FISICA GENERALE

FISICA GENERALE

MODULO A

CORSO H – BARI Moti relativi

Dott. Giannuzzi Giuseppe

Argomenti della lezione

Moti relativi (cenni):

- Sistemi di riferimento in moto relativo traslatorio e rotatorio - Teorema delle velocità e accelerazioni relative

- Sistemi di riferimento inerziali. Relatività Galileiana - Sistemi di riferimento non inerziali. Forze apparenti

Moti relativi

Sappiamo che la velocità di un corpo dipende dal sistema di riferimento (sinora considerato fermo). Prima di considerare come un fenomeno viene osservato da due sistemi di riferimento in moto l’uno rispetto all’altro, vediamo come si cambia sistema di riferimento. Dalla figura scegliamo un qualunque punto P nello spazio.

Indicando con:

- 𝑂 l’origine del sistema di riferimento fisso 𝑥𝑦𝑧, quindi 𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧

- 𝑂’ l’origine del sistema di riferimento mobile 𝑥’𝑦’𝑧’, quindi 𝑃 𝑥′, 𝑦′, 𝑧′

Vogliamo ottenere le relazioni tra posizione, velocità ed accelerazione del punto P misurate nel sistema fisso ed in quello mobile. Indichiamo con:

- 𝑂𝑃 = Ԧ𝑟_𝑃 il raggio vettore che individua P rispetto ad 𝑂 - 𝑂𝑂′ = Ԧ𝑟_𝑂^′ il vettore che individua 𝑂’ rispetto ad 𝑂

- 𝑂′𝑃 = Ԧ𝑟_𝑃^′ il vettore che individua P rispetto ad 𝑂’

Ԧ𝑟_𝑃 = 𝑥 ෡𝑖 + 𝑦 ෡𝑗 + 𝑧 ෡𝑘 (nel S.d.R. fisso) Ԧ𝑟_𝑃^′ = 𝑥′ ෡𝑖^′ + 𝑦′ ෡𝑗^′ + 𝑧′ ෡𝑘′ (nel S.d.R. mobile) Ԧ𝑟_𝑂^′ = 𝑥_𝑂′ ෡𝑖 + 𝑦_𝑂′𝑗 + 𝑧෡ _𝑂′𝑘 (nel S.d.R. fisso)෡

Moti relativi

La relazione che lega i tre raggi vettori è

𝑂𝑃 = 𝑂𝑂′ + 𝑂′𝑃 Ԧ𝑟_𝑃 = Ԧ𝑟_𝑂^′ + Ԧ𝑟_𝑃^′

Il punto P è in movimento lungo una generica traiettoria. Quindi i raggi vettori variano nel tempo ma istante per istante mantengono la relazione Ԧ𝑟_𝑃 = Ԧ𝑟_𝑂^′ + Ԧ𝑟_𝑃^′.

Consideriamo il sistema mobile in moto rispetto al sistema fisso: l’origine del sistema di riferimento mobile si muove con velocità Ԧ𝑣_𝑂^′ rispetto al sistema di riferimento fisso. Inoltre gli assi cartesiani del sistema mobile ruotano rispetto al sistema fisso con la velocità angolare 𝜔.

Se deriviamo la relazione dei raggi vettori rispetto al tempo si ottiene

𝑑

𝑑𝑡 Ԧ𝑟_𝑃 = ^𝑑

𝑑𝑡 Ԧ𝑟_𝑂^′ + ^𝑑

𝑑𝑡 Ԧ𝑟_𝑃^′ Nel sistema fisso allora:

𝑑

𝑑𝑡 Ԧ𝑟_𝑃 = Ԧ𝑣_𝑃

𝑑

𝑑𝑡 Ԧ𝑟_𝑂^′ = Ԧ𝑣_𝑂^′

𝑑

𝑑𝑡 Ԧ𝑟_𝑃^′ = Ԧ𝑣_𝑃^′ ???

Teorema delle velocità relative

Dimostreremo che ^𝑑

𝑑𝑡 Ԧ𝑟^′ = Ԧ𝑣^′ + 𝜔 × 𝑟′

quindi da ^𝑑

𝑑𝑡 Ԧ𝑟_𝑃 = ^𝑑

𝑑𝑡 Ԧ𝑟_𝑂^′ + ^𝑑

𝑑𝑡 Ԧ𝑟_𝑃^′ ne deriva il teorema delle velocità relative:

𝑣 = 𝑣

+ 𝑣′ + 𝜔 × 𝑟′

con 𝜔 la velocità angolare con cui ruotano gli assi di 𝑂’ rispetto ad 𝑂.

𝑑

𝑑𝑡 Ԧ𝑟^′ = ^𝑑

𝑑𝑡 𝑥′ ෡𝑖^′ + 𝑦′ ෡𝑗^′ + 𝑧′ ෡𝑘′ = ^𝑑

𝑑𝑡 𝑥′ ෡𝑖^′ + ^𝑑

𝑑𝑡 𝑦′ ෡𝑗^′ + ^𝑑

𝑑𝑡 𝑧′ ෡𝑘′ =

= 𝑑𝑥′

𝑑𝑡 𝑖෡^′ + 𝑥′𝑑෡𝑖^′

𝑑𝑡 + 𝑑𝑦′

𝑑𝑡 𝑗෡^′ + 𝑦′𝑑෡𝑗^′

𝑑𝑡 + 𝑑𝑧′

𝑑𝑡 𝑘෡^′ + 𝑧′ 𝑑 ෡𝑘^′ 𝑑𝑡 =

= 𝑑𝑥′

𝑑𝑡 𝑖෡^′ + 𝑑𝑦′

𝑑𝑡 𝑗෡^′ + 𝑑𝑧′

𝑑𝑡 𝑘෡^′ + 𝑥′𝑑෡𝑖^′

𝑑𝑡 + 𝑦′𝑑 ෡𝑗^′

𝑑𝑡 + 𝑧′𝑑 ෡𝑘^′ 𝑑𝑡 =

= 𝑣_𝑥^′𝑖෡^′ + 𝑣_𝑦^′𝑗෡^′ + 𝑣_𝑧^′𝑘෡^′ + 𝑥′^{𝑑 ෡𝑖′}

𝑑𝑡 + 𝑦′^{𝑑 ෡𝑗′}

𝑑𝑡 + 𝑧′^{𝑑෢𝑘′}

𝑑𝑡 =

𝑟𝑖𝑐𝑜𝑟𝑑𝑖𝑎𝑚𝑜 𝑐ℎ𝑒 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑡𝑎 𝑑𝑖 𝑢𝑛 𝑣𝑒𝑟𝑠𝑜𝑟𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑒^{𝑑 ෝ𝑢}

𝑑𝑡 = ^𝑑𝜃

𝑑𝑡 𝑢ෞ_𝑇 𝑒 ^𝑑𝜃

𝑑𝑡 = 𝜔 𝑎𝑙𝑙𝑜𝑟𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑎𝑚𝑜 𝑠𝑐𝑟𝑖𝑣𝑒𝑟𝑒 ^{𝑑 ෝ𝑢}

𝑑𝑡 𝑐𝑜𝑚𝑒 ^{𝑑 ෝ𝑢}

𝑑𝑡 = 𝜔 × ෝ𝑢

= 𝑣′ + 𝑥^′ 𝜔 × ෡𝑖^′ + 𝑦^′ 𝜔 × ෡𝑗^′ + 𝑧^′ 𝜔 × ෡𝑘^′ = 𝑣′ + 𝜔 × 𝑥^′𝑖෡^′ + 𝑦^′𝑗෡^′ + 𝑧^′𝑘෡^′

𝑑

𝑑𝑡

Ԧ𝑟

= 𝑣′ + 𝜔 × 𝑟′

Velocità di trascinamento traslatorio e rotatorio

Teorema delle velocità relative: 𝑣 = 𝑣_𝑂′ + 𝑣′ + 𝜔 × 𝑟′

(𝑣′ la velocità del punto rispetto al sistema mobile, detta velocità relativa)

Il termine che definisce la differenza di velocità tra i due sistemi di riferimento è detta velocità di trascinamento ed è

𝑣

= 𝑣 − 𝑣

= 𝑣

+ 𝜔 × 𝑟′

(Il teorema delle velocità relative lo possiamo scrivere come 𝑣 = 𝑣_𝑂′ + 𝑣_𝑡 ) Due casi particolari sono fondamentali:

• il sistema mobile non ruota rispetto a quello fisso 𝜔 = 0. In questo caso si parla di moto di trascinamento traslatorio e

𝑣_𝑡 = 𝑣_𝑂′ e 𝑣 = 𝑣_𝑂′ + 𝑣′

• il sistema mobile ruota ma non trasla 𝑣_𝑂′ = 0. In questo caso si parla di moto di trascinamento rotatorio e avremo che

𝑣_𝑡 = 𝜔 × 𝑟′ e 𝑣 = 𝑣′ + 𝜔 × 𝑟′

Il caso generale (o gli altri casi) si può pensare come una sovrapposizione (somma) di questi due.

Teorema delle accelerazione relative

Se 𝑎 = ^𝑑𝑣

𝑑𝑡 è l’accelerazione del punto P rispetto al sistema fisso, 𝑎^′ l’accelerazione del punto P rispetto al sistema mobile 𝑂’, e 𝑎_𝑂′ = ^{𝑑𝑣𝑂′}

𝑑𝑡 l’accelerazione del sistema mobile rispetto ad O si ha che:

𝑎 = 𝑎

+ 𝑎

+ 𝜔 × 𝜔 × 𝑟′ + 𝑑𝜔

𝑑𝑡 × 𝑟′ + 2 𝜔 × 𝑣′

Quindi in generale le accelerazioni tra i due sistemi sono diverse e differiscono

𝑎 = 𝑎

+ 𝑎

+ 𝑎

con il termine

𝑎_𝑡 = 𝑎_𝑂′ + 𝜔 × 𝜔 × 𝑟′ + ^𝑑𝜔

𝑑𝑡 × 𝑟′

detta accelerazione di trascinamento mentre l’ultimo termine

𝑎_𝑐 = 2 𝜔 × 𝑣′

viene detto accelerazione di Coriolis e dipende dal moto del punto P rispetto al sistema mobile.

Teorema delle accelerazione relative 𝑎 = 𝑎

+ 𝑎

+ 𝜔 × 𝜔 × 𝑟′ + 𝑑𝜔

𝑑𝑡 × 𝑟′ + 2 𝜔 × 𝑣′

𝑎 = 𝑎

+ 𝑎

+ 𝑎

𝑎

= 𝑎

+ 𝜔 × 𝜔 × 𝑟′ + 𝑑𝜔

𝑑𝑡 × 𝑟′; 𝑎

= 2 𝜔 × 𝑣′

Due casi particolari sono fondamentali:

• il sistema mobile non ruota rispetto a quello fisso 𝜔 = 0. In questo caso si parla di moto di trascinamento traslatorio e

𝑎 = 𝑎^′ + 𝑎_𝑂′

• il sistema mobile ruota ma non trasla 𝑣_𝑂′ = 0. In questo caso si parla di moto di trascinamento rotatorio e avremo che

𝑎 = 𝑎^′ + 𝜔 × 𝜔 × 𝑟′ + 𝑑𝜔

𝑑𝑡 × 𝑟′ + 2 𝜔 × 𝑣′

Ciò fa comprendere come la descrizione del moto di uno stesso punto possa essere diversa se vista da due sistemi di riferimento diversi. Saranno quindi diverse le forze che vengono ipotizzate per spiegare il tipo di moto.

Sistemi di riferimento inerziali – Relatività galileiana

I sistemi di riferimento inerziali sono quelli per i quali vale rigorosamente la legge d’inerzia (un punto non soggetto a forze, se in quiete resta in quiete, se si muove con velocità arbitraria si muove in moto rettilineo uniforme).

Se consideriamo un altro sistema di riferimento che si muove rispetto ad uno inerziale con moto rettilineo uniforme 𝑣_𝑂′ = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 si ha

𝜔 = 0 𝑎_𝑂′ = 0

e otterremo

𝑎 = 𝑎^′

per cui definito un sistema inerziale, tutti i sistemi in moto rettilineo uniforme rispetto al primo sono anch’essi inerziali. In un sistema di riferimento inerziale la legge di Newton ha l’espressione studiata: la risultante delle forze reali (vere) è proporzionale all’accelerazione in quel sistema di riferimento.

Relatività galileiana

In conseguenza di questo risultato la legge di Newton si esprime nella stessa maniera in tutti i sistemi di riferimento inerziali, che comporta che non è possibile a seguito di misure di meccanica, stabilire se un sistema è in moto o in quiete (non ha senso cioè il concetto di moto assoluto). Tale situazione fisica viene descritta col termine di relatività galileiana.

Sistemi di riferimento NON inerziali

Definiamo sistema di riferimento non inerziale, un sistema in moto accelerato 𝑎_𝑂′ ≠ 0 oppure in rotazione 𝜔 ≠ 0 , o entrambi, rispetto ad un sistema di riferimento inerziale. In tale sistema non vale il principio di inerzia e neanche la legge di Newton.

Se la descrizione del moto è fatta in sistemi non inerziali avremo che la forza vera 𝐹 = 𝑚 𝑎 ≠ 𝑚 𝑎′

anzi, se vogliamo specificare come appare la legge della dinamica nel sistema mobile rispetto alla legge nel sistema inerziale, moltiplichiamo per 𝑚 le precedenti equazioni:

𝑚 𝑎′ = 𝑚 𝑎 − 𝑚 𝑎_𝑡 − 𝑚 𝑎_𝑐 𝑚 𝑎′ = 𝐹 − 𝑚 𝑎_𝑡 − 𝑚 𝑎_𝑐

che implica che per mantenere valida la legge della dinamica ( 𝐹 = 𝑚 𝑎 ) dobbiamo aggiungere delle forze apparenti che sono proporzionali alla massa (per cui vengono anche dette forze inerziali), queste non sono dovute ad interazioni fondamentali ma all’uso di un sistema non inerziale, e NON esistono o NON si devono considerare nei sistemi inerziali.

𝐹 − 𝑚 𝑎_𝑡 − 𝑚 𝑎_𝑐 = 𝐹 + 𝐹 𝑡𝑟𝑎𝑠𝑐𝑖𝑛𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 + 𝐹 _{𝐶𝑜𝑟𝑖𝑜𝑙𝑖𝑠} = 𝐹 + 𝐹 _{𝑎𝑝𝑝𝑎𝑟𝑒𝑛𝑡𝑖} = 𝐹 ′ 𝐹 ′ = 𝑚 𝑎′

Moto di trascinamento traslatorio rettilineo

Supponiamo di avere la situazione più semplice, 𝑂’ in moto rettilineo rispetto ad 𝑂 (𝜔 = 0) per esempio sull’asse x (che coincide con l’asse x’).

Se il moto è rettilineo uniforme 𝑎_𝑂′ = 0, allora i due sistemi sono entrambi inerziali e si avranno le seguenti relazioni tra le grandezze del sistema fisso (𝑟 , 𝑣 , 𝑎 ) e quelle del sistema mobile (𝑟′ , 𝑣′ , 𝑎′ )

𝑎 = 𝑎′

𝑣 = 𝑣^′ + 𝑣_𝑂′

𝑟 = 𝑟′ + 𝑣_𝑂′ 𝑡 Queste relazioni costituiscono le cosiddette

trasformazioni galileiane.

Nel caso in cui 𝑂’ sia in moto uniformemente accelerato (𝑎_𝑂′ ≠ 0) si avrà che 𝑂’

diventa un sistema di riferimento non inerziale, le cui trasformazioni sono:

𝑎 = 𝑎′ + 𝑎_𝑂′ ⇒ 𝑎′ = 𝑎 − 𝑎_𝑂^′ 𝑣′ = 𝑣 − 𝑣_𝑂′

𝑟′ = 𝑟 − 𝑟_𝑂′

Moto di trascinamento rotatorio uniforme (cenni)

Nel caso in cui 𝑂’ ruoti rispetto ad 𝑂 con moto circolare uniforme allora abbiamo soltanto un moto di trascinamento rotatorio uniforme:

(per semplicità consideriamo i due sistemi con stessa origine, 𝑟 = 𝑟′ ) 𝑣_𝑂′ = 0 𝑎_𝑂′ = 0 𝜔 = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

per cui si ottengono:

𝑣 = 𝑣^′ + 𝜔 × 𝑟

𝑎 = 𝑎^′ + 𝜔 × 𝜔 × 𝑟 + 2 𝜔 × 𝑣′

Abbiamo anche visto che

𝑚 𝑎′ = 𝑚 𝑎 − 𝑚 𝑎_𝑡 − 𝑚 𝑎_𝑐 = 𝐹 − 𝑚 𝑎_𝑡 − 𝑚 𝑎_𝑐 per cui confrontando possiamo riscrivere come

𝑚 𝑎′ = 𝐹 + 𝐹 _{𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑖𝑓𝑢𝑔𝑎} + 𝐹 _{𝐶𝑜𝑟𝑖𝑜𝑙𝑖𝑠} con

𝐹 _{𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑖𝑓𝑢𝑔𝑎} = −𝑚 𝜔 × 𝜔 × 𝑟 𝐹 _{𝐶𝑜𝑟𝑖𝑜𝑙𝑖𝑠} = −2 𝑚 𝜔 × 𝑣′

Moto rispetto alla Terra (cenni)

Un sistema di riferimento che si possa considerare inerziale è con origine nel centro di massa del sistema solare e con assi orientati verso le stelle lontane che si possono ragionevolmente ritenere fisse. Di norma però tutte le descrizione dei moti vengono date rispetto alla Terra, che non è un riferimento inerziale. Vediamo cosa comporta la scelta di un sistema solidale alla Terra nella descrizione dei moti.

Consideriamo la Terra che ruota intorno al proprio asse con T=24h=86400s da cui 𝜔 = ^2𝜋

𝑇 = 7.29 ∙ 10⁻⁵ 𝑟𝑎𝑑/𝑠

Trascuriamo il moto della Terra intorno al Sole che ha una 𝜔 più piccola.

L’accelerazione di un corpo vicino la Terra utilizzando le trasformazioni relative diventa

𝑔_𝑂 = 𝑔′ + 𝜔 × 𝜔 × 𝑟 + 2 𝜔 × 𝑣′

con 𝑔_𝑂 l’accelerazione di gravità nel sistema inerziale. Per cui l’accelerazione riscontrata sulla Terra è

𝑔′ = 𝑔_𝑂 − 𝜔 × 𝜔 × 𝑟 − 2 𝜔 × 𝑣′

il cui effetto è una diminuzione di 𝑔_𝑂 con la latitudine e uno scostamento dalla verticale (dell’ordine di 0.1°) dovuto al termine centrifugo. La seconda correzione è dovuta al termine di Coriolis e dipende dalla velocità del corpo relativa alla Terra.

Moto rispetto alla Terra (cenni)

Vediamo in dettaglio:

nel caso 𝑣′ = 0 vogliamo determinare la direzione di 𝑔’ rispetto alla verticale e facciamo il prodotto vettoriale 𝜔 × 𝑟 indicando la latitudine con 𝜃_𝐿 (angolo tra equatore e zenith): 𝜔 × 𝑟 = 𝜔 𝑟 cos 𝜃_𝐿 (−෢𝑘 ) ed è entrante rispetto al piano e di conseguenza 𝜔 × 𝜔 × 𝑟 = 𝜔² 𝑅_𝑇 cos 𝜃_𝐿 ෞ𝑤 = 0.024 ^𝑚

𝑠² ෞ𝑤 , quindi diretta ad ovest ෞ𝑤 , allora la forza centrifuga 𝐹 _{𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑖𝑓} = −𝑚 𝜔 × 𝜔 × 𝑟 sarà diretta ad est come in figura (il valore è stato calcolato per 𝜔 = 7.29 ∙ 10⁻⁵ 𝑟𝑎𝑑/𝑠, 𝜃_𝐿 = 45°, 𝑅_𝑇 = 6378 𝑘𝑚). Scomponiamo rispetto ad un sistema

di coordinare polari (y radiale x tangenziale):

𝑔_𝑥^′ = +𝜔² 𝑅_𝑇 cos 𝜃_𝐿 sin 𝜃_𝐿 = 1.697 10⁻² 𝑚 𝑠² 𝑔_𝑦^′ = −𝑔_𝑂 + 𝜔² 𝑅_𝑇 cos² 𝜃_𝐿 = −9.783 ^𝑚

𝑠²

tan 𝜙 = 𝑔_𝑥^′

𝑔_𝑦^′ = 𝜔²𝑅_𝑇 cos 𝜃_𝐿 sin 𝜃_𝐿 𝑔_𝑂 − 𝜔² 𝑅_𝑇 cos² 𝜃_𝐿 𝜙 = 0.099°

𝜔 𝑟

𝑔_𝑂

Esempi accelerazione Coriolis

L’effetto dell’accelerazione di Coriolis 𝑎_𝑐 = −𝜔 × 𝑣′ è evidente nei moti in atmosfera ad esempio nell’emisfero Nord la situazione è la seguente (l’opposto avviene nell’emisfero Sud):

(𝜔 è uscente dal piano)

L’effetto risultante è un moto rotatorio antiorario per un ciclone.

Problema 1

Un corpo puntiforme di massa 𝑚_𝐴=2kg è posto su un carrello che scorre su un piano orizzontale. Inizialmente il corpo è fermo ed è ad una distanza di d=1m dal bordo del carrello, la cui massa è 𝑚_𝐵=8kg. Tra carrello e corpo il coefficiente di attrito dinamico è μ_𝑑 = 0.2. Il carrello viene mosso da una forza F=30 N e anche il corpo A inizia a scivolare sul carrello. Quanto tempo occorre ad A per raggiungere il bordo?

Il diagramma delle forze lo ricostruiamo pensando a come avviene il moto: l’attrito tra A e B si tramette in B e lo valutiamo col principio di azione e reazione.

𝑎′ = 𝑎 − 𝑎_𝑂^′ 𝑎′ = 𝑎 − 𝑎_𝑂^′

Problema 2

Un pendolo semplice di lunghezza l=0.4 m è appeso ad un supporto che avanza con accelerazione a=5 m/s² (orizzontale). Calcolare l’angolo di equilibrio rispetto la verticale e il periodo delle piccole oscillazioni rispetto la posizione di equilibrio.

Problema 2

Un pendolo semplice di lunghezza l=0.4 m è appeso ad un supporto che avanza con accelerazione a=5 m/s² (orizzontale). Calcolare l’angolo di equilibrio rispetto la verticale e il periodo delle piccole oscillazioni rispetto la posizione di equilibrio.

Le forze agenti sono T della fune, P nel sistema fisso e nel sistema mobile si aggiunge la forze apparente 𝐹_𝑎 orizzontale.

Un punto si muove su un asse orizzontale liscio con velocità v₀. Quando passa nella posizione A esso inizia a salire lungo una guida circolare liscia di raggio R, che giace in un piano verticale.

a) Calcolare la velocità del punto e la reazione della guida in B e in C.

b) Qual è il valore minimo di v₀ affinché il punto arrivi in C mantenendo il contatto con la guida?

Problema 3

Ricevimento ogni mercoledì h15.00 →17.00 (modalità remota). É necessario prenotare il ricevimento inviando una mail.

Problema 3

Problema 3

Problema 3

Problema 3

Ricevimento ogni mercoledì h15.00 →17.00 (modalità remota). É necessario prenotare il ricevimento inviando una mail.