UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PADOVA. I appello di Fisica Generale 2 25 Gennaio 2022

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PADOVA

Corsi di Laurea in Ingegneria Elettronica ed Ingegneria dell’Informazione I appello di Fisica Generale 2 – 25 Gennaio 2022

Cognome _____________________ Nome _________________________ Matricola _______________

Problema 1

Un condensatore è formato da due semicilindri metallici di altezza indefinita, affacciati completamente l'uno all'altro. Si vuole avere una capacità per unità di lunghezza in vuoto 𝐶/ℎ = 24 pF/m.

1) Sapendo che il raggio del cilindro esterno vale 𝑅_!= 4.78 cm, quanto deve essere il raggio interno R1?

2) Se un elettrone, rilasciato con velocità nulla appena sopra la superficie inferiore, caricata negativamente, raggiunge la superficie superiore con energia cinetica Ec = 20 keV, quanto vale la differenza di potentiale 𝑉_" fra le armature?

3) Quanto vale l’intensità F della forza che subisce l’elettrone quando si trova al centro fra i due cilindri?

La metà destra del condensatore viene riempita con un dielettrico di costante dielettrica relativa al vuoto 𝜀_#= 4.

4) Se il condensatore ha altezza h = 10 m, quanto lavoro W fa il generatore per ristabilire l’equilibrio?

Si trascurino gli effetti di bordo.

1) Trascurando gli effetti di bordo, il campo elettrico risulta comunque radiale, per cui basta invertire la formula della capacità del condensatore cilindrico, tenendo conto che è un semicilindro, quindi il fattore 2 sparisce:

𝐶

ℎ= 𝜋𝜀"

ln(𝑅_!⁄ )𝑅_$ da cui, invertendo il logaritmo,

𝑅$= 𝑅_! 𝑒^{' (%&⁄!}

= 1.5 cm 2) Si conserva l’energia per cui

𝐸* = 𝑒𝑉" ⟹ 𝑉"=𝐸_*

𝑒 = 20 kV

3) Il campo elettrico, dalla legge di Gauss applicata a un semicilindro che inglobi quello interno, ha la superficie utile (la parte di curva attraversata dalle linee di campo) che vale la metà di quella del cilindro intero, perciò:

𝐸𝜋𝑟ℎ = 𝑞

𝜀" ⟹ 𝐸 = 𝑞

𝜋𝑟ℎ𝜀"= 𝐶𝑉_"

𝜋𝑟ℎ𝜀_"=𝐶 ℎ

𝑉_"

𝜋𝑟𝜀_"

per cui nella posizione

𝑟 =𝑅_$+ 𝑅_!

2 = 3.14cm la forza subita dall’elettrone è

𝐹 = 𝑒𝐸 = 𝑒𝐶 ℎ

𝑉_"

𝜋𝑟𝜀"= 8.79 × 10^+$,N

4) Il sistema diventa un parallelo di due condensatori ciascuno dei quali ha armature di superficie pari ad un quarto di un cilindro, per cui la sua capacità per unità di lunghezza diventa

𝐶′

ℎ =1 2

𝜋𝜀"

ln(𝑅_!⁄ )𝑅_$ +1 2

𝜋𝜀"𝜀#

ln(𝑅_!⁄ )𝑅_$ =1 2 𝐶

ℎ(1 + 𝜀_#) = 60pF/m

Metà dell’energia erogata dal generatore viene dissipata per effetto Joule, per cui il lavoro fatto dal generatore è pari al doppio della variazione di energia immagazzinata nel condensatore. Usando la formula per l'energia immagazzinata in un condensatore

𝑊 = 2 K1 2L𝐶′

ℎ −𝐶

ℎN 𝑉"!O ℎ = 0.144 J

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Problema 2

Una spira quadrata di lato a = 20cm e massa m = 100g si trova, come mostrato in figura, al di fuori di una regione R in cui agisce un campo magnetico di modulo B = 0.5T perpendicolare al piano della spira.

All’istante t0 = 0, la spira inizia ad entrare in tale regione con velocità v0 = 3m/s. Al tempo t1 è completamente penetrata in R ed ha velocità v1. Sapendo che la carica che ha attraversato la spira nel tempo t1 è q = 250mC, determinare:

1) la resistenza della spira 𝑅

2) la potenza elettrica nella spira all’istante t0

in cui ha appena iniziato a penetrare in R ed ha velocità v0 P

2) l’energia dissipata nella spira nel tempo t1 𝑊_-

1) La carica circolata si ottiene dalla legge di Felici osservando che il flusso iniziale è nullo 𝑞 =𝜙_.

𝑅 =𝐵𝑎^!

𝑅 = 0.4C per cui la resistenza della spira è

𝑅 =𝐵𝑎^!

𝑞 = 0.08Ω 2) La corrente indotta all’istante iniziale è

𝑖 =𝐵𝑎𝑣"

𝑅 = 3.75A per cui la potenza elettrica appena entrata in R è

𝑃 = 𝑅𝑖^!= 1.125W

3) L’equazione del moto della spira mentre entra nella regione R è 𝐹 = −𝑖𝑎𝐵 = 𝑚𝑎

Sostituendo l’espressione della corrente indotta e passando dal dominio del tempo al dominio dello spazio

−𝐵𝑎𝑣

𝑅 𝑎𝐵 = 𝑚𝑑𝑣 𝑑𝑡

𝑑𝑥 𝑑𝑥

−𝐵^!𝑎^!𝑣

𝑅 = 𝑚𝑣𝑑𝑣

Semplificando e separando le variabili 𝑑𝑥

𝑚𝑑𝑣 = −𝐵^!𝑎^! 𝑅 𝑑𝑥

R v

B

a v

Osservando che fra l’istante t0 e l’istante t1 la spira si sposta della distanza a, si ha, integrando l’equazione

_ 𝑚𝑑𝑣^/"

/_!

= − _ 𝐵^!𝑎^! 𝑅 𝑑𝑥

0

"

da cui si ottiene

𝑣$= 𝑣"−𝐵^!𝑎¹

𝑚𝑅 = 2.75 m/s e quindi l’energia dissipata è

𝑊_-= |∆𝐸_*| =1

2𝑚𝑣_"^!−1

2𝑚𝑣_$^!= 0.072 J

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Problema 3

Un fascio di microonde piane non polarizzate che si propaga in aria, incide, con angolo di incidenza 𝜃_$= 45°, su un vetro molto sottile di indice di rifrazione n = 1.45. La potenza del fascio riflesso dal vetro è 𝑃_#= 5W Determinare:

1) la potenza dell’onda incidente sulla superficie del vetro P0

2) la potenza dell’onda trasmessa oltre il vetro Pt

Il fascio trasmesso viene successivamente riflesso, con angolo di incidenza 𝜃_!= 15° da uno specchio ideale (coefficiente di riflessione R = 1) e successivamente interferisce nel punto P col raggio riflesso dal vetro.

La distanza fra specchio e P è a = 2cm e le onde hanno frequenza 𝜈 = 10GHz Determinare, considerando che la sottigliezza del vetro comporta che lo spostamento del raggio trasmesso è trascurabile:

3) la potenza in P PP

1) L’angolo di rifrazione sul vetro è

𝜃2= sin^+$jsin 𝜃_$

𝑛 l = 29.19°

Quindi i coefficienti di riflessione sono

⎩⎪

⎨

⎪⎧𝑅%=tan^!(𝜃_$− 𝜃2)

tan^!(𝜃_$+ 𝜃₂)= 0.00643 𝑅3=sin^!(𝜃_$− 𝜃₂)

sin^!(𝜃_$+ 𝜃2)= 0.08021 e quindi la potenza della onda riflessa è

𝑃_#= 𝑅₃𝑃_"

2 + 𝑅_%𝑃_"

per cui 2

𝑃"= 2𝑃_#

𝑅3+ 𝑅%= 115.41W 2) La potenza del fascio trasmesso oltre la prima interfaccia è

(𝑃₂)_$= (1 − 𝑅₃)𝑃"

2 + (1 − 𝑅_%)𝑃"

2 e oltre la seconda interfaccia

S

P vetro

specchio

1

2

a

𝑃₂= (1 − 𝑅₃)^!𝑃_"

2 + (1 − 𝑅_%)^!𝑃_"

2 = 105.78W

3) L’onda riflessa sulla prima interfaccia percorre la distanza 𝑟_$= 𝑎 2⁄ , mentre l’onda trasmessa percorre la distanza 𝑟_!= 𝑎√3 2 + 𝑎⁄ . Ambedue i fasci subiscono una riflessione su un mezzo più denso, per cui, l’eventuale sfasamento 𝜋 in riflessione non si deve considerare La differenza di fase totale in P fra le onde interferenti è quindi

𝛿 =2𝜋

𝜆 𝑎 L1 +√3 2 −1

2N =𝑎𝜈

𝑐 w1 + √3x = 5.722rad

Essendo le sezioni dei fasci interferenti le stesse, perché si tratta sempre di fasci nello stesso mezzo, si ha

𝑃₄= 𝑃₂+ 𝑃_#+ 2{𝑃₂𝑃_#cos 𝛿 = 149.7W