 4) ;

c h e l ' i n s i e m e E~ 6 c o n t e n u t o in E ; e c h e 6

m E , ~ r e ( I - - Eo' ) ~ m E - - ~, cio+

di m i s u r a nuUa

m ( E ^-^- E,) - - m E ^- ^- mE~ ~ ~.

S u p p o n i a m o in secondo luogo che E non sia limitato ed i n d i c h i a m o con I il primo degli intm'valli ( - - 1 , 1), .... p e r it q u a l e 6

£

m E - - m E . [ ~ ;

i n d i c h i a m o con E~ la p o r z i o n e e s t e r n a m e n t e q u a d r a b i l e di I . E, c o s t r u i t a nel m o d o giS~ detto, p e r la q u a l e 6

m I . E - - mE~ ~ ~ ; e v i d e n t e m e n t e sar/~ a n c h e

r e ( E - - E~) --- m E - - m I . E -t- m I . E - - m E , _~ ~, ; cio~ l ' i n s i e m e E, 6 l ' i n s i e m e richiesto.

6. Sia adesso f ( x ) u n a funzione misurabil% limitata, non n e g a t i v a e deft- nitu in un i n s i e m e E m i s u r a b i l e e di m i s u r a finita, e siano ~ e ~ due h u m e r i positivi a r b i t r a r L

P o i c h 4 f ( x ) ~ l i m i t a t a , esiste un p r i m o n u m e r o intero e positivo n p e r il q u a l e riesce in tutto E

f ( x ) < no ; e quindi, se i n d i c h i a m o con

E~, E~,...., E,,

gti insiemi m i s u r a b i l i in cui 4, r i s p e t t i v a m e n t e ,

0 _<_ f ( x ) < o, ~ ~ f ( x ) ~ 2~,...., (n - - l)o ~ f ( x ) < n~,

a v r e m o c h e gli insiemi E,,...., E,~ sono a d u e a d u e privi di punti c o m u n i e c h e 6

E--~ E~ + .... + E~ e q u i n d i mE.--~ mE~ + .... + m E n .

(8)

68 G. SCOaZA-DRAGO~I: S t i l l ' a p p r o s s i m a z i o n e deII'i+degrale di L e b e s g u e

Col p r o c e d i m e n t o del n u m e r o p r e c e d e n t e d e t e r m i n i a m o n porzioni E/,...., E , ( di E~,...., E~ e s t e r n a m e n t e q u a d r a b i l i e tali c h e sia

(6) m(E~ - - E / ) ~ ~,...., m ( E , - - E j ) ~ n"

I n d i c h i a m o con F ~ , . . , F , le f r o n t i e r e di E l , . . . . , E , ' ; di g u i s a c h e gli insiemi G,' = F~ - - F~. E/,...., G , ' : / ' ~ - - F , - E , '

a v r a n n o tutti m i s u r a nulla, p e r c h 6 gli E / , .... , E , ' sono e s t e r n a m e n t e quadrabili.

P o n i a m o adesso

g / ' E,' (G,' -~ A- G '~ E ' (7) . . .

E#'=E#--(W4-

.... 4 - en')" E j ; ed

E ' ~ - E l ' + .... + E n ' .

Dico c h e E ' 6 e s t e r n a m e n t e quadrnbile~ t h e la s u a m i s u r a differisee d a quella di E di m e n o d i ~ e che in ogni suo punto l ' o s c i l l a z i o n e della f ( x ) , c o n s i d e r a t a c o m e definita solo in E', 6 m i n o r e di z.

D i m o s t r i a m o c h e E ' 6 e s t e r n a m e n t e q u a d r a b i l e . E c h i a r o i n t a n t o e h e E / ' ( i ~ l , .... , n) 6 tale p e r c h 6 d i f f e r e n z a d e l l ' i n s i e m e e s t e r n a m e n t e q u a d r a b i l e E / e d e l l ' i n s i e m e di m i s u r a n u l l a (G t' + .... q5 G , ( ) . E / (n. ° 4). O r a E ' 6 s o m m a di un n u m e r o finito di iusiemi e s t e r n a m e n t e q u a d r a b i l i , d u n q u e a n c h e E ' 6 tale.

Datle (7) si r i c a v a

m E / ' -~- m E , : ' (i = 1, .... , n ) ,

inoltre

e quindi

E - - E ' - = (E, - - E , ' ) + .... + (E~ -- L~'),

m E - - m E ' - = m E , - - m E / ' + .... + m E , , - - m E , ( ' --~

cio6, p e r le (6),

m E - - m E ' ~ z.

R e s t a a d i m o s t r a r e l ' u l t i m a delle a f f e r m a z i o n i fntte. Sin x0 un p u n t o di E ' ; :co a p p a r t e r r ~ ad uno e a d uno solo degli insiemi E ' . . . ~..., E n : s u p p o n i a m o c h e a p p a r t e n g a a d E / ' . P e r la c o s t r u z i o n e stessa di E~", x o non pub e s s e r e p u n t o f r o n t i e r a di E~",...., E n " , quindi esiste un i n t e r v a l l o ~ di c e n t r o in xo e tale

(9)

mediante[ integrali di Riemann

69

t h e tutti i punti di /~' t h e a p p a r t e n g o n o a ~ a, p p a r t e n g o n o a n c h e a d E , "

in E , "

0 ~ f(x) < %

d u n q u e , e c c . .

m a

7. A l l ' i n s i e m e E del n u m e r o p r e c e d e n t e i m p o n i a m o la condizione ulte- riore di essere l i m i t a t o ; e c o n s i d e r i a m o due successioni di n u m e r i positivi

~i, z2, .... ; ~ , ~ , .... c o n

lira ~n = l i m ~ n = O.

I n d i c h i a m o coll En t -~insieme c h e secondo la c o s t r u z i o n e del n u m e r o pre- c e d e n t e v i e n e a c o r r i s p o n d e r e alla coppia an, ~ .

Siano

CS)

(9)

f x)dx, x)dx,

^{. . . .}

E i E~

~f(x)dx, j'f(x)dx,,..

--E~ -E2

gli i n t e g r a l i R i e m a n n i a n i superiori

Iimitati E,, E,,, ...

ed inferiori di

f(x)

estesi agli insiemi

Dico c h e

le successioni

(8) e (9)

convergono ent~'ambe verso l'integ~ale di Lebesgue di

f(x)

esteso a l l ' i n s i e m e

E :

E~

--E~

E

S i c c o m e gli insiemi

Ei, E~, ....

sono e s t e r n a m e n t e quadrabili~ 6 ({)

inoltre 6

~ f ( x ) d x ~ j ' f ( x ) d x ~ - ~ f ( x ) d x ;

- - E n

E n E n

E n --E~

(t} CARATtt]~ODORY~ ]O(L cit,~ pag. 459.

(10)

70 G. Seonzx.DR~Go~i: Sull'approssimazione delt'integrale di Lebesgue~ ecc.

e da lim m E n = m E segue

~ O O

E n E

da queste tre relazioni e da lim z . = 0 si deducono i m m e d i a t a m e n t e le ugua- glianze da dimostrare (~).

(~) ~ e l l a mia Nora: A p r o p o s i t o d i un. t e o r e m a s u g l i i n s i e m i n o n m i s w r a b i l i (Rend.

dell' Istituto Lombardo~ 1928) ho esteso agli insiemi di punti non misurabili alcune delle dimostrazioni date in questo lavoro.