Studiare la funzione f (z

(1)

Prova scritta di METODI MATEMATICI della FISICA INTRODUZIONE

Corso di Laurea in Fisica

COMPITO 1

26 MARZO 2007 Nome...

Matricola...

1. Studiare la funzione

f (z) = z − i/2 z − 3/2i

1

cos iπz e calcolare l’integrale

I_h = I

γh

dz f (z) (dove γ `e il cammino indicato in figura.

(2)

2. Calcolare la trasformata di Fourier della funzione

f (x) = e^iπx x²+ 4

e trovare la funzione g(x) la cui trasformata di Fourier `e la funzione

G(k) = k 2

r π

2e^−2|k−π|

3. Classificare le singolarit`a dell’equazione differenziale (x + 1)x²y⁰⁰ + (x + α)xy⁰ − α(x + 1)²y = 0

e determinare α in modo che la soluzione generale sia regolare in x = 0.

(3)

COMPITO 2

Matricola...

f (z) = z − i z − 2i

1

sin iπz e calcolare l’integrale

I_h = I

γh

dz f (z)

(dove γ `e il cammino indicato in figura. oppure `e il rettangolo di vertici (−1, ih), (1, ih), (1, −ih), (−1, −ih), h ∈ R) al variare di h nell’interval- lo (0, 3/2].

f (x) = e^−iπx x²+ 1

G(k) = k 2

r π

2e^−|k+π|

(4)

3. Classificare le singolarit`a dell’equazione differenziale

(z + 1)²zy⁰⁰ + (z + 1 − β)(z + 1)y⁰ + βz²y = 0

e determinare β in modo che la soluzione generale sia regolare in z = 0.

Per un valore generico non intero di β, determinare l’andamento delle soluzioni nell’intorno dei punti fuchsiani.

(5)

COMPITO 3

Matricola...

f (z) =

z + i/2 z + 3/2i

1

cos iπz e calcolare l’integrale

I_h = I

γh

dz f (z)

(dove γ `e il cammino indicato in figura. oppure `e il rettangolo di vertici (−1, ih), (1, ih), (1, −ih), (−1, −ih), h ∈ R) al variare di h nell’interval- lo (0,2].

f (x) = e^2iπx x²+ 4

G(k) = k 2

r π

2e^−2|k+2π|

(6)

3. Classificare le singolarit`a dell’equazione differenziale (x + 1)x²y⁰⁰ + (x − β)xy⁰ + β(x + 1)²y = 0

e determinare β in modo che la soluzione generale sia regolare in x = 0.

Per un valore generico non intero di β, determinare l’andamento delle soluzioni nell’intorno dei punti fuchsiani.

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COMPITO 4

Matricola...

f (z) = z + i z + 2i

1

sin iπz e calcolare l’integrale

I_h = I

γh

dz f (z)

(dove γ `e il cammino indicato in figura. oppure `e il rettangolo di vertici (−1, ih), (1, ih), (1, −ih), (−1, −ih), h ∈ R) al variare di h nell’interval- lo (0, 3/2].

f (x) = e^iπx x²+ 4

G(k) = k 2

r π

2e^−2|k−π|

(8)

3. Classificare le singolarit`a dell’equazione differenziale

(x − 1)²xy⁰⁰ + (x − 1 + α)(x − 1)y⁰ − αx²y = 0

e determinare α in modo che la soluzione generale sia regolare in x = 0.

Per un valore generico non intero di α, determinare l’andamento delle soluzioni nell’intorno dei punti fuchsiani.