1. Capitolo 1 – Trattazione teorica

1. Capitolo 1 – Trattazione teorica

Lo sviluppo delle telecomunicazioni ha incrementato la necessità di conoscere esattamente i parametri dielettrici, quali permettività e permeabilità, dei materiali utilizzati per la realizzazione di dispositivi a microonde. Nel corso degli anni, molti metodi sono stati sviluppati e usati per misurare permettività ( ε_r’, ε_r’’) e permeabilità ( μ_r’, μ_r’’).

Ad avere avuto più larga diffusione sono stati i metodi in guida d’onda: questi metodi, pur avendo un’accuratezza inferiore rispetto a tecniche che sfruttano le cavità risonanti, sono applicabili su un largo spettro frequenziale. Il materiale sotto analisi viene posto all’interno della guida e, misurando i coefficienti di trasmissione e riflessione, se ne determinano le caratteristiche dielettriche [2].

Quando l’esemplare di materiale da misurare non è uniforme o quando il campione non occupa tutta la sezione della guida d’onda, si rende necessaria l’analisi modale completa per misurare con accuratezze le caratteristiche dielettriche del materiale in esame. Ovviamente l’analisi modale completa è estremamente complicata se non, in alcuni casi, addirittura impossibile. Si rendono dunque necessarie delle tecniche alternative che rendano più semplice la misura di queste caratteristiche.

Molte di queste tecniche però perdono di efficacia quando il campione di materiale sotto esame è di spessore ridotto. Questa problematica ricopre un ruolo fondamentale negli studi moderni.

Infatti, la sempre maggiore richiesta di miniaturizzazione dei dispositivi a microonde rende necessario l’utilizzo di elementi di dimensioni ridotte; è, per questo motivo, importante essere in grado di valutare le caratteristiche dielettriche di questi componenti.

In questa prima parte si presenterà una tecnica in guida d’onda che non dà limitazioni sullo spessore del laminato posto all’interno della guida.

Si provvederà in seguito a verificarne la validità nel caso di spessori contenuti attraverso dei simulatori commerciali.

1.1 Guide rettangolari caricate con lamine dielettriche.

Per alcune configurazioni, risulta sufficientemente semplice determinare le autofunzioni e le costanti di propagazione (casi da (a) a (d)).

Figura 3 Configurazioni varie per lamine in guida

Nel caso (e), invece, è più complesso determinare una forma chiusa per il calcolo delle suddette quantità.

In generale, i modi di propagazione in queste configurazioni non sono solo E o H, ma una combinazione dei due. Un’eccezione è costituita dai modi Hn0 con campo elettrico parallelo alla lamina e nessuna variazione dei campi lungo l’interfaccia aria-dielettrico. Per guide d’onda rettangolari chiuse con un ‘tappo’ di dielettrico ( vedi figura 4), si trova facilmente che le condizioni al contorno sull’interfaccia aria-dielettrico possono essere soddisfatte solo da modi E o solo da modi H.

Figura 4 Guida d'onda rettangolare chiusa con un tappo dielettrico.

Le configurazioni in figura 3 sono sostanzialmente uguali, con la differenza che l’interfaccia aria-dielettrico giace sul piano xz o sul piano yz mentre in figura 4 l’interfaccia si trova sul piano xy. Questo suggerisce che i modi base di propagazione possono essere ricavati dai potenziali

Hertziani di tipo magnetico e elettrico che abbiano le singole componenti normali all’interfaccia aria-dielettrico [3].

Questo è, in effetti, il caso e i modi risultanti possono essere classificati come E o H rispetto alla normale all’interfaccia ( asse x o asse y). Dal potenziale hertziano magnetico, si ottiene la soluzione per un modo che non ha alcuna componente di campo elettrico normale all’interfaccia;

il campo elettrico così giace nel piano longitudinale dell’interfaccia e il modo viene chiamato modo LSE (longitudinal-section electric).

Analogamente, dal potenziale hertziano elettrico, si ricava un modo senza alcuna componente di campo magnetico normale all’interfaccia;

questo modo viene chiamato LSM (longitudinal-section magnetic).

Il calcolo di questi modi è abbastanza elaborato e varia a seconda della configurazione che è sotto analisi.

Per un potenziale hertziano magnetico Πh =axψh( )x,y e^−γz(modo LSE), i campi elettrico e magnetico sono dati da:

( )²

0 h,

j

E = − ωμ ∇×Π

( )³ ( ) 0² h h^,

r

h x k

H =∇×∇×Π =ε Π +∇∇⋅Π

[

]

2

2 + + =

∇_tψ_h γ ε_r x k ψ_h ( )⁴

mentre per un potenziale hertziano elettrico Πe =axψe( )x,y e^−γz(modo LSM), i campi sono:

( ) ,

0 r x e

j

H = ωε ε ∇×Π

( )⁵

E =∇×∇×Πe =εr( )x k0²Πe +∇∇⋅Πe^, ( )⁶

[

]

2

2 + + =

∇_tψ_e γ ε_r x k ψ_e ( )⁷

In queste espressioni, si indica con ( )ε_r ^x la costante dielettrica in guida che assumerà valore unitario nel tratto di guida vuota e κ nel tratto occupato dal dielettrico; la terza espressione, in entrambi i casi, rappresenta una formula chiusa per il calcolo delle autofunzioni dei due modi. Determinando queste autofunzioni è possibile valutare la costante di propagazione in guida. Per determinare le autofunzioni e gli autovalori dei modi suddetti bisogna conoscere l’esatta posizione del dielettrico all’interno della guida. Nonostante questo è comunque estremamente complesso valutare queste autofunzioni e quindi si utilizzano dei metodi che forniscono valori approssimati di queste autofunzioni. Il metodo qui proposto è il metodo di Rayleigh-Ritz [3].

1.2 Metodo di RAYLEIGH-RITZ

Il metodo di Rayleigh-Ritz è uno schema sistematico per determinare un set finito di autofunzioni e autovalori approssimati da una equazione differenziale data e dalle sue condizioni al contorno. Queste sono ottenute per mezzo di un integrale variabile, i cui valori stazionari corrispondono agli autovalori reali quando le vere autofunzioni vengono impiegate nell’integrando.

Per i modi LSM, le equazioni non rimangono valide all’interfaccia dove la costante dielettrica cambia in modo discontinuo mentre, per i modi LSE, sia ψh che δψh δ^x sono continue e quindi le equazioni date per questi modi sono valide all’interfaccia. Si analizza il caso di una guida d’onda rettangolare parzialmente riempita di dielettrico e si suppone che la costante dielettrica sia ε_r =ε_r( )^x , ovvero una funzione continua di x , specificando la reale discontinuità della costante dielettrica solo una volta che siano state determinate le equazioni.

Non vengono fornite le espressioni degli autovalori e autofunzioni in quanto, molto spesso tutto ciò che è richiesto è la costante di propagazione per il modo dominante; proprio questo è quello che interessa ai fini del nostro studio.

Inizialmente si forniscono le espressioni per la costante di propagazione nei casi in figura e poi si analizzerà il problema vero e proprio.

Figura 5 (a) Lamina di dielettrico posizionata lungo la parete inferiore della guida. (b) Lamina di dielettrico posizionata lungo la parete laterale della guida

Nel caso di figura 5(a), ovvero con variazione lungo la direzione x in accordo con sin(π^{x a}), la costante di propagazione è data da :

¹²

2 2 2

0 2 4 ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −

−

= P

T P Q P

γ Q ( )⁸

in cui :

Q = T₁₁P₀₀ + T₀₀P₁₁ – 2T₀₁P_{01 ,}

( )

|P| = P11P00 – P²01 ,

( )

|T| = T11T00 – T²01 ,

( )

Gli elementi matriciali Pij sono dati da :

1 , 1 1

1 1

0 0

1

00

∫ ∫ ∫

⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ −

−

=

= ⁻

b

r r t

r r b

o

r b

dy t b dy

b dy

P ε

ε ε

ε ε ( )¹²

, 2 sin

cos 1 cos 1

2

0 0

01 b

dy t b dy y

b y P b

r r

b t

r

r π

π ε ε π

ε ε

π −

−

⎟⎟ =

⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ −

−

=

∫ ∫

2 . 2 sin

cos 1 cos 1

2

00

0 0

2 2

11 b

P t b dy

dy y b

y P b

r r

b t

r

r π

πε ε π

ε ε

π −

−

⎟⎟ =

⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ −

−

=

∫ ∫

Gli elementi T_ij possono essere trovati come segue:

2,

0 00 2

00 P k

T a ⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝

=⎛π

( )¹⁵

01,

2

01 P

T a ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

=⎛π

( )¹⁶

(

)

2 2

0 11 2

11 P P

k b a P

T ⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝ +⎛

⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛π π

( )¹⁷

Grazie alla simmetria del modo dominante, sfruttando il teorema delle immagini , l’espressione precedentemente fornita per la costante di propagazione è applicabile anche per le configurazioni in figura 6.

Figura 6 Guide caricate simmetricamente ottenute dalla teoria delle immagini

Per la configurazione in figura 5(b) la costante di propagazione per il modo dominante ( il modo H10) è data da:

( )

4 2

12 2

22 11 22

2 11

1 ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ + −

+ −

= T T T T T

γ ( )18

dove T =T11T22 −T12². Gli elementi T_ij si ricavano come segue :

( )

2 sin 1 ₀² 1

2 0 2

11 ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ −

−

−

⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

a t a

k t a k

T _r π

ε π

π ( )¹⁹

( )

1 ₀² 1

12 ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

−

= a

t a

k t

T _r π

π π

ε π ( )20

( )

4 1 1

4 ₀² ₀²

2

22 ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ −

−

−

⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

a t a

k t a k

T _r π

ε π

π ( )²¹

Figura 7 Giunzione tra un tratto di guida vuoto e uno carico di dielettrico

Ai fini del nostro studio, è interessante il caso in figura 7, in cui la lamina di dielettrico è posizionata nel centro della guida. Per la valutazione della costante di propagazione si utilizza la seguente formula:

( )

4 , 2

12 2

33 11 33

2 11

1 ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ + −

+ −

= T T T T T

γ ( )²²

in cui T =T11T33−T13² e :

( ) 1 sin ,

1 ₀²

2 0 2

11 ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ +

−

−

⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝

=⎛

a t a

k t a k

T _r π

ε π

π ( )²³

( )

2 sin sin 1

1 ₀² 1

13 ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

−

= a

t a

k t

T _r π

π π

ε π ( )²⁴

( ) 3 ,

3 sin 1 1

9 ₀² ₀²

2

33 ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ +

−

−

⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

a t a

k t a k

T _r π

ε π

π ( )²⁵

Proprio questo caso sarà quello che verrà studiato per il problema della valutazione delle caratteristiche dielettriche di laminati sottili.