RISOLUZIONE 1. Per determinare

RISOLUZIONE 1. Per determinare

Z 2x 1

x ² + x 6 dx osserviamo che x ² + x 6 = (x + 3)(x 2) e che risulta 2x 1

x ² + x 6 = A

x + 3 + B

x 2 = A(x 2) + B(x + 3)

(x + 3)(x 2) = (A + B)x + 3B 2A x ² + x 6 per A = ⁷ ₅ e B = ³ ₅ . Ne segue che

Z 2x 1

x ² + x 6 dx = ⁷ ₅

Z 1

x + 3 + ³ ₅ 1

x 2 dx = ⁷ ₅ log |x + 3| + ³ ₅ log |x 2 | + c 2. Per calcolare

Z x 2

x ² + 6x + 9 dx osserviamo che D(x ² +6x+9) = 2x+6 e che x ² +6x+9 = (x+3) ² . Quindi

Z x 2

x ² + 6x + 9 dx =

Z x 2 + 4

x ² + 6x + 9 dx = ¹ ₂

Z 2x + 6

x ² + 6x + 9 dx 5

Z 1

(x + 3) ² dx

= ¹ ₂ log(x ² + 6x + 9) + 5 x + 3 + c

In alternativa, potremo determinare due costanti A, B 2 R tali che x 2

x ² + 6x + 9 = A

x + 3 + B (x + 3) ² Otteniamo che A = 1 e B = 5 e dunque

Z x 2

x ² + 6x + 9 dx =

Z 1

x + 3 dx

Z 5

(x + 3) ² dx = log |x + 3| + 5 x + 3 + c

3. Calcoliamo

Z x ³ 4

x ² + 4x + 4 dx. Operiamo innanzitutto la divisione tra polinomi ottenendo x ³ 4

x ² + 4x + 4 = x 4 + 12x + 12 x ² + 4x + 4 da cui

Z x ³ 4

x ² + 4x + 4 dx = Z

x 4 dx + 12

Z x + 1

x ² + 4x + 4 dx = ¹ ₂ x ² 4x + 12

Z x + 1 x ² + 4x + 4 dx Per calcolare l’ultimo integrale procediamo come nel precedente esempio osservato che D(x ² + 4x + 4) = 2x + 4 e che x ² + 4x + 4 = (x + 2) ² . Si ha allora

12

Z x + 1

x ² + 4x + 4 = 6

Z 2x + 4

x ² + 4x + 4 dx 12

Z 1

(x + 2) ² dx = 6 log(x ² + 4x + 4) + 12 x + 2 + c da cui concludiamo

Z x ³ 4

x ² + 4x + 4 dx = ¹ ₂ x ² 4x + 6 log(x ² + 4x + 4) + 12

x + 2 + c

4. Per calcolare

Z 1

x ² + 4x + 7 dx osserviamo che x ² + 4x + 7 = (x + 2) ² + 3 = 3 ✓⇣

x+2 p 3

⌘ 2

+ 1

◆ e quindi

Z 1

x ² + 4x + 7 dx = ¹ ₃

Z 1

⇣ x+2 p 3

⌘ 2

+ 1

dx = p ¹ 3

Z _p ¹

⇣ 3 x+2 p

3

⌘ 2

+ 1

dx = p ¹

3 arctan ^x+2 p 3 + c

5. Per calcolare

Z x ² + 2x

x ² 2x + 3 dx procediamo innanzitutto eseguendo la divisione tra polinomi.

Abbiamo

x ² + 2x

x ² 2x + 3 = 1 + 4x 3 x ² 2x + 3 da cui Z x ² + 2x

x ² 2x + 3 dx = Z

dx +

Z 4x 3

x ² 2x + 3 dx = x +

Z 4x 3

x ² 2x + 3 dx Per calcolare l’ultimo integrale procediamo come nei precedenti esempi. Abbiamo

Z 4x 3

x ² 2x + 3 dx = 2

Z 2x 2

x ² 2x + 3 dx +

Z 1

x ² 2x + 3 dx

= 2 log(x ² 2x + 3) +

Z 1

x ² 2x + 3 dx Osservato che x ² 2x + 3 = (x 1) ² + 2 = 2 ✓⇣

x 1 p 2

⌘ 2

+ 1

◆

otteniamo

Z 1

x ² 2x + 3 dx = ¹ ₂

Z 1

⇣ x 1 p 2

⌘ 2

+ 1

dx = ^p ₂ ²

Z _p ¹

⇣ 2 x 1 p

2

⌘ 2

+ 1

dx = p ¹

2 arctan ^{x 1} p 2 + c Ne concludiamo che

Z 4x 3

x ² 2x + 3 dx = x + 2 log(x ² 2x + 3) + p ¹

2 arctan ^{x 1} p 2 + c

6. Per calcolare

Z x ² 2x 2

x ³ x ² 4x + 4 dx osserviamo che x ³ x ² 4x + 4 = (x 1)(x 2)(x + 2).

Determiniamo quindi A, B, C 2 R tali che x ² 2x 2

x ³ x ² 4x + 4 = A

x 1 + B

x + 2 + C x 2 Otteniamo A = 1 e B = C = ¹ ₂ e quindi

Z x ² 2x 2

x ³ x ² 4x + 4 dx =

Z 1

x 1 + ¹ ₂ 1 x + 2

1 2

1

x 2 dx = log |x 1|+ ¹ ₂ log |x+2| ¹ ₂ log |x 2|+c

7. Calcoliamo

Z x + 3

x ³ + 5x ² + 9x + 5 dx. Abbiamo che x ³ + 5x ² + 9x + 5 = (x + 1)(x ² + 4x + 5) e dunque determiniamo A, B, C 2 R tali che

x + 3

x ³ + 2x ² 5x 6 = A

x + 1 + Bx + C x ² + 4x + 5 Otteniamo A = B = 1 e C = 2 da cui

Z x + 3

x ³ + 5x ² + 9x + 5 dx =

Z 1

x + 1 dx

Z x + 2 x ² + 4x + 5 dx

= log |x + 1| ¹ ₂

Z 2x + 4 x ² + 4x + 5 dx

= log |x + 1| ¹ ₂ log(x ² + 4x + 5) + c

8. Per calcolare

Z x ³ x ² + 5x + 8

(x ² + 4) ² dx utilizziamo la decomposizione fornita dalla formula di Her- mite. Cerchiamo quindi A, B, C, D 2 R tali che

x ³ x ² + 5x + 8

(x ² + 4) ² = Ax + B x ² + 4 +

✓ Cx + D x ² + 4

◆ ₀

= Ax + B

x ² + 4 + Cx ² 2Dx + 4C (x ² + 4) ²

= (Ax + B)(x ² + 4) Cx ² 2Dx + 4C (x ² + 4) ²

= Ax ³ + (B C)x ² + (4A 2D)x + 4B + 4C (x ² + 4) ²

Otteniamo che A = B = 1, C = ³ ₂ e D = ¹ ₂ . Pertanto si ha Z x ³ + 8

(x ² + 4) ² dx =

Z x + 1 x ² + 4 + ¹ ₂

✓ 3x 1 x ² + 4

◆ ₀ dx =

Z x + 1

x ² + 4 dx + ¹ ₂ 3x 1 x ² + 4 Abbiamo poi

Z x + 1

x ² + 4 dx = ¹ ₂

Z 2x

x ² + 4 dx + ¹ ₂

Z 1

2

( ^x ₂ ) ² + 1 dx = ¹ ₂ log(x ² + 4) + ¹ ₂ arctan ^x ₂ + c e dunque Z x ³ x ² + 5x + 8

(x ² + 4) ² dx = ¹ ₂ log(x ² + 4) + ¹ ₂ arctan ^x ₂ + ¹ ₂ ^{3x 1} _x

+4 + c 9. Calcoliamo

Z p x 2

p x + 1 dx operando la sostituzione t = p

x, da cui x = t ² e dx = 2t dt. Abbiamo Z p x 2

p x + 1 dx =

Z t 2

t + 1 2t dt = 2

Z t ² 2t t + 1 dt = 2

Z

t 3 dt + 6

Z 1

t + 1 dt

= t ² 6t + 6 log |t + 1| + c = x 6 p

x + 6 log( p

x + 1) + c

10. Calcoliamo

Z dx

2 p

x 1 + x + 2 . Posto t = p

x 1, da cui x = t ² + 1 e dunque dx = 2t dt, dalla formula di integrazione per sostituzione otteniamo

Z dx

2 p

x 1 + x + 2 =

Z 2t

2t + t ² + 1 + 2 dt =

Z 2t

t ² + 2t + 3 dt

=

Z 2t + 2

t ² + 2t + 3 dt 2

Z 1

(t + 1) ² + 2 dt

= log(t ² + 2t + 3) p 2

Z _p ¹

2

( ^t+1 p

2 ) ² + 1 dt

= log(t ² + 2t + 3) p

2 arctan ^t+1 p 2 + c

= log(x + 2 p

x 1 + 2) p

2 arctan ^{p x 1+1} p

2 + c

11. Calcoliamo Z

x ² sin x dx integrando per parti due volte. Otteniamo Z

x ² sin x dx = x ² cos x + 2 Z

x cos x dx = x ² cos x + 2

✓ x sin x

Z sin x

◆

= x ² cos x + 2(x sin x + cos x) + c

12. Per determinare Z

x log(1+x ² ) dx operiamo la sostituzione x ² = t, e quindi x = p

t e dx = ¹

2 p t dt, e integriamo poi per parti. Si ha

Z

x log(1 + x ² ) dx = Z p

t log(1 + t) 1 2 p

t dt = ¹ ₂ Z

log(1 + t) dt

= ¹ ₂

✓

(1 + t) log(1 + t) Z

dt

◆

= ¹ ₂ ((1 + t) log(1 + t) t) + c

= ¹ ₂ ((1 + x ² ) log(1 + x ² ) x ² ) + c

13. Per calcolare

Z log(2x)

x(log ² x + 1) dx operando innanzitutto la sostituzione t = log x, e quindi dt =

1

x dx, osservato che log(2x) = log 2 + log x otteniamo Z log x + log 2

x(log ² x + 1) dx =

Z t + log 2 t ² + 1 dt = ¹ ₂

Z 2t

t ² + 1 dt + log 2

Z 1

t ² + 1 dt

= ¹ ₂ log(t ² + 1) + log 2 arctan t + c = ¹ ₂ log(log ² x + 1) + log 2 arctan log x + c

14. Per calcolare

Z 1

x p

x ² + 4 dx operiamo la sostituzione x = 2 sinh t da cui dx = 2 cosh t dt. Es- sendo cosh ² t = 1 + sinh ² t si ha

Z 1

x p

x ² + 4 dx =

Z 2 cosh t

4 sinh t cosh t dt = ¹ ₂

Z 1

sinh t dt

Per calcolare l’ultimo integrale ricordiamo che sinh t = ^e

₂ ^e

e dunque

Z 1

sinh t dt =

Z 2e ^t e ^2t 1 dt =

Z e ^t e ^t 1

e ^t

e ^t + 1 dt = log |e ^t 1 | log(e ^t + 1) + c Dato che t = settsinh ^x ₂ = log( ^x ₂ +

q x

4 + 1) possiamo concludere che

Z 1

x p

x ² + 4 dx = ¹ ₂ log |e ^t 1 | ¹ ₂ log(e ^t +1)+c = ¹ ₂ log | ^x ₂ + q x

4 + 1 1 | ¹ ₂ log(( ^x ₂ + q x

4 + 1+1)+c

15. Per calcolare Z ₁

0

1

e ^x + e ^2x dx determiniamo innanzitutto una primitiva di 1 e ^x + e ^2x . Operando la sostituzione t = e ^x , da cui x = log t e dx = ¹ _t dt otteniamo

Z 1

e ^x + e ^2x dx =

Z 1

t(t + t ² ) dt =

Z 1

t + 1 t ² + 1

t + 1 dt

= log |t| ¹ _t + log |t + 1| + c = x _e ¹

+ log(e ^x + 1) + c Dalla formula fondamentale del calcolo integrale otteniamo allora

Z 1 0

1

e ^x + e ^2x dx = ⇥

x _e ¹

+ log(e ^x + 1) ⇤ 1

0 = e ¹ + log(e + 1) log 2

16. Calcoliamo Z ⇡

0 | sin x ¹ ₂ | cos x dx. Osserviamo innanzitutto che per la propriet`a additiva dell’integrale abbiamo

Z ⇡

0 | sin x ¹ ₂ | cos x dx = Z

0

(sin x ¹ ₂ ) cos x dx+

Z

⇡ 6

(sin x ¹ ₂ ) cos x dx Z ⇡

5⇡

6

(sin x ¹ ₂ ) cos x dx Poich´e

Z

(sin x ¹ ₂ ) cos x dx = Z

sin x cos x dx ¹ ₂ Z

cos x dx = ¹ ₂ sin ² x ¹ ₂ sin x + c possiamo concludere che

Z ⇡

0 | sin x ¹ ₂ | cos x dx = ¹ ₂ ⇥

sin ² x sin x ⇤

0 + ¹ ₂ ⇥

sin ² x sin x ⇤

⇡ 6

1 2

⇥ sin ² x sin x ⇤ ⇡

5⇡

6

= ¹ ₂ ( ( ¹ ₄ ¹ ₂ ) + ( ¹ ₄ ¹ ₂ ) ( ¹ ₄ ¹ ₂ ) + ( ¹ ₄ ¹ ₂ )) = 0

17. Per calcolare Z ₁

0

arctan p

x dx, operiamo la sostituzione t = p

x, da cui x = t ² e dx = 2tdt, e quindi integriamo per parti. Otteniamo

Z 1 0

arctan p x dx =

Z 1 0

2t arctan t dt = ⇥

t ² arctan t ⇤ 1 0

Z 1 0

t

1+t

dt

= ^⇡ ₄ Z 1

0

1 _1+t ¹

dt = ^⇡ ₄ [t arctan t] ¹ ₀ = ^⇡ ₄ 1 + ^⇡ ₄ = ^⇡ ₂ 1

18. Per determinare Z 1/2

1/4

(x 1) log(x x ² ) dx integriamo per parti Z 1/2

1/4

(x 1) log(x x ² ) dx = Z 1/2

1/4

(x 1) log(1 x) dx + Z 1/2

1/4

(x 1) log x dx

= h _{(x 1)}

2 log(1 x) i 1/2 1/4

Z _1/2

1/4

(x 1) ² 2(1 x) dx + h

(x 1)

2 log x i 1/2 1/4

Z 1/2 1/4

(x 1) ² 2x dx

= ₁₆ ⁷ log 2 + ¹ ₂ Z 1/2

1/4

x 1 dx + ₁₆ ⁷ log 2 ¹ ₂ Z 1/2

1/4

x 2 + ¹ _x dx

= ⁷ ₈ + ¹ ₂

19. Calcoliamo Z ₁

0

log ² (2x + 1)

(2x + 1) ³ dx. Operando la sostituzione 2x + 1 = y (e quindi dx = ¹ ₂ dy) e integrando per parti due volte si ottiene

Z log ² (2x + 1)

(2x + 1) ³ dx = ¹ ₂

Z log ² y

y ³ dy = ¹ ₂

✓

1 2

log ² y y ² +

Z log y y ³ dy

◆

= ¹ ₂

✓

1 2

log ² y y ²

1 2

log y y ² + ¹ ₂

Z 1 y ³ dy

◆

= ¹ ₂

✓

1 2

log ² y y ²

1 2

log y y ²

1 4

1 y ²

◆ + c

= 2 log ² y + 2 log y + 1

8y ² + c

= 2 log ² (2x + 1) + 2 log(2x + 1) + 1

8(2x + 1) ² + c

Quindi

Z 1 0

log ² (2x + 1)

(2x + 1) ³ dx = ¹ _{8 72} ¹ (2 log ² 3 + 2 log 3 + 1) 20. Per calcolare

Z ₁

0

(2 x) p

x ² 4x + 3 dx osserviamo innanzitutto che x ² 4x + 3 = (x 2) ² 1. Posto allora x 2 = sinh t, da cui x = 2 + sinh t e dx = cosh tdt, posto a = settsinh( 2) e b = settsinh( 1), osservato che cosh a =

q

sinh ² settsinh( 2) 1 = p 3 e cosh b =

q

sinh ² settsinh( 1) 1 = 0 otteniamo Z ₁

0

(2 x) p

x ² 4x + 3 dx = Z _b

a

sinh t cosh ² t dt = ⇥ ₁

3 cosh ³ t ⇤ b

a = ¹ ₃ (cosh ³ b cosh ³ a) = p 3

21. L’area della regione A del piano compresa tra l’asse delle ascisse e il grafico di f (x) = p x per x 2 [0, 2], essendo p

x 0 in [0, 2], `e data dall’integrale Z 2

0

p x dx = h

2 3 x

i 2

0 = ² ₃ p

8 = ^{4 p} ₃ ²

22. Per calcolare l’area della regione B del piano compresa tra il grafico della funzione f (x) = sin x e la bisettrice y = x con x 2 [0, ^⇡ ₂ ], dato che sin x + x 0 per ogni x 2 [0, ^⇡ ₂ ] dobbiamo calcolare l’integrale

Z

0

sin x + x dx = h

cos x + ^x ₂

i

0 = ^⇡ ₈

+ 1

23. Per determinare l’area della regione C compresa tra i grafici delle funzioni f (x) = x ³ e g(x) = p x con x 2 [0, 2] occorre calcolare

Z ₂

0

x ³ p

x dx = Z ₁

0

p x x ³ dx Z ₂

1

p x x ³ dx

Abbiamo che Z p

x x ³ dx = ² ₃ x

¹ ₄ x ⁴ + c e quindi

Z 1 0

p x x ³ dx Z 2

1

p x x ³ dx = h

2

3 x

¹ ₄ x ⁴ i 1 0

h 2

3 x

¹ ₄ x ⁴ i 2

1 = ²⁹ ₆ ⁴ ₃ p 2

24. Osservato che l’intersezione della retta y = 1 con l’ellisse 2x ² + y ² = 2 sono i punti ( ± ^{p 1} ₂ , 1), il settore ellittico {(x, y) 2 R ² | 2x ² + y ²  2, 0  y  1} `e la regione del piano compresa tra la retta y = 1 e il grafico della funzione

f (x) =

( 1 se |x|  ^{p 1} ₂ p 2 2x ² se p ¹

2 < |x|  1 nell’intervallo [ 1, 1].

Per simmetria abbiamo che area(D) = p ²

2 + 2 Z 1

p1 2

p 2 2x ² dx = p ² 2 + 2 p

2 Z 1

p1 2

p 1 x ² dx = p ² 2 + p

2 h x p

1 x ² + arcsin x i 1

p1 2

= ^p ₂ ² + ^p ₄ ² ⇡