UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PADOVA Corsi di Laurea in Ingegneria Elettronica e Ingegneria dell’Informazione II appello di Fisica Generale 2 – 14 Febbraio 2020

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Corsi di Laurea in Ingegneria Elettronica e Ingegneria dell’Informazione II appello di Fisica Generale 2 – 14 Febbraio 2020

Cognome _____________________ Nome _________________________ Matricola _______________

Problema 1

Due condensatori piani di capacità 𝐶"= 4pF e 𝐶'= 2pF sono collegati come in figura con un generatore di forza elettromotrice ℇ = 200V; i condensatori hanno armature di superficie 𝐴 = 100cm^'. All’istante 𝑡1= 0, un corpo puntiforme, di carica q = 4.1nC e massa 𝑚 = 3 × 10^5"6kg, entra nel condensatore 𝐶" in corrispondenza dell’armatura superiore con velocità 𝑣⃗1= 𝑣1𝑢<⃗= = (1.2 × 10^@m/s)𝑢<⃗=. Il corpo esce dal condensatore in corrispondenza dell’armatura inferiore e immediatamente entra in una zona in cui esiste un campo magnetico uniforme di modulo 𝐵 = 3 mT, rientrando successivamente nel secondo condensatore. Trascurando gli effetti di bordo, calcolare:

1) la velocità con cui il corpo esce dal condensatore 𝐶" (modulo 𝑣"e angolo q formato con l’asse x) 2) l’intervallo di tempo 𝑡' trascorso dal corpo nella regione del campo magnetico

Sapendo che il corpo urta una delle armature del condensatore dopo l’intervallo di tempo 𝑡G= 3 µs dall’istante in cui esce dalla regione di campo magnetico, determinare:

3) il lavoro netto W fatto dalla forza elettrostatica esercitata dal condensatore 𝐶'

1) Appena entra in 𝐶" il corpo si trova immerso in un campo elettrostatico 𝐸<⃗"=𝜎_"

𝜀1𝑢<⃗K= 𝑞_"

𝜀1𝐴𝑢<⃗K= (3.01kV/m)𝑢<⃗K

dove la carica sulle armature è quella portata a regime dal generatore di forza elettromotrice 𝑞"= 𝑞'= 𝐶ℇ = 𝐶_"𝐶_'

𝐶"+ 𝐶'ℇ = 267pC perché i due condensatori sono collegati in serie.

Il corpo si muove quindi con accelerazione 𝑎⃗_"= 𝑞

𝑚𝐸_"𝑢<⃗_K= 𝑞𝑞"

𝑚𝜀₁𝐴𝑢<⃗_K= (4.12 × 10^Rm/s^')𝑢<⃗_K percorrendo tutto il condensatore 𝐶_" la cui distanza fra le armature è

𝑑 = 𝜀₁𝐴

𝐶_"= 2.21cm e acquistando quindi una componente di velocità verticale

𝑣",K= U2𝑎"𝑑 = V2𝑞𝑞_"𝑑

𝑚𝜀1𝐴 = 1.35 × 10^@ m/s mentre quella orizzontale resta invariata. La velocità in uscita ha quindi modulo

𝑣"= X𝑣_",K^' + 𝑣₁^'= 1.81 × 10^@ m/s formando con l’asse x l’angolo

𝜃 = tan^5"^𝑣",K

𝑣1_ = 48.36°

2) Il corpo percorre con velocità costante in modulo un arco di lunghezza s di una circonferenza di raggio 𝑅 =𝑚𝑣_"

𝑞𝐵 = 4.41 m

E

B

v₀ C₁

C₂

x

y

che sottende fra uscita da 𝐶" e ingresso in 𝐶' l’angolo 𝛼 = 𝜋 − 2𝜃 per cui il tempo trascorso in campo magnetico è

𝑡_'= 𝑠

𝑣"=𝑅(𝜋 − 2𝜃)

𝑣" = 3.54 × 10^5@s

3) Il corpo entra nel condensatore 𝐶_' con velocità 𝑣⃗_'= −𝑣₁𝑢<⃗₌+ 𝑣_",K𝑢<⃗_K subendo l’effetto di un campo elettrostatico

𝐸<⃗'= −𝐸<⃗"

per cui solo la componente y della velocità varia, raggiungendo l’armatura con valore 𝑣G,K= 𝑣",K+ 𝑎'𝑡G= 𝑣",K+𝑞

𝑚𝐸'𝑡G= 𝑣",K− 𝑞𝑞_"

𝑚𝜀1𝐴𝑡G= 1.15 × 10^G m/s Il lavoro netto compiuto dal campo elettrico 𝐸<⃗_' è quindi

𝑊 =1

2𝑚𝑣G,K' −1

2𝑚𝑣",K' = −2.71 × 10^5g J

R

v₂ v₁ θ π/2−θ θ

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Problema 2

Un filo è avvolto come in figura, facendo un giro e mezzo di raggio R = 3.7 cm, prima di uscire di nuovo in modo rettilineo. La circuitazione del campo magnetico lungo la linea G di figura vale 𝛬j= 9 × 10^5g Tm.

a) Quanta corrente i scorre nel circuito?

b) Qual è il valore del modulo del campo magnetico B nel centro O della spira circolare? Per il calcolo si utilizzi l’angolo 𝜃1 della figura.

c) Un piccolo dipolo magnetico 𝑚 = 10^5G Tm^' viene tenuto al centro della spira con una inclinazione del suo momento di dipolo magnetico di p rispetto al campo. Rilasciandolo, oscilla di moto armonico. Sapendo che ha un momento di inerzia di 𝐼 = 7.7 × 10^5R kgm^' qual è la sua massima velocità angolare w?

a) La linea G concatena due volte la corrente, per cui 𝛬j= 2𝜇1𝑖 ⟹ 𝑖 = 𝛬j

2𝜇₁= 0.358A

b) Il campo magnetico è somma di tre fili percorsi da corrente che costituiscono i lati di un quadrato più il contributo dovuto ad una spira e mezza.

Utilizzando l’angolo in figura, 𝜃1= tan^5"(0.5) = 0.4636 rad, e la prima legge di Laplace abbiamo per i moduli dei campi magnetici

𝐵"= 𝜇1𝑖

4𝜋𝑅s sen𝜃𝑑𝜃 = 𝜇1𝑖 4𝜋𝑅ucos𝜋

2−cos(𝜋 − 𝜃1)w

x5y_z

x '⁄ = 8.66 × 10^5gT

𝐵_'= 𝜇₁𝑖

4𝜋𝑅s sen𝜃𝑑𝜃 = 𝜇₁𝑖

4𝜋(2𝑅)ucos |𝜋

2− 𝜃₁} − cos |𝜋

2+ 𝜃₁}w = 4.33 × 10^5gT

x '⁄ ~y_z x '⁄ 5y_z

𝐵G= 𝜇1𝑖

4𝜋𝑅s sen𝜃𝑑𝜃 = 𝜇1𝑖

4𝜋𝑅ucos 𝜃₁− cos𝜋

2w = 8.66 × 10^5gT

x '⁄

y_z

𝐵@=3 2

𝜇₁𝑖

2𝑅 = 9.12 × 10^5•T Tutti i campi sono concordi (entranti nel foglio) per cui

𝐵 = |𝐵_"+ 𝐵_'+ 𝐵_G+ 𝐵_@| = 1.13 × 10⁵⁶T

c) L'energia potenziale di un dipolo in un campo magnetico è data dal prodotto scalare:

𝑈 = −𝑚<<⃗ ⋅ 𝐵<⃗ = −𝑚𝐵 cos 𝜋 = 𝑚𝐵 = 1.13 × 10^5ƒJ

Essendo l'energia potenziale tutta convertita in energia cinetica di rotazione posso scrivere

𝑈 =1 2𝐼𝜔^' da cui si ricava la velocità angolare

O i

2R

2R

2R

O i /2

O i /2

/2–

/2+

O i /2

–

𝜔 = V2𝑈

𝐼 = 1.71 rad/s

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Problema 3

Un sistema ottico, mostrato in sezione in figura, è costituito da due sottili lastre trasparenti ortogonali tra loro di indice di rifrazione 𝑛'= 1.1, tra le quali è versato un liquido trasparente con indice di rifrazione 𝑛" = 1.2, e un filtro polarizzatore P con l'asse di polarizzazione verticale.

La radiazione incidente, che si propaga lungo la verticale, è polarizzata linearmente con eguali componenti lungo le direzioni s e p, con valore massimo di campo elettrico totale E = 0.1 V/m. Dopo la prima riflessione la radiazione si propaga in orizzontale.

a) Quanto vale il modulo 𝐵′‡ del campo magnetico dopo la prima riflessione?

b) Quanto vale l'intensità I della luce dopo il polarizzatore?

c) Quanto vale il campo elettrico 𝐸"‡ dopo la seconda riflessione?

N.B. Si ricordino i coefficienti di Fresnel

𝑟_Š= −sin(𝜃Œ− 𝜃•) sin(𝜃_Œ+ 𝜃_•) 𝑟_x=tan(𝜃Œ− 𝜃•)

tan(𝜃Œ+ 𝜃•)

a) La luce incidente dentro al liquido si scompone in 𝐸<⃗ = 𝐸 cos𝜋

4𝑢<<<<⃗ + 𝐸sin_x 𝜋 4𝑢<<<<⃗ _Š

perché dato che ha uguali componenti nelle due direzioni l'angolo di polarizzazione deve essere di 𝜋 4⁄ . Da cui 𝐸x= 𝐸Š= 𝐸

√2= 0.0707V/m

Anche l'angolo di incidenza rispetto alla normale vale 𝜃Œ= 𝜋 4⁄ , perciò, usando i coefficienti di Fresnel, dopo la prima riflessione, si ha:

𝐸′_x= 𝑟_x𝐸_x=tan(𝜃Œ− 𝜃•) tan(𝜃_Œ+ 𝜃_•)

𝐸

√2~0.65mV/m 𝐸′_Š= 𝑟_Š𝐸_Š= −sin(𝜃_Œ− 𝜃_•)

sin(𝜃_Œ+ 𝜃_•) 𝐸

√2~6.78mV/m avendo usato come angolo di trasmissione, quello ricavato dalla legge di Snell

𝜃•= sin^5"𝑛_"sin 𝜃_Œ

𝑛' ~50.5°

da cui il campo magnetico vale 𝐵′_‡=𝐸′_‡

𝑣 =𝑛_"

𝑐 U𝐸′_x^'+ 𝐸′_Š^' = 2.72 × 105""T

b) Il polarizzatore è verticale, pertanto lascia passare la radiazione lungo il piano p ed elimina la componente s 𝐼 = 𝑛_"

2𝑍1𝐸′x' = 6.75 × 10^5"1W/m^' c) La seconda riflessione avviene tutta lungo il piano p, perciò

𝐸"_x= 𝑟_x𝐸′_x~5.98µV/m

avendo usato lo stesso coefficiente di cui sopra.

P