33 Circuiti in corrente alternata

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33 Circuiti in corrente alternata

In questo capitolo descriveremo i circuiti in corrente alternata (c.a.). Ogni volta che accendiamo un televisore, un computer o qualunque altro apparecchio domestico, chia- miamo in causa correnti alternate che forniscono l’energia per il funzionamento di tali dispositivi. Inizieremo la nostra analisi discutendo le caratteristiche di circuiti semplici in cui resistori, induttori e condensatori siano collegati in serie ed alimentati da una tensione sinusoidale. Lo scopo principale di questo capitolo è mostrare come sia possibile calcolare, in tali circuiti, l’ampiezza della corrente e come essa dipenda dal tempo. Concluderemo il capitolo con due paragrafi riguardanti i trasformatori, la trasmissione di potenza ed i filtri elettrici.

33.1 Generatori di c.a.

Un circuito in c.a. è una combinazione di elementi circuitali e di un generatore che fornisce una tensione alternata Dv. L’andamento temporale di tale tensione è dato dall’espressione

Dv 5 DV_max sin vt

dove DV_max è la tensione massima di uscita del generatore, chiamata anche ampiezza della tensione. Ci sono vari modi per generare una corrente alternata in un circuito, come ad esempio i generatori discussi nel Paragrafo 31.5 e gli oscillatori elettrici. In una casa, ogni presa elettrica è una sorgente di corrente alternata. Poiché la tensio- 33.1 Generatori di c.a.

33.2 Resistori in un circuito in c.a.

33.3 Induttori in un circuito in c.a.

33.4 Condensatori in un circuito in c.a.

33.5 Il circuito RLC in serie 33.6 Potenza in un circuito

in c.a.

33.7 Risonanza in un circuito RLC in serie

33.8 Il trasformatore e la trasmissione di potenza 33.9 Raddrizzatori e filtri

Questi grandi trasformatori vengono usati per aumentare la tensione prima del trasferimento dell’energia elettrica da una centrale alla rete di distribuzione.

La tensione può essere cambiata in modo relativamente semplice, in quanto la potenza è distribuita utilizzando corrente alternata invece di quella continua.

(©Lester Lefkowitz/Getty Images)

33.2 Resistori in un circuito in c.a. 999

ne in uscita da un generatore di tensione alternata varia sinusoidalmente nel tempo, tale tensione, come mostrato nella Figura 33.1, è positiva durante un mezzo periodo e negativa durante l’altro mezzo periodo. Allo stesso modo, anche la corrente in un circuito alimentato da un generatore di tensione alternata varia sinusoidalmente nel tempo.

Dall’Equazione 15.12, la pulsazione v della tensione alternata è v 52pf 5 2p

T

Dv 2 i_RR 5 0

iR5 Dv

R 5DV_max

R sin vt 5 I_max sin vt (33.1)

Imax5 DV_max

R (33.2)

Dv_R5i_RR 5 ImaxR sin vt (33.3)

.

dove f è la frequenza del generatore e T il periodo. Il generatore determina la fre- quenza della corrente in un circuito qualunque ad esso collegato. In Italia l’energia elettrica viene fornita ad una frequenza f = 50.0 Hz, a cui corrisponde la pulsazione (frequenza angolare) v = 314 rad/s (in USA 60.0 Hz e 377 rad/s).

33.2 Resistori in un circuito in c.a.

Consideriamo il semplice circuito in c.a., composto da un resistore e un generatore di tensione alternata , mostrato nella Figura 33.2. In ogni istante, la somma al- gebrica delle tensioni lungo una singola maglia del circuito deve essere nulla (legge di Kirchhoff delle maglie). Quindi, Dv 1 Dv_R 5 0, ovvero, usando l’Equazione 27.7 per esprimere la tensione ai capi della resistenza,

Dv 2 i_RR 5 0

Sostituendo l’espressione DVmax sin vt a Dv e riscrivendo la precedente espressione, la corrente istantanea nel resistore è data da

v 52pf 52p T

Dv 2 i_RR 5 0

i_R5 Dv

R 5 DVmax

R sin vt 5 I_max sin vt (33.1)

I_max5 DVmax

R (33.2)

Dv_R5i_RR 5 I_maxR sin vt (33.3) dove I_max è la corrente massima: .

v 52pf 52p T

Dv 2 i_RR 5 0

i_R5 Dv

R 5 DVmax

R sin vt 5 I_max sin vt (33.1)

I_max5 DVmax

R (33.2)

Dv_R5i_RR 5 I_maxR sin vt (33.3)

.

L’Equazione 33.1 mostra che la tensione istantanea ai capi del resistore è v 52pf 52p

T

Dv 2 i_RR 5 0

i_R5 Dv

R 5 DVmax

R sin vt 5 I_max sin vt (33.1)

I_max5 DVmax

R (33.2)

Dv_R5i_RR 5 I_maxR sin vt (33.3)

.

Il grafico della tensione e della corrente in funzione del tempo per questo cir- cuito è mostrato nella Figura 33.3a. Nel punto a la corrente è massima in un certo verso che, arbitrariamente, chiameremo verso positivo. Fra i punti a e b la corrente diminuisce, ma è sempre positiva. In b la corrente è nulla; fra b e c diventa sempre più negativa, il che significa che la sua intensità aumenta, ma che scorre nel verso negativo. In c la corrente raggiunge la massima intensità nel verso negativo.

La corrente e la tensione hanno la stessa dipendenza temporale. Poiché i_R e Dv_R variano entrambi come sin vt e raggiungono, come illustrato nella Figura 33.3a, i loro valori massimi nello stesso istante, diciamo che sono in fase. La situazione è analoga a quella che si presenta quando due onde sono in fase, situazione che è stata discussa nello studio dei moti ondulatori nel Capitolo 18. Possiamo quindi dire che, per una tensione applicata sinusoidale, la corrente in un resistore è sempre in fase con la tensione ai capi del resistore. Per i resistori nei circuiti in c.a. non ci sono nuovi concetti da imparare. I resistori si comportano in modo analogo sia nei circuiti in c.c. che in quelli in c.a. Al contrario, i condensatori e gli induttori hanno comportamenti differenti.

Per studiare in maniera semplice i circuiti contenenti due o più elementi usere- mo il diagramma dei fasori. Un fasore è un vettore la cui lunghezza è proporzionale al valore massimo della variabile che esso rappresenta (DV_max per la tensione ed I_max per la corrente). Il fasore ruota in senso antiorario con velocità angolare uguale alla frequenza angolare della variabile che rappresenta e la proiezione del fasore sull’as- se verticale dà il valore istantaneo di tale variabile.

W

W Corrente massima in un resistore

W

W Tensione ai capi di un resistore

Prevenire l’errore 33.1 Valori che variano nel tempo Usiamo le lettere minuscole Dv ed i per indicare i valori istantanei di tensioni e correnti che dipendono dal tempo. Le lettere maiuscole indicano invece valori costanti delle tensioni e delle correnti, come ad esempio DVmax e Imax.

v

t

V_max T

Figura 33.1 La tensione for- nita da un generatore di c.a.

è sinusoidale nel tempo, con periodo T.

R

v_R

v  V_max sin vt

Figura 33.2 Un circuito che consiste in una resistenza R connessa ad un generatore di c.a., indicato con il simbolo

.

La Figura 33.3b mostra, in un certo istante, i fasori relativi alla tensione ed alla corrente per il circuito della Figura 33.2. Le proiezioni dei fasori sull’asse verticale dipendono dal seno dell’angolo che il fasore forma con l’asse orizzontale. Ad esem- pio, la proiezione del fasore associato alla corrente e mostrato nella Figura 33.3b è I_max sin vt. Si noti che tale espressione è identica a quella data dall’Equazione 33.1.

Quindi, le proiezioni dei fasori rappresentano correnti che variano sinusoidalmente con il tempo. Possiamo fare la stessa cosa per tensioni dipendenti dal tempo. Il van- taggio di questo tipo di approccio è rappresentato dal fatto che le relazioni che inter- corrono tra le fasi delle correnti e delle tensioni possono essere ricavate applicando ai fasori che le rappresentano le regole di somma dei vettori, discusse nel Capitolo 3.

Nel caso del circuito resistivo a singola maglia mostrato nella Figura 33.2, i fasori che rappresentano la corrente e la tensione giacciono sulla stessa retta, come mo- strato in Figura 33.3b. Infatti, in questo caso i_R e Dv_R sono in fase tra loro. Al con- trario, la corrente e la tensione in circuiti contenenti elementi capacitivi o induttivi hanno relazioni di fase differenti.

Q uiz 33.1 Si consideri il fasore, che rappresenta una tensione, disegnato nella Figura 33.4 in tre diversi istanti temporali. (i) Si dica a quale caso, (a), (b) o (c), corrisponde il valore istantaneo maggiore per la tensione. (ii) Si dica a quale caso, (a), (b) o (c), corrisponde il valore istantaneo minore per la tensione.

.

a

b

c

a

b

c

a

b

c

Figura 33.4 (Quiz 33.1) Un fasore asso- ciato alla tensione è mostrato per tre diversi istanti temporali, (a), (b) e (c).

Si noti che, per il semplice circuito resistivo mostrato nella Figura 33.2, il valore medio della corrente in un ciclo completo è zero. Infatti, la corrente circola nel ver- so positivo per lo stesso intervallo di tempo e con la stessa intensità con cui circola nel verso negativo. Tuttavia, il verso della corrente non influisce sul comportamen- to del resistore. Ciò si capisce facilmente osservando che gli urti fra gli elettroni e gli atomi fissi del resistore producono un aumento della temperatura del resistore.

L’aumento della temperatura dipende dall’intensità della corrente, ma è indipen- dente dal suo verso.

La corrente è in fase con la tensione, e quindi è nulla quando la tensione è nulla, massima quando la tensione è massima e minima quando la tensione è minima.

I fasori della corrente e della tensione hanno la stessa direzione, in quanto la corrente e la tensione sono in fase.

i_R

v_R I_max

I_max V_max

t a

b

c T

vt

V_max i_R, v_R i_R, v_R

a b

i_R

v_R

Figura 33.3 (a) Grafici che mostrano la corrente iR e la tensione DvR ai capi di un resistore in funzione del tempo.

Al tempo t 5 T, la corrente e la tensione hanno compiuto un ciclo completo. (b) Diagramma dei fasori per il circuito resistivo che mostra come la corrente e la tensione siano in fase.

Prevenire l’errore 33.2 Un fasore è simile ad un grafico Una tensione alternata può essere rappresentata graficamente in vari modi. Un esempio è mostrato nella Figura 33.1, dove la tensione è disegnata usando un sistema di assi cartesiani. In tale grafico, sull’asse verticale si riporta la tensione e sull’asse orizzontale il tempo. Un’altra possibile rappresentazione è mostrata nella Figura 33.3b. Lo spazio delle fasi in cui si disegna il fasore è simile ad un piano in coordinate polari.

La coordinata radiale rappresenta l’ampiezza del segnale e la coordinata angolare la sua fase.

La coordinata verticale della freccia del fasore rappresenta, in un dato istante, il valore della tensione. Al contrario, la coordinata orizzontale di tale freccia non rappresenta alcuna grandezza fisica. Come mostrato nella Figura 33.3b, anche le correnti alternate possono essere rappresentate con il diagramma dei fasori.

Per seguire meglio questa discussione in cui si fa uso dei fasori, può essere opportuno rivedere il Paragrafo 15.4, dove abbiamo rappresentato il moto armonico di un corpo proiettando il moto circolare uniforme di un corpo immaginario sugli assi coordinati. La rappresentazione mediante fasori, infatti, è l’analogo di questo tipo di approccio.

33.2 Resistori in un circuito in c.a. 1001

Possiamo rendere quantitativa questa discussione ricordando che in un re- sistore la rapidità con cui l’energia elettrica viene dissipata in energia inter- na è data dalla potenza P = i ²R, in cui i è il valore istantaneo della corrente nel resistore. Poiché la potenza è proporzionale al quadrato della corren- te, non c’è differenza fra corrente continua e corrente alternata; non impor- ta, cioè, se la corrente scorre nel verso positivo o in quello negativo. Tuttavia, l’aumento di temperatura prodotto da una corrente alternata di valore massi- mo I_max è diverso da quello prodotto da una corrente continua uguale ad I_max. Infatti, in un ciclo, la corrente alternata raggiunge il suo valore massimo so- lamente in un istante (Fig. 33.5a). Quello che è importante in un circuito in c.a. è un certo tipo di valore medio della corrente, chiamato corrente effica- ce. La corrente efficace non è altro che il valore quadratico medio già definito nel Paragrafo 21.1. La corrente efficace è la radice quadrata del valor medio del quadrato della corrente: ₁

2I²_max

I_eff 1 i( )² media^{. Poiché i 2} varia nel tempo come sin² vt e poiché il valor medio di i ² è ¹²I²max

I_eff 1 i( )² media

(Fig. 33.5b), la corrente efficace è Ieff 5 I_max

"2 50.707I_max (33.4)

DVeff 5 DVmax

"2 50.707 DV_max (33.5)

Ieff

II 5 III_max

"2

" 50.707III_max

DVVVeff 5 DVVVmax

"2

" 50.707 DVVV_max

Il significato di questa equazione è che una corrente alternata di valore massimo 2.00 A fornirà ad un resistore la stessa potenza di una corrente continua di (0.707) (2.00 A) = 1.41 A. La potenza media fornita ad un resistore percorso da una corren- te alternata è

P_media 5 I²_effR

Anche per la tensione alternata è utile definire un valore efficace. La relazione è identica a quella della corrente:

Ieff 5 Imax

"2 50.707I_max (33.4)

DV_eff 5 DVmax

"2 50.707 DV_max (33.5)

Ieff

II 5 IIImax

"2

" 50.707III_max

DVVV_eff 5 DVVVmax

"2

" 50.707 DVVV_max

Quando si dice che ai capi di una presa di corrente alternata si misura una tensione di 120 V, in realtà si vuol dire che la tensione efficace è 120 V. Un semplice calcolo, usando l’Equazione 33.5, mostra che questa tensione alternata ha in realtà un valore massimo di circa 170 V. La principale ragione per riferirsi a valori efficaci è il fatto che gli amperometri ed i voltmetri sono progettati per indicare direttamente tali valori. Inoltre, facendo uso dei valori efficaci, molte equazioni hanno la stessa forma di quelle già trovate nello studio dei circuiti percorsi da corrente continua.

W

W Potenza media trasferita ad un resistore

Figura 33.5 (a) Grafico della corrente in un resistore in funzione del tempo. (b) Grafico del quadrato della corrente in un resistore in funzione del tempo, che mostra come la linea rossa tratteggiata rappresenti la media di I ²max sin vt. In generale, si tenga presente che il valore medio di sin² vt o di cos² vt su un ciclo è sempre ¹–₂.

a

b

Le regioni ombreggiate in grigio sotto la curva e sopra la linea rossa tratteggiata hanno la stessa area delle regioni ombreggiate in grigio sopra la curva e sotto la linea rossa tratteggiata.

I_max

i²

t

t i

I²_max

1 2I²_max

0

0 (i²)_media

W

W Corrente efficace

W

W Tensione efficace

S O L U Z I O N E

La tensione di uscita di un generatore di c.a. è descritta dall’espressione Dv 5 200 sin vt, con Dv in volt. Si calcoli la corrente efficace quando il generatore è connesso ad un resistore da 100 V.

Concettualizzare La Figura 33.2 mostra la situazione fisica analizzata in questo esempio.

Classificare Si calcolerà la corrente usando un’equazione ricavata in questo paragrafo, quindi questo esempio può essere classificato come un problema di sostituzione.

Si combinano le Equazioni 33.2 e 33.4 per trovare la corrente efficace:

Confrontando l’espressione fornita per la tensione del generatore con quella generale Dv 5 DV_max sin vt si ricava DV_max 5 200  V. Si sostituiscono i valori numerici:

Esempio 33.1 Che cosa rappresenta la corrente efficace?

I_eff 5Imax

"2 5DVmax

"2R Ieff 5 200 V

"2 1100 V2 5 1.41 A

Dv 2 L di_L dt 50

Dv 5 L diL

dt 5 DVmax sin vt (33.6)

diL5 DV_max

L sin vt dt

i_L5 DVmax

L ³ sin vt dt 5 2 DVmax

vL cos vt (33.7)

i_L5DVmax

vL sin avt 2 p

2 b (33.8)

Ieff 5Imax

"2 5DVmax

"2R Ieff 5 200 V

"2 1100 V2 5 1.41 A

Dv 2 L di_L dt 50

Dv 5 L diL

dt 5 DVmax sin vt (33.6)

diL5 DV_max

L sin vt dt

i_L5 DVmax

L ³ sin vt dt 5 2 DVmax

vL cos vt (33.7)

i_L5DVmax

vL sin avt 2 p

2 b (33.8)

33.3 Induttori in un circuito in c.a.

Consideriamo ora un circuito in c.a. che consiste solamente in un induttore collegato ai capi di un generatore, come mostrato nella Figura 33.6. Se Dv_L 5 2L(di_L/dt) è la f.e.m. autoindotta istantanea ai capi dell’induttore (si veda l’Eq. 32.1), la legge di Kirchhoff, applicata a questo circuito, dà Dv 1 Dv_L 5 0, ovvero

Ieff 5Imax

"2 5DVmax

"2R Ieff 5 200 V

"2 1100 V2 5 1.41 A

Dv 2 L di_L dt 50

Dv 5 L di_L

dt 5 DV_max sin vt (33.6)

di_L5 DVmax

L sin vt dt

i_L5 DV_max

L ³ sin vt dt 5 2 DV_max

vL cos vt (33.7)

iL5DV_max

vL sin avt 2 p

2 b (33.8)

Sostituendo DV_max sin vt a Dv in questa equazione, otteniamo Ieff 5Imax

"2 5DVmax

"2R Ieff 5 200 V

"2 1100 V2 5 1.41 A

Dv 2 L di_L dt 50

Dv 5 L di_L

dt 5 DVmax sin vt (33.6)

di_L5 DVmax

L sin vt dt

iL5 DV_max

L ³ sin vt dt 5 2 DV_max

vL cos vt (33.7)

i_L5DVmax

vL sin avt 2 p

2 b (33.8)

Si ottiene allora per di_L

Ieff 5Imax

"2 5DVmax

"2R Ieff 5 200 V

"2 1100 V2 5 1.41 A

Dv 2 L di_L dt 50

Dv 5 L di_L

dt 5 DV_max sin vt (33.6)

di_L5 DVmax

L sin vt dt

i_L5 DV_max

L ³ sin vt dt 5 2 DV_max

vL cos vt (33.7)

iL5DV_max

vL sin avt 2 p

2 b (33.8)

Integrando questa espressione,¹ otteniamo la corrente nell’induttore in funzione del tempo:

Ieff 5Imax

"2 5DVmax

"2R Ieff 5 200 V

"2 1100 V2 5 1.41 A

Dv 2 L diL

dt 50

Dv 5 L di_L

dt 5 DV_max sin vt (33.6)

di_L5 DVmax

L sin vt dt

i_L5 DVmax

L ³ sin vt dt 5 2 DVmax

vL cos vt (33.7)

iL5DV_max

vL sin avt 2 p

2 b (33.8)

Usando l’identità trigonometrica cos vt 5 2sin(vt 2 p/2), l’Equazione 33.7 può essere scritta nella forma

Ieff 5Imax

"2 5DVmax

"2R I_eff 5 200 V

"2 1100 V2 5 1.41 A

Dv 2 L diL

dt 50

Dv 5 L di_L

dt 5 DV_max sin vt (33.6)

di_L5 DV_max

L sin vt dt

i_L5 DVmax

L ³ sin vt dt 5 2 DVmax

vL cos vt (33.7)

i_L5DV_max

vL sin avt 2 p

2 b (33.8)

Confrontando questo risultato con l’Equazione 33.6, si vede chiaramente che la cor- rente i_L nell’induttore è in ritardo di fase di p/2 rad 5 90° rispetto alla tensione Dv_L ai suoi capi.

La Figura 33.7a mostra il grafico della tensione e della corrente in funzione del tempo. Nell’istante in cui la corrente nell’induttore è massima (punto b nella

1Non abbiamo tenuto conto della costante di integrazione, in quanto essa dipende dalle condizioni iniziali, che per questa situazione non sono importanti.

L

v_L

v  V_max sin vt

Figura 33.6 Un circuito in c.a. che consiste in un induttore di induttanza L collegato ad un generatore di c.a.

Corrente in un induttore 

33.3 Induttori in un circuito in c.a. 1003

Fig. 33.7a), essa ha una variazione nel tempo nulla, quindi la tensione ai capi dell’in- duttore è zero (punto d). Nei punti come a ed e, la corrente è invece istantaneamen- te nulla, ma la sua variazione è massima. Quindi è massima anche la tensione ai capi dell’induttore (punti c ed f). Si noti che la tensione raggiunge il suo valore massimo un quarto di periodo prima che la corrente sia massima. Di conseguenza, quando la tensione applicata da un generatore è sinusoidale, la corrente che circola in un induttore è in ritardo di fase rispetto alla tensione presente ai capi dell’induttore di 90^o (corrispondente ad un quarto di periodo).

Come nel caso di un circuito contenente solo un elemento resistivo, anche in questo caso possiamo rappresentare la relazione tra la corrente e la tensione utiliz- zando il diagramma dei fasori, come mostrato nella Figura 33.7b. Il fasori formano un angolo di 90^o tra loro e ciò rappresenta infatti la differenza di fase di 90° fra corrente e tensione.

L’Equazione 33.7 mostra che in un circuito induttivo la corrente raggiunge il suo valore massimo quando cos vt 5 61:

I_max5DVmax

vL (33.9)

X_L ; vL (33.10)

Imax5 DV_max

X_L (33.11)

X_L X ; vL

Im

II ax5 DVVV_max X_L X

Questa relazione è simile a quella che lega tra loro corrente, tensione e resistenza in un circuito in c.c., I 5 DV/R (Eq. 27.7). Dal momento che I_max è misurata in am- pere e DVmax in volt, la quantità vL ha come unità di misura l’ohm. Quindi, vL ha la stessa unità di misura della resistenza ed è legata alla corrente ed alla tensione in modo analogo. Essa deve, allora, in qualche modo rappresentare la resistenza offer- ta al flusso delle cariche. Dal momento che vL dipende dalla frequenza angolare applicata v, un elemento induttivo reagisce in modo diverso, nel senso che si oppone al passaggio di corrente in modo differente, a seconda della frequenza angolare. Per questa ragione, definiamo il prodotto vL come la reattanza induttiva X_L:

I_max5DV_max

vL (33.9)

X_L ; vL (33.10)

Imax5 DVmax

X_L (33.11)

X_L X ; vL

Im

II ax5 DVVVmax

X_L X

Quindi, possiamo riscrivere l’Equazione 33.9 nella forma Imax5DV_max

vL (33.9)

X_L ; vL (33.10)

I_max5 DVmax

XL (33.11)

X_L X ; vL

I_m

II _ax5 DVVVmax

XL

X

L’espressione per la corrente efficace in un induttore è simile all’Equazione 33.11;

basta sostituire I_max con I_eff e DVmax con DVeff.

L’Equazione 33.10 indica che, per una certa tensione applicata, la reattanza in- duttiva cresce all’aumentare della frequenza angolare. Questo è in accordo con la legge di Faraday: infatti, quanto più rapidamente cambia la corrente nell’induttore, tanto maggiore è la corrispondente forza controelettromotrice. La maggiore forza controelettromotrice si traduce in un aumento della reattanza e in una diminuzione della corrente.

La corrente è in ritardo di un quarto di ciclo rispetto alla tensione.

I fasori della corrente e della tensione sono sfasati di 90°.

I_max

a t c

d b

e T f

V_max

v_L, i_L

vt

v_L i_L

i_L

v_L V_max

I_max

a b

v_L, i_L

Figura 33.7 (a) Grafici in funzione del tempo della corrente istantanea i_L e della tensione istantanea Dv_L ai capi di un induttore. (b) Diagramma dei fasori per il circuito induttivo.

W

W Corrente massima in un induttore

W

W Reattanza induttiva

E SE?

Esempio 33.2 Circuito in c.a. puramente induttivo

S O L U Z I O N E

Tensione ai capi di un W induttore WW

Usando le Equazioni 33.6 e 33.11, si trova che la tensione istantanea ai capi dell’induttore è

Dv_L5 2L diL

dt 5 2DVmax sin vt 5 2ImaxX_L sin vt (33.12)

Ieff 5DVeff

XL

5 150 V

9.42 V5 15.9 A

X_L 5 vL 5 2pfL 5 2p(60.0 Hz)(25.0 3 10²³ H) 5 9.42 V

X_L 5 2p(6.00 3 10³ Hz)(25.0 3 10²³ H) 5 942 V Ieff 5 150 V

942 V50.159 A

Dv 2 q

C50 (33.13)

Q uiz 33.2 Si consideri il circuito in c.a. mostrato in Figura 33.8. Si immagini di cambia- re la frequenza angolare del generatore mantenendo costante l’ampiezza della tensio- ne applicata. In quale situazione la luce emessa dalla lampadina risulterà più intensa?

(a) Ad alte frequenze. (b) A basse frequenze. (c) Sarà identica a tutte le frequenze.

L R

Figura 33.8 (Quiz 33.2) Per quale valore della frequenza la luce emessa dalla lampadina è più intensa?

In un circuito in c.a. puramente induttivo, L 5 25.0 mH e la tensione efficace è 150 V. Si calcolino la reattanza induttiva e la corrente efficace se la frequenza del generatore è 60.0 Hz.

Concettualizzare La Figura 33.6 mostra la situazione fisica analizzata in questo esempio. Si tenga presente che la reattanza induttiva aumenta all’aumentare della frequenza della tensione applicata.

Classificare Si calcoleranno la reattanza e la corrente usando le equazioni ricavate in questo paragrafo, quindi que- sto esempio può essere classificato come un problema di sostituzione.

Si usa l’Equazione 33.10 per calcolare la reattanza induttiva:

Per calcolare la corrente efficace si usa l’Equazione 33.11:

Se la frequenza venisse aumentata fino al valore di 6.00 kHz, come cambierebbe la corrente efficace nel circuito?

Risposta Aumentando la frequenza, aumenta anche la reattanza induttiva, perché la corrente cambia più rapida- mente nel tempo. Aumentando la reattanza induttiva, diminuisce quindi la corrente.

Si calcolano quindi la reattanza induttiva a questa nuova frequenza e la corrispondente corrente efficace:

Dv_L5 2L di_L

dt 5 2DV_max sin vt 5 2I_maxX_L sin vt (33.12)

Ieff 5DVeff

XL

5 150 V

9.42 V5 15.9 A

X_L 5 vL 5 2pfL 5 2p(60.0 Hz)(25.0 3 10²³ H) 5 9.42 V

X_L 5 2p(6.00 3 10³ Hz)(25.0 3 10²³ H) 5 942 V I_eff 5 150 V

942 V50.159 A

Dv 2 q

C50 (33.13)

Dv_L5 2L diL

dt 5 2DVmax sin vt 5 2I_maxX_L sin vt (33.12)

Ieff 5DVeff

XL

5 150 V

9.42 V5 15.9 A

X_L 5 vL 5 2pfL 5 2p(60.0 Hz)(25.0 3 10²³ H) 5 9.42 V

X_L 5 2p(6.00 3 10³ Hz)(25.0 3 10²³ H) 5 942 V Ieff 5 150 V

942 V50.159 A

Dv 2 q

C50 (33.13)

33.4 Condensatori in un circuito in c.a.

La Figura 33.9 mostra un circuito formato da un condensatore collegato ai capi di un generatore di corrente alternata. La legge di Kirchhoff delle maglie, applicata a questo circui to, dà Dv 1 Dv_C 5 0, ovvero

Dv_L5 2L diL

dt 5 2DVmax sin vt 5 2I_maxX_L sin vt (33.12)

Ieff 5DVeff

XL

5 150 V

9.42 V5 15.9 A

X_L 5 vL 5 2pfL 5 2p(60.0 Hz)(25.0 3 10²³ H) 5 9.42 V

X_L 5 2p(6.00 3 10³ Hz)(25.0 3 10²³ H) 5 942 V Ieff 5 150 V

942 V50.159 A

Dv 2 q

C 50 (33.13)

33.4 Condensatori in un circuito in c.a. 1005

C

v_C

v  V_max sin vt

Figura 33.9 Un circuito che consiste in un con- densatore di capacità C connesso ad un generatore di c.a.

Sostituendo DVmax sin vt a Dv, possiamo riscrivere l’equazione nella forma

q 5 C DVmax sin vt (33.14)

i_C5 dq

dt 5 vC DV_max cos vt (33.15)

cos vt 5 sin avt 1 p 2 b

i_C5 vC DV_max sin avt 1p

2 b (33.16)

dove q è la carica sul condensatore in un certo istante. Derivando l’Equazione 33.14 rispetto al tempo, otteniamo la corrente istantanea nel circuito:

q 5 C DVmax sin vt (33.14)

i_C5 dq

dt 5 vC DVmax cos vt (33.15)

cos vt 5 sin avt 1 p 2 b

i_C5 vC DV_max sin avt 1p

2 b (33.16)

Usando l’identità trigonometrica

q 5 C DVmax sin vt (33.14)

iC5 dq

dt 5 vC DVmax cos vt (33.15)

cos vt 5 sin avt 1 p 2 b

i_C5 vC DV_max sin avt 1p

2 b (33.16)

possiamo esprimere l’Equazione 33.15 nella forma alternativa

q 5 C DV_max sin vt (33.14)

i_C5 dq

dt 5 vC DV_max cos vt (33.15)

cos vt 5 sin avt 1 p 2 b

i_C5 vC DVmax sin avt 1p

2 b (33.16)

Confrontando questa espressione con l’espressione Dv 5 DV_max sin vt, si vede che la corrente è in anticipo di fase di p/2 rad 5 90° rispetto alla tensione ai capi del condensatore. Il grafico della corrente e della tensione in funzione del tempo (Fig.

33.10a) mostra che la corrente raggiunge il suo valore massimo un quarto di periodo prima che la tensione raggiunga il suo valore massimo.

Consideriamo, per esempio, il punto b in Figura 33.10a; in questo istante la cor- rente è nulla. Questo accade quando sul condensatore la carica è massima ed in tale istante è massima anche la tensione tra le due armature (punto d). Nei punti a ed e la corrente ha intensità massima, la carica sul condensatore è nulla ed il conden- satore inizia a ricaricarsi con la polarità opposta. Quando la carica è nulla, anche la tensione tra le armature del condensatore è nulla (punti c ed f), quindi la corrente e la tensione non sono in fase.

Come nel caso degli induttori, possiamo rappresentare la corrente e la tensione mediante un diagramma dei fasori. Il corrispondente diagramma, mostrato nella Figura 33.10b, mostra che per una tensione applicata sinusoidale, la corrente è in anticipo di fase di 90^o rispetto alla tensione tra le armature del condensatore.

W

W Corrente in un condensatore

a b

I_max

I_max a

d f b c

e T t

V_max

v_C , i_C v_C , i_C

i_C

v_C V_max

i_C

v_C

I fasori della corrente e della tensione sono sfasati di 90°.

La corrente è in anticipo di un quarto di ciclo rispetto alla tensione.

vt

Figura 33.10 (a) Grafici in funzione del tempo della corrente istantanea iC e della tensione istantanea DvC ai capi di un condensatore. (b) Diagramma dei fasori per il circuito capacitivo.

Dall’Equazione 33.15 si osserva che nel circuito la corrente raggiunge il suo valo- re massimo quando cos vt 5 61:

Imax5 vC DVmax5 DVmax

11/vC2 (33.17)

X_C ; 1

vC (33.18)

Imax5DV_max

X_C (33.19)

DvC5 DVmax sin vt 5 I_max X_C sin vt (33.20) X_C ; 1

vC

Im

II ax5DVVV_max X_C

Come nel caso degli induttori, anche in questa situazione la precedente equazione risulta simile all’Equazione 27.7, e quindi il denominatore deve giocare un ruolo analogo a quello di una resistenza e deve essere misurato in ohm. Indicheremo con il simbolo X_C la quantità 1/vC e, poiché questa quantità dipende dalla frequenza angolare, la chiameremo reattanza capacitiva:

Imax5 vC DVmax5 DV_max

11/vC2 (33.17)

X_C ; 1

vC (33.18)

I_max5DV_max

X_C (33.19)

Dv_C5 DV_max sin vt 5 I_max X_C sin vt (33.20) X_C ; 1

vC

I_m

II _ax5DVVV_max X_C

Possiamo quindi riscrivere l’Equazione 33.17 nella forma I_max5 vC DV_max5 DVmax

11/vC2 (33.17)

X_C ; 1

vC (33.18)

Imax5DVmax

X_C (33.19)

Dv_C5 DVmax sin vt 5 Imax X_C sin vt (33.20) X_C ; 1

vC

Im

II ax5DVVVmax

X_C

La corrente efficace è data da un’espressione simile all’Equazione 33.19, con I_eff al posto di I_max e con DV_eff al posto di DV_max.

Usando l’Equazione 33.19, possiamo esprimere la tensione istantanea ai capi del condensatore come

I_max5 vC DV_max5 DVmax

11/vC2 (33.17)

XC ; 1

vC (33.18)

Imax5DVmax

X_C (33.19)

Dv_C5 DVmax sin vt 5 I_max X_C sin vt (33.20) XC ; 1

vC

Im

II ax5DVVVmax

X_C

Le Equazioni 33.18 e 33.19 indicano che, quando la frequenza angolare del gene- ratore di tensione aumenta, la reattanza capacitiva del circuito diminuisce, per cui la corrente massima aumenta. La frequenza angolare della corrente è determinata dalla frequenza angolare del generatore di tensione che alimenta il circuito. Quan- do la frequenza angolare tende a zero, la reattanza capacitiva tende all’infinito e, di conseguenza, la corrente tende a zero. Ciò è comprensibile, poiché, quando v tende a 0, il circuito tende alla condizione di circuito in corrente continua ed il condensa- tore rappresenta un collegamento aperto.

Q uiz 33.3 Si consideri il circuito in c.a. mostrato in Figura 33.11. Se si cambia la frequenza angolare del generatore di c.a. mantenendo costante l’ampiezza del- la tensione applicata, in quale situazione la luce emessa dalla lampadina risulterà più intensa? (a) Ad alte frequenze. (b) A basse frequenze. (c) È identica a tutte le frequenze.

C R

Figura 33.11 (Quiz 33.3)

Q uiz 33.4 Si consideri il circuito in c.a. mostrato in Figura 33.12. Se si cambia la frequenza angolare del generatore di c.a. mantenendo costante l’ampiezza del- la tensione applicata, in quale situazione la luce emessa dalla lampadina risulterà più intensa? (a) Ad alte frequenze. (b) A basse frequenze. (c) È identica a tutte le frequenze.

Reattanza capacitiva 

Corrente massima in un  condensatore W

Tensione ai capi di un  condensatore

L R

C

Figura 33.12 (Quiz 33.4)