UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PADOVA Corsi di Laurea in Ingegneria Elettronica e Ingegneria dell’Informazione I appello di Fisica Generale 2 – 28 Gennaio 2020

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Corsi di Laurea in Ingegneria Elettronica e Ingegneria dell’Informazione I appello di Fisica Generale 2 – 28 Gennaio 2020

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Problema 1

Il circuito rappresentato in figura è costituito da un generatore ideale di tensione ℇ = 12000 𝑉, una resistenza R = 50 kW, da due condensatori piani, 𝐶)= 𝐶*= 𝐶 identici la cui capacità combinata eguaglia un terzo di quella della sfera metallica con raggio 𝑟,= 0.43 m, posta molto lontano dagli altri condensatori. Al tempo 𝑡2= 0 si chiude un interruttore, in serie al resistore, che viene riaperto quando il sistema è carico all'80%.

a) Quanto tempo t ha impiegato il sistema a caricarsi?

b) Quanto vale il campo elettrostatico 𝐸5⃗ sulla superficie della sfera all’istante t?

c) Quale sarà il nuovo potenziale 𝑉,7 sulla sfera se si riempie completamente uno dei condensatori con un dielettrico di costante dielettrica relativa al vuoto 𝜀9= 6?

a) La sfera è un condensatore di capacità

𝐶,= 4𝜋𝜀2𝑅,= 47.82pF

La serie formata dai condensatori 1 e 2 è pari ad un terzo di 𝐶, e posta in parallelo con la sfera, per cui la capacità equivalente è

𝐶_B =4

3𝐶_,= 63.76pF Il sistema forma un circuito RC con costante di tempo

𝜏 = 𝑅𝐶B = 3.19µs

Dalla funzione che esprime la differenza di potenziale ai capi del condensatore equivalente di un circuito RC, V(𝑡) = ℇ I1 − 𝑒^LNOMPQ

si ricava

V(𝑡)

ℇ = I1 − 𝑒^LNOMPQ

in cui la condizione che si raggiunga l'80\% della carica equivale a dire che il rapporto 𝑉/ℇ = 0.8. Estraendo il logaritmo, si ha

𝑡 = −𝜏 ln U1 −𝑉(𝑡)

ℇ V ~5.13µs

b) Il potenziale sulla sfera è 𝑉_,= 0.8ℇ = 9600V e quindi il campo elettrico ha modulo E = 𝜎

𝜀₂= 𝑞,

4𝜋𝑟_,^*𝜀2= 𝑉,

𝑟_, = 22.3kV/m per il teorema di Coulomb, con direzione radiale uscente dalla sfera.

c) La serie dei due condensatori ha capacità

𝐶_hi9ji= 𝐶₎𝐶_* 𝐶)+ 𝐶*=𝐶

2=𝐶_, 3 per cui

C =2

3𝐶,= 31.88pF Inserendo il dielettrico (per esempio in 𝐶₎) la serie diventa

𝐶′_hi9ji= 𝜀₉𝐶₎𝐶_*

𝜀9𝐶)+ 𝐶*= 𝜀₉

𝜀9+ 1C = 27.33pF e la nuova capacità del sistema è

𝐶⁷_B = 𝐶′_hi9ji+ 𝐶_,= 75.15pF per cui, rimanendo la carica costante, il potenziale è

𝑉′_,=𝐶B𝑉,

𝐶′_B = 8145V

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Problema 2

La spira mostrata in figura è immersa in un campo magnetico uniforme orientato in direzione normale al piano della spira. All’istante 𝑡2= 0 la spira ha forma quadrata di lato a = 20cm e si muove con velocità costante 𝑣 = 0.8m/s come in figura.

La resistenza R =30 W è molto maggiore della resistenza degli altri conduttori nel circuito. Mentre la spira si muove il campo magnetico diminuisce linearmente con rapidità 𝛤 = 𝑑𝐵 𝑑𝑡⁄ = −0.03T/s. Sapendo che nell’intervallo di tempo Δ𝑡 = 0.5s scorre nella spira la carica 𝑞 = 80 µC, determinare:

a) il modulo del campo magnetico 𝐵2 all’istante 𝑡2

b) il modulo della forza esterna F applicata, all’istante 𝑡2+ Δ𝑡, al lato mobile per mantenere la velocità costante c) l’energia U dissipata per effetto Joule nell’intervallo di tempo Δ𝑡

N.B. per il punto (c) limitarsi alla formula finale senza fare il calcolo numerico

a) Applicando la legge di Felici:

𝑞 =Φ_j− Φ_w

𝑅 =𝐵2𝑎^*− (𝐵2+ Γ∆𝑡)(𝑎 + 𝑣∆𝑡)𝑎

𝑅 = −𝐵2𝑎𝑣∆𝑡 + Γ𝑎^*∆𝑡 + Γ𝑎𝑣∆𝑡^* 𝑅

per cui

𝐵₂= −Γ𝑎^*∆𝑡 + Γ𝑎𝑣∆𝑡^*+ 𝑞𝑅

𝑎𝑣∆𝑡 = 3.75µT

b) La forza da applicare deve essere eguale ed opposta alla forza dovuta alla seconda legge elementare di Laplace che frena il lato mobile. In modulo pertanto

𝐹 = 𝑖𝑎(𝐵2+ Γ∆𝑡)

Il flusso del campo magnetico attraverso il circuito in un istante t qualsiasi è Φ = (𝐵₂+ Γ𝑡)(𝑎 + 𝑣𝑡)𝑎 = 𝐵₂𝑎^*+ 𝐵₂𝑎𝑣𝑡 + Γ𝑎^*𝑡 + Γ𝑎𝑣𝑡^* per cui la corrente che circola è

𝑖 =1 𝑅

𝑑Φ

𝑑𝑡 =𝐵₂𝑎𝑣 + Γ𝑎^*+ 2Γ𝑎𝑣𝑡 e la forza, valutata all’istante Dt è 𝑅

𝐹 =𝐵2𝑎𝑣 + Γ𝑎^*+ 2Γ𝑎𝑣Δ𝑡

𝑅 𝑎(𝐵₂+ Γ∆𝑡) = 4.05 × 10^L~N c) L’energia dissipata si ottiene integrando

𝑈 = • 𝑅𝑖^*𝑑𝑡

‚M

2 = • 𝑅 U𝐵₂𝑎𝑣 + Γ𝑎^*+ 2Γ𝑎𝑣𝑡

𝑅 V

*

𝑑𝑡

‚M

2

ed è quindi

𝑈 =(𝐵₂𝑎𝑣)^*+ 2𝐵2𝑎^*𝑣Γ+(Γ𝑎^*)^*

𝑅 Δ𝑡 +2𝐵2𝑎^*𝑣^*Γ + 2𝑎^ƒ𝑣Γ^*

𝑅 ∆𝑡^*+(2Γ𝑎𝑣)^*

3𝑅 ∆𝑡^ƒ= 1.33 × 10^L„J

R B v a

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Problema 3

Tre sorgenti di onde sferiche, sincrone, monocromatiche, coerenti e della medesima potenza P, sono poste ai vertici di un triangolo equilatero di lato d = 10 cm. Se sono accese solo le sorgenti 𝑆) e 𝑆* nel punto Q, al centro fra le due sorgenti, si misura un massimo d’intensità 𝐼ˆ= 10 W/m^*. Se sono accese solo le sorgenti 𝑆) e 𝑆ƒ si osserva invece un minimo d’interferenza. Calcolare:

a) la potenza delle sorgenti P

b) il valore più basso di frequenza per cui ciò avviene n

c) il valore massimo del campo elettrico in Q se tutte le sorgenti sono accese E

a) Le onde emesse dalle sorgenti 𝑆₎ e 𝑆_*, poiché percorrono lo stesso cammino, hanno la stessa intensità in Q 𝐼₎= 𝐼_*= 𝑃

4𝜋 ‹𝑑2Œ^*

= 𝑃

𝜋𝑑^* Pertanto l’intensità dovuta alla loro interferenza costruttiva è

𝐼ˆ= 4𝐼)= 4𝑃

𝜋𝑑^* ⟹ 𝑃 =𝐼_ˆ𝜋𝑑^*

4 = 78.5 mW

b) Se sono accese le sorgenti 𝑆₎ e 𝑆_ƒ si ottiene un minimo d’interferenza in Q se la minima differenza di fase fra le onde è p per cui

𝛿 =2𝜋 𝜆 U𝑑√3

2 −𝑑 2V = 𝜋 dove

𝜈 =𝑐

𝜆= 𝑐

𝑑“√3 − 1”= 4.1 × 10^•Hz c) Le intensità delle onde emesse in Q sono

𝐼₎= 𝐼_*= 𝑃

𝜋𝑑^*= 2.5 W e 𝐼_ƒ= 𝑃 4𝜋 U𝑑 √3

2 V

*= 𝑃

3𝜋𝑑^*= 0.833 W

Le onde generate dalle sorgenti 𝑆) e 𝑆* sono in fase fra loro e sfasate di p con 𝑆ƒ per cui 𝐼 = 4𝐼₎+ 𝐼_ƒ− 2˜4𝐼₎𝐼_ƒ= 5.06 W

e quindi l’ampiezza del campo elettrico è

𝐸 = ˜2𝑍₂𝐼 = š2𝐼

𝜀₂𝑐= 61.7 V/m Oppure col calcolo diretto

𝐸₎= ˜2𝑍₂𝐼₎ 𝐸_*= ˜2𝑍₂𝐼_* 𝐸_ƒ= ˜2𝑍₂𝐼_ƒ 𝐸_)*= 2𝐸₎

𝐸 = ›𝐸_)*^* + 𝐸_ƒ^*− 2𝐸)*𝐸ƒ

S₃ Q

S₂ S₁

d