Sensori Segnali Rumore - Prof. S. Cova - appello 19/07/ P1 pag.1

PROBLEMA 1 Quadro dei dati

SEGNALE IMPULSO ESPONENZIALE 1

( )

1 exp

p p

p p

i Q t t

T T

 

= − 

 

ovvero ¹

p p1

p

I Q

j Tω

= +

con T_P =1µs

PREAMPLIFICATORE

v 10

S = nV Hz unilatera (cioè 7,1

2

v vb

S = S = nV Hz bilatera)

0, 01

Si = pA Hz unilatera (cioè 0, 007

2

i ib

S = S = pA Hz bilatera)

CL = 1 pF (totale, inclusa quella del rivelatore)

DISTURBO DA INTERFERENZA ELETTROMAGNETICA

Disturbo sinusoidale con frequenza f_d = 400 kHz nota con incertezza ±1%

con ampiezza all’ingresso del preamplificatore Vd ≈ 100 µV

(A) FILTRAGGIO OTTIMO

ωncNoise corner _{v 2} ⁱ ₂

nc L

S S ω C

= _nc ⁱ

L v

S

C S

ω = 1

L v 1

nc

nc i

C S

T s

S µ

=ω = =

Rumore totale

2 2

2 2 2 2

i 1 nc

T v v

L nc

S T

S S S

C T

ω

ω ω

= + = +

Filtro ottimo = Filtro che “sbianca” il rumore seguito da filtro adattato al segnale.

Filtro sbiancante

differenziatore con costante di tempo T_nc

1

nc b

nc

H j T

j T ω

= ω

+ quindi

2 2 2

2 2

1

nc b

nc

H T

T ω

= ω

+ il rumore in uscita è S_v Con segnale di corrente deltiforme i_δ =Qpδ

( )

( )

1 exp

p

L nc

Q t

v t

C T

δ

 

= − 

  ^ovvero

1 1

p nc

L nc

V Q T

C j T

δ ⁼ + ω

Quindi con segnale esponenziale p p ¹¹

( )

p p

i Q t t

T T

 

= − 

 

il segnale in uscita del filtro sbiancante è

( )

( )

b

p p

v v t t t

T T

δ

 

= ∗ − 

 

ovvero

( )

b 1

p

V V

δ ω j T

= ⋅ ω

+ Nel caso attuale il calcolo risulta semplificato perchè T_nc =T_p

nella trasformata di Laplace si ha

( )

1 1 1

1 1 1

p nc p nc

b

L nc p L nc

Q T Q T

V = C sT sT = C sT

+ + +

e nel tempo

( ) ( )

( )

1 1

1 exp 1 exp exp

p nc p nc p nc

b

L nc nc p p L nc nc L

Q T t t Q T t t Q T

v t t b t

C T T T T C T T C

 

   

= − ∗ − = − =

b(t) è la forma del segnale normalizzato ad area unitaria

( )

nc nc

t t

b t T T

 

= − 

 

che ha il suo massimo b_max al tempo t=T_nc

( )

max

1 b b Tnc

= = e

Filtro adattato

Funzione peso = segnale normalizzato ad area unitaria

( ) ( )

wm t =b t Rapporto S/N ottimo

( ) ( ) ( )

( )

2

2

b m p nc

op L vb

vb m

b t dt v t w t dt Q T

S

N S w t dt C S

∞ ∞

−∞ −∞

∞

−∞

  = =

 

 

∫ ∫

∫

e calcolando ²

( )

2 1

exp 4

nc nc nc

t t

b t dt dt

T T T

∞ ∞

−∞ −∞

 

= −  =

 

∫ ∫

si ottiene

1

4 2

p nc p nc

op L nc vb L v

Q T Q T

S

N C T S C S

  = =

 

 

La minima carica misurabile Q_pmin,op corrisponde a S/N=1 e vale in Coulomb

17 min,

2 ^v 1, 41 10 14,1

p op L

nc

Q C S C aC

T

= ≈ ⋅ − =

ovvero in numero di elettroni

min,

min, ^{p op} 88

e op

N Q elettroni

= q ≈

(B) GATED INTEGRATOR COME APPROSSIMAZIONE DEL FILTRO ADATTATO B1) Scelta intuitiva del tempo di integrazione TG

Confrontiamo la funzione peso ottimale w_op(t)=b(t) con la funzione peso del GI normalizzata ad area unitaria wG(t) e cerchiamo di individuare un tempo di integrazione TG che faccia di wG(t) una buona approssimazione di b(t). Notando che

• b(t) raggiunge al tempo t=Tnc l’ampiezza massima _max 1 1 2, 72

nc nc

b =eT = T

⋅ poi scende esponenzialmente con la costante di tempo T_nc , quindi ha approssimativamente una durata ≈ 3Tnc

• w^G(t) ha ampiezza costante 1

TG da t=0 a t=TG

si può stimare che utilizzando un valore di T_G compreso nell’intervallo 2,5T_nc <T_G <3, 5T_nc

si ottiene una w_G(t) che ha ampiezza e durata abbastanza simili all’ottimo b(t). Scegliamo

G 3 nc

T = T B2) S/N ottenibile con il GI in funzione del T^G utilizzato Il segnale all’uscita del GI è

( ) ( ) ( )

0 0 0

1 exp

G G G

T p nc T p nc T

G b G

L G L G nc nc

Q T Q T t t

u v t w t dt b t dt dt

C T C T T T

 

= = = − 

 

∫ ∫ ∫

Integrando per parti ricaviamo

0^TG 2 exp 1 1 ^G exp ^G

nc nc nc nc

T T

t t

T T dt T T

     

− = − + −

     

     

∫

quindi

1 1 exp

p nc G G

G

L G nc nc

Q T T T

u C T T T

    

 

=  − +  − 

    

 

Il rumore in uscita dal GI è

2

2

v G

G

n S

= T Perciò

2

2 1 1 exp

2 1 1 exp

2

2 1 1 exp

p G

G nc G G

G L G v nc nc

G

p nc nc G G

L v G nc nc

nc G G

op G nc nc

Q T

u T T T

S

N n C T S T T

Q T T T T

C S T T T

T T T

S

N T T T

    

 

  = =  − +  − =

 

      

    

 

=  − +  − =

    

 

    

 

 

=   − +  − 

Con calcoli numerici verifichiamo che:

con TG=3Tnc si ottiene 0, 924

G op

S S

N N

  =  

   

    perciò minima carica misurabile

min, 17

min, 1,53 10

0,924

p op

p G

Q =Q ≈ ⋅ ⁻ C

con TG=2,5Tnc si ottiene 0, 901

G op

S S

N N

  =  

   

    perciò minima carica misurabile

min, 17

min, 1,56 10

0,901

p op

p G

Q =Q ≈ ⋅ ⁻ C

con T_G=3,5T_nc si ottiene 0, 923

G op

S S

N N

  =  

   

    perciò minima carica misurabile

min, 17

min, 1,53 10

0, 923

p op

p G

Q =Q ≈ ⋅ ⁻ C

Risulta confermato che l’approssimazione ottenuta scegliendo TG=3Tnc è buona, dato che permette di arrivare al 92,4% dell’ottimo. Si vede inoltre che la scelta non è critica, dato che con altri valori di TG nell’intervallo considerato 2,5T_nc<T_G <3, 5T_ncsi ottengono risultati quasi equivalenti.

(C) MODIFICHE DEL FILTRAGGIO PER ATTENUARE IL DISTURBO A RADIOFREQUENZA

Il disturbo indotto all’ingresso del preamplificatore viene molto poco filtrato dal filtro sbiancante, che è un passa-alto con frequenza di taglio f_b inferiore a quella del disturbo

1 159

b 2

nc

f kHz

πT

= ≈

Il GI invece esegue un filtraggio passabasso con taglio equivalente a quello di un passabasso RC con costante di tempo RC=TG/2, quindi con frequenza di taglio passabasso

1

G G

f ⁼πT ^{cioè fG ≈106kHz con TG}=^3Tnc =³µ^s

Inoltre la funzione peso del GI ha zeri alle frequenze multiple intere di 1/T_G

zn G

f n

=T cioè f_zn = ⋅n 333kHz con T_G=3T_nc =3µs

Se si modifica T_G in modo da far corrispondere alla frequenza del disturbo uno zero della funzione peso, in linea di principio l’effetto del disturbo può essere annullato. Nel nostro caso possiamo ottenere questo risultato riducendo lievemente il tempo di integrazione a

G 2, 5 nc

T = T che porta il primo zero della funzione a ₁ 1

z 400 d

G

f kHz f

=T = =

Abbiamo già verificato che questa scelta di T_G = 2,5µs fornisce un buon S/N, poco inferiore a quello ottenibile con la prima scelta TG =3µs.

Nella realtà ci può essere però uno scostamento ∆f tra lo zero fz della funzione peso e la frequenza del disturbo per diversi motivi (perchè la frequenza del disturbo è nota con incertezza; perchè il T_G non è controllato esattamente, ecc.). In questi casi il disturbo non viene annullato, ma solo ridotto, cioè passato con un peso residuo che occorre stimare.

Considerando che lo scostamento relativo sia piccolo ∆f << f_z si può valutare con approssimazione al primo ordine il disturbo residuo all’uscita del GI causato dallo scostamento in frequenza:

( )

sin _G

G

G

W fT

fT π

= π quindi al primo ordine 1

z

G

f f z

dW

df ₌ = f

Possiamo concludere che il peso residuo ∆W_G dato al disturbo è pari allo scostamento relativo in frequenza

G z

W f f

∆ ≈∆

nel nostro caso quindi ∆W_G≈ ± 0, 01 e si può avere un disturbo residuo in uscita dal GI

d G 1

V ⋅ ∆W ≈ µV

Possiamo confrontarlo con il rumore all’uscita del GI che è

2 4, 5

2

v G

G

n S V

T µ

= ≈ con T_G =2, 5µs

e vediamo che il disturbo residuo risulta inferiore al rumore e quindi è accettabile