1 Sistemi di riferimento

Universit`a di Bologna - Corsi di Laurea Triennale in Ingegneria, II Facolt`a - Cesena Esercitazioni del corso di Fisica Generale L-A

Anno accademico 2006-2007

1 Sistemi di riferimento

Le grandezze usate in cinematica (spostamento, velocit`a, accelerazione) sono sempre relative ad un sistema di riferimento.

In un sistema di riferimento cartesiano ortogonale si individuano i versori degli assi x, y e z: ˆi, ˆj e ˆk. A seconda della natura del problema si possono utilizzare sistemi di riferimento polari sferici (r, ϕ, θ) o cilindrici (r, ϕ, z), ciascuno con i propri versori.

Coordinate cartesiane ortogonali

Coordinate polari sferiche







x = r sin θ cos ϕ y = r sin θ sin ϕ z = r cos θ

0 ≤ θ ≤ π 0 ≤ ϕ < 2π

Coordinate cilindriche







x = r cos ϕ y = r sin ϕ z = z 0 ≤ ϕ < 2π

2 Vettori

Dati due vettori ~u, ~v per determinare il modulo del vettore risultante ~w si ricorre al teorema di Carnot:

k ~wk = q

k~uk + k~vk − 2k~ukk~vk cos(π − θ) = q

k~uk + k~vk + 2k~ukk~vk cos θ

Attenzione all’angolo che compare nella formula!

Per determinare invece l’angolo che il vettore ~w forma ad esempio con l’asse x si ricorre a considerazioni trigonometriche:

h = u sin θ = w sin α

sin α = u wsin θ

Esercizio Un elicottero decolla dal punto O e, dopo aver percorso un chilometro, raggiunge il punto P . Il segmento che congiunge il punto O con la proiezione del punto P sul piano xy forma un angolo ϕ = 45^◦ con l’asse x mentre il segmento (P − O) forma con l’asse z un angolo θ = 60^◦. Determinare la distanza dagli assi x ed y della proiezione del punto P sul piano xy e la quota z raggiunta.

Il problema fornisce le coordinate sferiche del punto P . Per ricavare le relative coordinate cartesiane si ricorre alle note relazioni trigonometriche:

r⁰= r sin θ







x = r⁰cos ϕ = r sin θ cos ϕ y = r⁰sin ϕ = r sin θ sin ϕ z = r cos θ

Sostituendo i valori numerici si ottiene:

r⁰ = 1 km sin 60^◦ = 1 km

√ 3

2 = 0.87 km







x = 0.87 km cos 45^◦ = 0.87 km

√2

2 = 0.61 km y = 0.87 km sin 45^◦ = 0.87 km

√ 2

2 = 0.61 km z = 1 km cos 60^◦ = 1 km¹₂ = 0.5 km

Esercizio Un motoscafo, che in assenza di corrente ha una velocit`a di 25 km/h, si muove verso nord in un tratto di mare in cui la corrente ha una velocit`a di 4 km/h e forma un angolo di 75^◦ con la direzione nord. Quanto vale in modulo la velocit`a risultante del motoscafo? Quale angolo forma con la direzione nord?

~

vm = 25 km/h

~

vc = 4 km/h

α = 75^◦

~

v = ~vm+ ~vc

k~vk =^qk~v_mk + k~v_ck + 2k~v_mkk~v_ck cos α

=^q(25 km/h)²+ (4 km/h)²+ 2 · 25 km/h · 4 km/h · cos 75^◦

=√

625 + 16 + 200 · 0.26 km/h =√

641 + 51.8 km/h =

√

692.8 km/h = 26.3 km/h

sin β = vc

v sin α β = arcsin

vc

v sin α



= arcsin

 4

26.3sin 75^◦



= arcsin(0.15 · 0.97) = arcsin 0.14 = 8.33^◦

Dato un sistema di coordinate un vettore si pu`o esprimere come combinazione lineare nella base rappresentata dai versori assegnati in quel riferimento. In un piano cartesiano ortogonale, ad esempio, la base dello spazio vettoriale di dimensione 2 `e costituita dai versori ˆi e ˆj; il vettore ~v rappresentato in figura si pu`o allora scrivere nel modo seguente:

~v = vxˆi + v_yˆj dove vx e vy sono le proiezioni rispettivamente lungo gli assi x ed y:

vx = k~vk cos θ vy = k~vk sin θ

Si definiscono coseni direttori i coseni degli angoli formati da un vettore con gli assi coordinati. Nel nostro caso, poich´e vx= ~v ·ˆi = k~vk k1k cos θ (si ricordi che i versori hanno modulo uguale a 1), il coseno direttore lungo l’asse x `e dato da:

cos θ = v_x k~vk Analogamente il coseno direttore lungo l’asse y sar`a dato da:

cos

π 2 − θ



= v_y k~vk Esercizio Dati i due vettori

~a = 3ˆi − 5ˆj − 3ˆk

~b = 4ˆi + 6ˆj − 6ˆk dire, senza utilizzare metodi grafici, se sono perpendicolari.

Se sono effettivamente perpendicolari ci aspettiamo che il prodotto scalare si annulli; infatti, escluso il caso ovvio in cui uno o entrambi i vettori abbiano modulo nullo, il prodotto scalare si annulla quando l’angolo θ formato dai vettori `e retto:

~a · ~b = k~akk~bk cosπ 2 = 0

Eseguiamo il prodotto scalare tra ~a e ~b nel linguaggio delle componenti. Gli unici termini che sopravvivono sono quelli omologhi:

~a · ~b = (3 · 4)(ˆi · ˆi) − (5 · 6)(ˆj · ˆj) + (3 · 6)(ˆk · ˆk) = 12 − 30 + 18 = 0 ⇒ θ = π 2 in quanto gli altri si annullano per la mutua ortogonalit`a tra i versori:

(3 · 6)(ˆi · ˆj) = 18 · 0 = 0 etc.

dunque i due vettori sono effettivamente perpendicolari.

Esercizio Dati i due vettori

~a = 3ˆi − 7ˆj + 10ˆk

~b = 9ˆi − 21ˆj + 30ˆk dire, senza utilizzare metodi grafici, se sono paralleli.

Metodo 1

Eseguiamo il prodotto scalare, nel linguaggio delle componenti e per via geometrica, e verifichiamo che l’angolo θ formato dai due vettori sia nullo.

~a · ~b = 3 · 9 + 7 · 21 + 10 · 30 = 27 + 147 + 300 = 474 Per eseguire il prodotto scalare per via geometrica dobbiamo calcolare i moduli di ~a e ~b:

a = k~ak =^p3²+ 7²+ 10²=√

9 + 49 + 100 =

√

158 = 12.57

b = k~bk =^p9²+ 21²+ 30² =√

81 + 441 + 900 =√

1422 = 37.71 Dalla definizione di prodotto scalare segue allora:

cos θ =~a · ~b

a · b = 474

12.57 · 37.71 = 474

474= 1 ⇒ θ = 0 Metodo 2

Eseguiamo il prodotto vettoriale; dal momento che i moduli dei due vettori sono diversi da zero allora l’unica possibilit`a affinch´e il prodotto vettoriale si annulli `e che l’angolo θ formato da ~a e ~b sia nullo (vettori paralleli) o pari a π (vettori antiparalleli):

k~a ∧ ~bk = k~akk~bk sin θ = 0 ⇒ θ = 0, π Eseguiamo il prodotto vettoriale con il metodo del determinante simbolico:

~a ∧ ~b =       

ˆi ˆj kˆ

3 −7 10

9 −21 30       

= [−7 · 30 − (−21) · 10]ˆi − (3 · 30 − 9 · 10)ˆj + [3 · (−21) − 9 · (−7)]ˆk

= (−210 + 210)ˆi − (90 − 90)ˆj + (−63 + 63)ˆk = ~0

3 Cinematica del punto materiale

Esercizio Un’auto `e inizialmente ferma al semaforo. Allo scattare del verde l’auto accelera per 6 secondi con un’accelerazione di 2 m/s<sup>2</sup>. Quindi prosegue per altri 20 secondi a velocit`a costante. Qual `e la distanza totale percorsa?

s₀= s(0) = 0

v0 = v(0) = 0

s(t ≤ 6 s) = 1

2at²+ v₀t + s₀ = 1 2at² s₁= s(t = 6 s) = 1

2 2 m/s² (6 s)²= 36 m v₁= v(6 s) = at = 2 m/s²· 6 s = 12 m/s

s_tot= s(20 s) = v₁t + s₁ = 12 m/s · 20 s + 36 m = 240 m + 36 m = 276 m

Esercizio Un’auto da corsa ha un’accelerazione alla partenza data dalla seguente espressione:

a(t) = 0.25 s⁻¹gt

dove g = 9.8 m/s² `e l’accelerazione di gravit`a. Se l’auto parte da ferma determinare la velocit`a raggiunta dopo 5 secondi.

v(t) = Z

0.25 s⁻¹ g t dt = 0.25 s⁻¹ g Z

tdt = 0.25 s⁻¹ g

1

2t²+ cost.



v(0) = 0 ⇒ cost. = 0

v(5 s) = 1

2 0.25 s⁻¹ g t² = 1

2 0.25 s⁻¹· 9.8 m/s²· (5 s)²= 0.125 · 9.8 m/s²· 25 m/s = 30.63 m/s

Esercizio Un corpo si muove con una velocit`a data dall’espressione v(t) = ct²

dove c = 2 m/s³. Determinare l’espressione dell’accelerazione e la distanza percorsa in 10 secondi.

a(t) = d

dtv(t) = d

dtct² = 2ct s(10 s) =

Z

ct²dt = c Z

t²dt = c

1

3t³+ cost.



stot= s(10 s) − s(0 s) = 1

3ct³+ cost. − cost. = 1

3 2 m/s³(10 s)³ = 2

3 1000 m = 666.¯7 m

4 Statica

Consideriamo un corpo, rappresentato dal rettangolo in figura, posto in quiete su un piano orizzontale.

Si dice che il corpo `e in equilibrio se la somma, o risultante, delle forze a cui `e sottoposto `e nulla:

R = m · ~a = m · ~0 = ~0~

Dunque se ~P `e la forza peso a cui il corpo `e sottoposto in virt`u della gravit`a terrestre deve esserci una forza ~R tale da annullare la risultante:

P + ~~ R = ~0

Il vettore ~R ha lo stesso modulo e direzione del vettore ~P e verso opposto. In questo caso si parla di ~R come

“reazione vincolare” del piano orizzontale.