Coordinate e Sistemi di Riferimento

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Coordinate e Sistemi di Riferimento

Sistemi di riferimento

Quando vogliamo approcciare un problema per risolverlo quantitativamente, dobbiamo per prima cosa stabilire in che sistema di riferimento vogliamo ragionare. I sistemi di riferimento possono essere di due tipi: Inerziali e Non Inerziali.

Sistemi di riferimento inerziali

I sistemi di riferimento inerziali sono quelli in cui vale il primo principio della dinamica, cioè che fanno riferimento ad un punto che si muove a velocità costante e non soggetto a rotazioni. Sistemi di riferimento facenti riferimento a punti che si muovono alle stessa velocità sono detti equivalenti. In essi vale inoltre il 2°

principio della dinamica.

Sistemi di riferimento inerziali

Sono sistemi di riferimento in cui non vale il primo principio della dinamica, cioè facenti riferimento a punti soggetto ad accelerazione o soggetti a rotazioni. In essi il secondo principio della dinamica va modificato aggiungendo alla somma delle forza una Forza Apparente (se il punto è sottoposto ad un’accelerazione A, la forza apparente sarà

𝐹

_𝐴

= 𝑚 ∙ 𝐴

Coordinate

Per scegliere il sistema di riferimento bisogna porre attenzione anche al numero dei gradi di libertà del problema:

Caso di 1 dimensione

Questo è il caso più semplice, ci sono diversi tipi di problema in cui si può presentare, basta una coordinata per definire il sistema e questa può essere una lunghezza o un’angolo:

Esempio 1: oggetto in moto su un percorso rettilineo, coordinata: distanza da un punto predefinito

Esempio2: oggetto in moto su una circonferenza, coordinata: angolo formato con una semiretta predefinita

Caso di 2 dimensioni

Questo è il caso in cui solitamente un oggetto è libero di muoversi in un piano.

Ci sono 2 tipi di coordinate: cartesiane e polari.

In quelle cartesiane si definiscono 2 assi non paralleli (ma non necessariamente perpendicolari) fissi e le

coordinate del punto sono le due lunghezze (x,y) delle proiezioni di quel punto sui 2 assi.

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FIG1: Sistema di riferimento non ortogonale

FIG2: Sistema di riferimento Ortogonale

Nelle coordinate polari invece la posizione di un punto viene indicata usando un punto, detto origine, un

asse orientato passante per l’origine e due coordinate: una distanza e un angolo. La distanza (𝜌) è la

distanza dell’oggetto dall’origine, e l’angolo (𝜑) è quello formato dal segmento oggetto-origine con il verso

positivo dell’asse.

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FIG3: Coordinate Polari

Per passare da coordinate cartesiane (ortogonali) a polari e viceversa si usano le seguenti formule:

𝑥 = 𝜌 ∙ cos(𝜑) 𝑦 = 𝜌 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜑) 𝜌 = �𝑥

²

+ 𝑦

²

𝜑 = 𝐴𝑟𝑐𝑇𝑎𝑛 � 𝑦

𝑥 �

Caso di 3 dimensioni

Questo è il caso in cui un oggetto è libero di muoversi nello spazio. Ci sono 3 tipi di coordinate: cartesiane, cilindriche e sferiche.

Le coordinate cartesiane nello spazio funzionano come nel piano, solo che invece che 2 assi se ne usano 3

(sempre non paralleli), e si hanno così 3 coordinate (x,y,z).

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FIG4: Coordinate Cartesiane nello spazio

Nelle coordinate cilindriche si prende come riferimento un punto, detto origine e da due assi cartesiani orientati perpendicolari fra loro che si incontrane nell’origine. La posizione del punto sarà indicata da 3 coordinate, di cui 2 lunghezze e un angolo. Una delle due lunghezza (z) sarà definita dalla lunghezza della proiezione del punto su uno dei due assi. Definita questa, si prende la proiezione del punto sul piano perpendicolare all’asse sul quale abbiamo preso la posizione, e lì calcoliamo le coordinate polari definendo così una coordinata di lunghezza (𝜌) e una angolare (𝜑).

FIG5: Coordinate Cilindriche

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Nelle coordinate sferiche la posizione di un punto viene definita da 2 angoli (𝜑 𝑒 𝜃) e una distanza (𝜌). La distanza è quella da un punto predefinito, detto origine, mentre i due angoli sono riferiti a 2 piani

predefiniti.

FIG6: Coordinate Sferiche

Per passare da un sistema di coordinate all’altro si usano le seguenti formule:

Da Cilindrico a rettangolare e viceversa:

𝑥 = 𝜌 ∙ cos(𝜑) 𝑦 = 𝜌 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜑)

𝑧 = 𝑧 𝜌 = �𝑥

²

+ 𝑦

²

𝜑 = 𝐴𝑟𝑐𝑇𝑎𝑛 � 𝑦

𝑥 � Da Sferica a Cartesiano e viceversa:

𝑥 = 𝜌 ∙ sen(θ) ∙ cos(𝜑) 𝑦 = 𝜌 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜃) ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜑)

𝑧 = 𝜌 ∙ cos (𝜃) 𝜌 = �𝑥

²

+ 𝑦

²

+ 𝑧

²

𝜑 = 𝐴𝑟𝑐𝑇𝑎𝑛 � 𝑦 𝑥 �

𝜃 = 𝐴𝑟𝑐𝐶𝑜𝑠 � 𝑧

�𝑥

²

+ 𝑦

²

+ 𝑧

²

�

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