Integrali Integrale Indefinito

Integrali

Integrale Indefinito Per il II teorema fondamentale, il calcolo dell’integrale

∫ _b

a f(x)dx

di una funzione f : [a, b] →R continua su un intervallo[a, b], puo’ essere ricondotto alla determinazione di una funzione F : [a, b] →R primitiva di f su[a, b], in quanto

∫ _b

a f(x)dx = F(b)−^F(a). Al posto di F(b)−^F(a)si usa scrivere[F(x)]^b_a, cosi’

∫ _b

a f(x)dx = [F(x)]^b_a.

L’insieme di tutte le funzioni primitive di una funzione f : I → R definita su un intervallo I viene detto integrale indefinito di f su I, e viene indicato con

∫

f(x)dx.

Per quanto visto in precedenza, se F : I → R e’ una primitiva di f su I, allora l’insieme∫

f(x)dx coincide con l’insieme delle funzioni del tipo F+k, dove k ∈ R;

si usa scrivere∫

f(x)dx= F(x) +k,(k∈ R), o in breve∫

f(x)dx= F(x). Integrali indefiniti elementari:

∫

x^αdx = ^x

α+₁

α+1+k (_α ̸= −1)

∫

x⁻¹dx =log|^x| +^k

∫

e^xdx =e^x+k

∫

sin(x)dx =−cos(x) +k

∫

tan(x)dx =−ln|cos x| +k

∫

cos(x)dx =sin(x) +k

∫ 1

1+x²dx =arctan(x) +k

In ciascuna di queste uguaglianze, si intende che la funzione integranda e’ con- siderata su un qualsiasi intervallo contenuto nel suo dominio di definizione, e su tale intervallo vengono considerate le sue primitive. Per l’ultimo integrale si veda l’ultimo paragrafo sulla derivazione delle funzini inverse.

Prime regole di integrazione Alle relazioni fra derivazione e operazioni alge- briche

(f(x) +g(x))^′ = (f(x))^′+ (g(x))^′, (_{α f}(x))^′ =_α(f(x))^′,

corrispondono le seguenti relazioni fra integrazione e operazioni algebriche

∫

(f(x) +g(x))dx =

∫

f(x)dx+

∫

g(x)dx,

∫

α f(x)dx =_α

∫

f(x)dx, (_α ∈R). Inoltre, dalla regola di derivazione delle funzioni composte

(f(g(x)))^′ = f^′(g(x))g^′(x)

segue che _∫

f^′(g(x))g^′(x)dx = f(g(x)) +k.

In particolare, si ha

∫

e^g(x)g^′(x)dx=e^g(x),

∫ g^′(x)

g(x)^dx=ln|g(x)|.

∫

cos(g(x))g^′(x)dx=sin(g(x)),

∫

sin(g(x))g^′(x)dx=−cos(g(x))

Esempi

∫ ( 3

x +5+7x+11x² )

dx=3 log|^x| +5x+⁷

2x²+¹¹

3 x³ (1)

∫ ( 5 x³ + ⁷

x² )

dx =

∫ (

5x⁻³+7x⁻² )

dx=5 x⁻²

−2 +7 x⁻¹

−1 =− ⁵ 2x² −⁷

x (2)

∫ 1

2x+3dx= ¹ 2

∫ 2

2x+3dx = ¹

2ln|^2x+3| ⁽³⁾

∫ 1

(5x+3)^2dx= ¹ 5

∫ 5

(5x+3)^2dx =−¹ 5

1

5x+3 (4)

∫ 3x+1

15x²+10x+7dx= ¹ 10

∫ 30x+10

15x²+10x+7dx= ¹

10ln|^15x2+10x+7| ⁽⁵⁾

∫ 1

3x²+1dx = √¹ 3

∫ √

3 (√

3x)²+1dx= √¹

3arctan(√

3x) (6)

∫ 4x+5 2x+3dx=

∫ 4x+6−¹ 2x+3 dx=

∫

(2− ¹

2x+3)dx =2x−¹

2ln|2x+3| (7)

Altri esempi

∫ (

√1

x³ +√ x

) dx=

∫ (

x⁻³² +x¹²)

dx = ^x

−¹₂

−¹₂ + ^x

32

32

=−√² x +²

√x³

3 (8)

∫

e^−x22xdx=−^∫ e^−x2(−2x)dx =−e^−x2 (9)

∫

e^5x37x²dx= ⁷ 15

∫

e^5x315x²dx = ⁷

15e^5x3 (10)

∫

cos(x⁻¹)x⁻²dx=−^{∫ cos}(x⁻¹)(−^x−2)dx=−^sin(x⁻¹) (11)

Appendice. Derivazione delle funzioni inverse

Teorema 1 Per una funzione f : I → J suriettiva derivabile, con I e J intervalli, le seguenti condizioni sono equivalenti:

(1) esiste f⁻¹ : J → I derivabile;

(2) f^′non si annulla ed ha segno costante su I.

Inoltre, in caso affermativo si ha

(f⁻¹)^′(x) = ¹

f^′(f⁻¹(x))^, ∀^x ∈ ^J.

La dimostrazione si basa sui seguenti fatti:

(1) una funzione continua su un intervallo e’ invertibile se e solo se e’ strettamente monotona (crescente o decrescente) sull’intervallo,

(2) una funzione derivabile su un intervallo e’ debolmente monotona (crescente o decrescente) se e solo se la funzione derivata ha segno costante (debolmente posi- tivo o debolmente negativo) sull’intervallo.

(3) se esiste f⁻¹ed e’ derivabile, allora dall’uguaglianza f(f⁻¹(x)) = x, ∀^x∈ ^J per la regola di derivazione delle funzioni coposte si ha

f^′(f⁻¹(x)) (f⁻¹)^′(x) =1, ∀^x ∈ ^J da cui

(f⁻¹)^′(x) = ¹

f^′(f⁻¹(x))^, ∀^x ∈ ^J.

Cio’ che andrebbe provato (e non proviamo) e’ che la condizione (2) implica che f⁻¹e’ derivabile.

Se le funzioni si pensano come espressioni e la derivazione come un’operatore che trasforma tali espressioni, allora la regola per la derivazione della funzione inversa

si esprime nella forma ”la derivata della funzione inversa della fuunzione f(x) e’

uguale al reciproco della funzione ottenuta derivando f(x)e sostituendo alla vari- abile x l’espressione f⁻¹(x)” e si scrive nella forma

D f⁻¹(x) = ¹

[D f(x)]_x←f−1(_x)

.

Di seguito riportiamo alcuni esempi.

(1) Applicando il teorema alla funzione esponenziale exp : R → R⁺ si ottiene per la funzione inversa logaritmo log :R⁺ →R, la nota formula:

D log x= ¹

[D exp x]_{x←log x} = ¹

[exp x]_{x←log x} = ¹

exp(log x) = ¹ x.

(2) Applicando il teorema alla funzione tangente tan :]− ^π₂, ^π₂[→ R si ottiene per funzione inversa arcotangente arctan :R→] − ^π₂,^π₂[la formula seguente:

D arctan x= ¹

[D tan x]_{x←arctan x} = ¹

[1+tan²x]_{x←arctan x} = ¹

1+tan²(arctan x) = ¹ 1+x²