Circui& in corrente alternata (AC)

(1)

Circui& in corrente alternata (AC)

Grandezze alternate

corrente alternata I, V: ampiezza

ω: pulsazione ω=2πf

tensione alternata φ

₁

, φ

₂

fase iniziale, sfasamento

Δφ = φ

₁

- φ

₂

diﬀerenza di fase i-v

f = 1/T (Hz) ω=2π/T (rad/s)

anAcipo di fase: scorrimento verso sx

ritardo di fase: scorrimento verso dx

Capitolo 2

Analisi dei circuiti in corrente alternata

2.1 Grandezze alternate

Con il termine corrente o tensione alternata si indica una corrente o una tensione con una dipendenza sinusoidale dal tempo, del tipo:

i = i(t) = Isin(!t ±

¹

) v = v(t) = V sin(!t ±

²

)

dove I e V indicano l’ampiezza delle corrispondenti grandezze alternate, ! ´e la pulsazione, legata alla frequenza ⌫ della sinusoide dalla relazione: ! = 2⇡⌫,

1

e

₂

sono le fasi iniziali ed il segno ± indica lo sfasamento dell’onda: il segno + indica, nel caso della tensione per esempio, che l’onda ´e in anticipo di

₁

rispetto a V sin !t mentre il segno meno indica che l’onda ´e in ritardo di

2

rispetto a V sin !t. Graficamente, un anticipo di fase corrisponde ad una traslazione dell’onda lungo l’asse dei tempi verso sinistra di una quantit´a pari all’angolo , un ritardo di fase ad una traslazione verso destra, come indicato in figura 2.1 nel secondo e terzo riquadro.

La di↵erenza =

₁ ₂

indica la di↵erenza di fase tra la corrente e la tensione, per esempio.

Il valor medio di una grandezza alternata ´e nullo:

¯

v = 1 T

Z

T 0

v(t)dt = 1 2⇡

Z

2⇡

0

V sin ✓ d✓ = 0 ✓ = !t +

Si definisce valore efficace di una grandezza alternata la radice quadrata del 73

74CAPITOLO 2. ANALISI DEI CIRCUITI IN CORRENTE ALTERNATA

Figura 2.1:

ωT = 2π

(2)

valor medio di una grandezza alternata su un periodo (o su n periodi)

valore eﬃcace di una grandezza alternata

rappresentazione di una grandezza alternata (caso graﬁco)

punto su una circonferenza che ruota con velocita’ angolare costante ω

costante, in senso anAorario valore istantaneo di v(t)

proiezione del punto su asse y

secondo estremo di veIore in un circuito i, v hanno la stessa f di modulo V con primo estremo interessano solo le relazioni di fase in O in rotazione con ω costante punA rappresentaAvi a t ﬁsso, t=0

Capitolo 2

Analisi dei circuiti in corrente alternata

2.1 Grandezze alternate

Con il termine corrente o tensione alternata si indica una corrente o una tensione con una dipendenza sinusoidale dal tempo, del tipo:

i = i(t) = Isin(!t± ¹) v = v(t) = V sin(!t± ²)

dove I e V indicano l’ampiezza delle corrispondenti grandezze alternate, ! ´e la pulsazione, legata alla frequenza ⌫ della sinusoide dalla relazione: ! = 2⇡⌫,

1 e ₂ sono le fasi iniziali ed il segno ± indica lo sfasamento dell’onda: il segno + indica, nel caso della tensione per esempio, che l’onda ´e in anticipo di 1 rispetto a V sin !t mentre il segno meno indica che l’onda ´e in ritardo di

2 rispetto a V sin !t. Graficamente, un anticipo di fase corrisponde ad una traslazione dell’onda lungo l’asse dei tempi verso sinistra di una quantit´a pari all’angolo , un ritardo di fase ad una traslazione verso destra, come indicato in figura 2.1 nel secondo e terzo riquadro.

La di↵erenza = 1 2 indica la di↵erenza di fase tra la corrente e la tensione, per esempio.

Il valor medio di una grandezza alternata ´e nullo:

¯ v = 1

T Z T

0

v(t)dt = 1 2⇡

Z 2⇡

0

V sin ✓ d✓ = 0 ✓ = !t +

Si definisce valore efficace di una grandezza alternata la radice quadrata del 73

2.1. GRANDEZZE ALTERNATE 75

valore medio del quadrato:

V_{ef f} = s

1 2⇡

Z _2⇡

0

V²sin²✓ d✓ = V p2

Ief f = I p2

Una grandezza alternata, ad esempio v(t), ´e rappresentata, istante per istante, da un punto P su un cerchio di raggio V, come indicato in figura 6.2.

Tale punto si muove sul cerchio con velocit´a angolare ! in senso antiorario;

Figura 2.2:

il valore istantaneo di v(t) é la proiezione del punto P sull’asse y. Esso puó anche essere considerato come il secondo estremo di un vettore di modulo V, con il primo estremo fisso nell’origine, in rotazione in senso antiorario con velocitá angolare !.

Poiché in un circuito di solito interessano solo le relazioni di ampiezza e fase tra grandezze diverse (i, v) che hanno la stessa frequenza (e perció la stessa pulsazione), ci si puó limitare a considerare le posizioni fisse assunte dai punti rappresentativi (o vettori rappresentativi) ad un tempo scelto, per esempio a t=0.

x y

V P

ωt+φ φ

O

(3)

x

y P

O φ

a b

V

76CAPITOLO 2. ANALISI DEI CIRCUITI IN CORRENTE ALTERNATA Il punto (o vettore) corrispondente ad una grandezza sinusoidale v = V sin !t pu´o essere rappresentato dalle sue proiezioni (o componenti) in un sistema di riferimento ad assi ortogonali (x, y), a e b, come mostrato in figura 6.3.

Figura 2.3:

Il modo piú semplice per distinguere la componente y dalla componente x é quello di moltiplicare il numero b per una funzione j che faccia ruotare un vettore di modulo b di ⇡/2 in senso antiorario; j² provocherá una rotazione di ⇡ (verso negativo dell’asse x), cioé cambierá a in a; j³ = jj² ruoterá di 3/2⇡. Questo indica che é possibile identificare l’operatore j con il numero immaginario j =p

1 ed esprimere in forma algebrica il vettore v come somma delle sue componenti nel piano complesso:

v = a + jb = V cos + j V sin = V e^j

Le operazioni che coinvolgono grandezze alternate si possono in tal modo ricondurre alla algebra dei numeri complessi.

Anche in questa rappresentazione non compare esplicitamente la ve- locitá di rotazione !; in realtá, poiché la fase all’istante t vale !t + , si puó tenerne conto in forma piú generale esprimendo:

v = V e^{j(!t+ )} = V e^j e^j!t

dove il fattore moltiplicativo e^j!t, che tiene conto della componente tempo- rale della fase, ´e un numero complesso di modulo 1 e viene abitualmente sottointeso nei calcoli.

76CAPITOLO 2. ANALISI DEI CIRCUITI IN CORRENTE ALTERNATA Il punto (o vettore) corrispondente ad una grandezza sinusoidale v = V sin !t pu´o essere rappresentato dalle sue proiezioni (o componenti) in un sistema di riferimento ad assi ortogonali (x, y), a e b, come mostrato in figura 6.3.

Figura 2.3:

Il modo piú semplice per distinguere la componente y dalla componente x é quello di moltiplicare il numero b per una funzione j che faccia ruotare un vettore di modulo b di ⇡/2 in senso antiorario; j² provocherá una rotazione di ⇡ (verso negativo dell’asse x), cioé cambierá a in a; j³ = jj² ruoterá di 3/2⇡. Questo indica che é possibile identificare l’operatore j con il numero immaginario j =p

1 ed esprimere in forma algebrica il vettore v come somma delle sue componenti nel piano complesso:

v = a + jb = V cos + j V sin = V e^j

Le operazioni che coinvolgono grandezze alternate si possono in tal modo ricondurre alla algebra dei numeri complessi.

Anche in questa rappresentazione non compare esplicitamente la ve- locitá di rotazione !; in realtá, poiché la fase all’istante t vale !t + , si puó tenerne conto in forma piú generale esprimendo:

v = V e^{j(!t+ )} = V e^j e^j!t

dove il fattore moltiplicativo e^j!t, che tiene conto della componente tempo- rale della fase, ´e un numero complesso di modulo 1 e viene abitualmente sottointeso nei calcoli.

(4)

richiami sui numeri complessi

_2.1.1 Richiami sui numeri complessi

Rappresentazione di un numero complesso z

– mediante la parte reale (a) e la parte immaginaria (b):

z = a + jb – mediante il modulo (Z) e la fase ( ):

z = Ze^j

modulo e parti reale ed immaginaria sono legati dalla relazione Z² = a²+ b² e dalla formula di Eulero:

e^j = cos + jsin si ha che tg = b/a.

Somma di due numeri complessi z1 e z2

z = z₁+ z₂ = (a₁+ a₂) + j(b₁+ b₂) quindi, se z = a + jb:

a = a₁+ a₂ b = b₁+ b₂ Prodotto di due numeri complessi: x = Xe^j e y = Y e^j✓

z = xy = XY e^{i( +✓)} quindi, se z = Ze^j :

Z = XY = + ✓

Quest’ultima relazione indica che la moltiplicazione di due numeri complessi modi-fica la fase: infatti la fase del prodotto z é diversa dalla fase di ciascuno dei fattori ed é pari alla somma delle due fasi. Se uno dei fattori é reale, per esempio x, = 0 e la fase di z resta uguale a quella dell’altro fattore, y:

quindi moltiplicare un numero complesso per un numero reale non modifica la fase.

Rapporto tra due numeri complessi: x = Xe^j e y = Y e^j✓

z = x/y = X/Y e^j( ^✓) quindi, se z = Ze^j :

Z = X/Y = ✓

(5)

2.1. GRANDEZZE ALTERNATE 77

2.1.1 Richiami sui numeri complessi

Rappresentazione di un numero complesso z

– mediante la parte reale (a) e la parte immaginaria (b):

z = a + jb – mediante il modulo (Z) e la fase ( ):

z = Ze^j

modulo e parti reale ed immaginaria sono legati dalla relazione Z² = a²+ b² e dalla formula di Eulero:

e^j = cos + jsin si ha che tg = b/a.

Somma di due numeri complessi z1 e z2

z = z1+ z2 = (a1 + a2) + j(b1 + b2) quindi, se z = a + jb:

a = a1+ a2 b = b1+ b2

Prodotto di due numeri complessi: x = Xe^j e y = Y e^j✓

z = xy = XY e^{i( +✓)} quindi, se z = Ze^j :

Z = XY = + ✓

Quest’ultima relazione indica che la moltiplicazione di due numeri complessi modi-fica la fase: infatti la fase del prodotto z é diversa dalla fase di ciascuno dei fattori ed é pari alla somma delle due fasi. Se uno dei fattori é reale, per esempio x, = 0 e la fase di z resta uguale a quella dell’altro fattore, y:

quindi moltiplicare un numero complesso per un numero reale non modifica la fase.

Rapporto tra due numeri complessi: x = Xe^j e y = Y e^j✓

z = x/y = X/Y e^j( ^✓) quindi, se z = Ze^j :

Z = X/Y = ✓

78CAPITOLO 2. ANALISI DEI CIRCUITI IN CORRENTE ALTERNATA Quest’ultima relazione indica che la divisione di due numeri complessi modifica la fase: infatti la fase del rapporto z é diversa dalla fase di ciascuno dei fattori ed é pari alla di↵erenza delle due fasi. Se il denominatore é reale (cioé ✓=0), la fase di z resta uguale a quella del numeratore ( = ): quindi dividere per un numero reale non modifica la fase. Se invece il numeratore

é reale (cioé =0), la fase di z é uguale a quella del denominatore cambiata di segno: quindi dividere un numero reale per un numero complesso significa cambiare il segno della fase di quest’ultimo ( = ✓).

2.2 Componenti di circuito in regime sinusoidale

Resistenza

Istante per istante la corrente che percorre una resistenza R e la tensione ai suoi capi sono legate dalla legge di Ohm:

v = Ri Se

v = V sin (!t + ) sar´a

i = I sin (!t + ) con I = V /R.

Corrente e tensione nella resistenza sono in fase ( =0) come mostrato nella figura 2.4

Capacit´a

La quantitá di carica q sulle armature di un condensatore di ca- pacitá C é proporzionale alla di↵erenza di potenziale tra le armature stesse, VC:

q = CVC

Una variazione della tensione corrisponder´a ad una corrente (derivando):

i_C = CdVC

dt

dove si ´e assunto che C non dipenda dal tempo, come avviene normalmente.

Pertanto se:

v_C = V sin !t

(6)

Componen& di circuito in regime sinusoidale

Quest’ultima relazione indica che la divisione di due numeri complessi modifica la fase: infatti la fase del rapporto z é diversa dalla fase di ciascuno dei fattori ed é pari alla di↵erenza delle due fasi. Se il denominatore é reale (cioé ✓=0), la fase di z resta uguale a quella del numeratore ( = ): quindi dividere per un numero reale non modifica la fase. Se invece il numeratore

Resistenza

v = Ri Se

i = I sin (!t + ) con I = V /R.

Capacit´a

q = CVC

iC = CdVC

dt

Pertanto se:

vC = V sin !t

2.2. COMPONENTI DI CIRCUITO IN REGIME SINUSOIDALE 79

Figura 2.4:

dove si considera nulla la fase iniziale della tensione in quanto si é interessati a valutare sfasamenti rispetto ad essa (essa viene cioé considerata come fase di riferimento), sará:

i_C = !CV cos !t = Isin(!t + ⇡ 2)

L’ampiezza della corrente ´e !C volte quella della tensione; la corrente risulta in anticipo di fase di un quarto di ciclo rispetto alla tensione:

i ha il massimo, positivo o negativo, negli istanti in cui la tensione ´e nulla e viceversa, come indicato in figura 2.5.

In forma complessa si avr´a:

iC = C dvC

dt = ! C vC e^j⇡/2 = j ! C vC

da cui si pu´o ricavare:

v_C = j

C! i_C = i_C

C! e ^j⇡/2

E sottointeso per entrambe un fattore di fase e´ ^i!t. Introducendo la impedenza capacitiva zC:

zC = j

C! = 1

j!C = 1

!Ce ^j⇡/2 ωt V

I 78CAPITOLO 2. ANALISI DEI CIRCUITI IN CORRENTE ALTERNATA

Quest’ultima relazione indica che la divisione di due numeri complessi modifica la fase: infatti la fase del rapporto z é diversa dalla fase di ciascuno dei fattori ed é pari alla di↵erenza delle due fasi. Se il denominatore é reale (cioé ✓=0), la fase di z resta uguale a quella del numeratore ( = ): quindi dividere per un numero reale non modifica la fase. Se invece il numeratore

Resistenza

v = Ri Se

i = I sin (!t + ) con I = V /R.

Capacit´a

q = CVC

iC = CdVC

dt

Pertanto se:

vC = V sin !t

z_R = R non dipende da ω

(7)

Figura 2.4:

dove si considera nulla la fase iniziale della tensione in quanto si é interessati a valutare sfasamenti rispetto ad essa (essa viene cioé considerata come fase di riferimento), sará:

iC = !CV cos !t = Isin(!t + ⇡ 2)

L’ampiezza della corrente ´e !C volte quella della tensione; la corrente risulta in anticipo di fase di un quarto di ciclo rispetto alla tensione:

i ha il massimo, positivo o negativo, negli istanti in cui la tensione ´e nulla e viceversa, come indicato in figura 2.5.

In forma complessa si avr´a:

iC = C dvC

dt = ! C vC e^j⇡/2 = j ! C vC

vC = j

C! iC = iC

C! e ^j⇡/2

E sottointeso per entrambe un fattore di fase e´ ^i!t. Introducendo la impedenza capacitiva zC:

zC = j

C! = 1

j!C = 1

!Ce ^j⇡/2

Figura 2.5:

dove la grandezza:

XC = 1 C!

prende il nome di reattanza capacitiva, si pu´o esprimere la relazione tra tensione e corrente per un condensatore nella forma complessa:

v_C = z_Ci_C

che rappresenta una generalizzazione della legge di Ohm per la capacit´a.

Induttanza

Una variazione della corrente che percorre una bobina di induttanza L provoca, tra i terminali della bobina, una forza controelettromotrice proporzionale alla variazione per unit´a di tempo della corrente:

EL = L di dt

dove il segno negativo esprime il fatto che E_L tende ad opporsi alla causa della variazione di corrente. Se la causa ´e, ad esempio, un generatore di tensione alternata che produce ai capi dell’induttanza una d.d.p.

vL = V sin !t

Figura 2.5:

dove la grandezza:

X_C = 1 C!

v_C = z_Ci_C

Induttanza

E_L = L di dt

dove il segno negativo esprime il fatto che E_L tende ad opporsi alla causa della variazione di corrente. Se la causa ´e, ad esempio, un generatore di tensione alternata che produce ai capi dell’induttanza una d.d.p.

v_L = V sin !t

ωt V_c I_c

π/2

z_C dipende da ω

(8)

Figura 2.6:

tale tensione sar´a legata ad ogni istante t alla corrente che percorre l’induttanza dalla relazione:

vL = L di dt

Questo valore rappresenta una caduta di tensione su una induttanza L percorsa dalla corrente iL. Integrando si ottiene:

i_L= 1 L

Z t 0

v_Ldt = V

!L cos !t = I sin (!t ⇡/2)

l’ampiezza della corrente ´e 1/!L volte quella della tensione; la corrente risulta in ritardo di fase di un quarto di ciclo rispetto alla tensione:

i ha il massimo, positivo o negativo, negli istanti in cui la tensione ´e nulla e viceversa, come indicato in figura 2.6. In forma complessa si avr´a:

iL= vL

z_L = vL

L!e ^j⇡/2 = jvL

L!

vL = iLL! e^j⇡/2 = jL! iL

E sottointeso per entrambe un fattore di fase e´ ^i!t. Introducendo la impedenza induttiva zL:

zL = jL! = L!e^j⇡/2 Figura 2.5:

dove la grandezza:

XC = 1 C!

vC = zCiC

Induttanza

EL = L di dt

dove il segno negativo esprime il fatto che EL tende ad opporsi alla causa della variazione di corrente. Se la causa ´e, ad esempio, un generatore di tensione alternata che produce ai capi dell’induttanza una d.d.p.

vL= V sin !t

Figura 2.5:

dove la grandezza:

XC = 1 C!

vC = zCiC

Induttanza

EL= L di dt

dove il segno negativo esprime il fatto che EL tende ad opporsi alla causa della variazione di corrente. Se la causa ´e, ad esempio, un generatore di tensione alternata che produce ai capi dell’induttanza una d.d.p.

vL = V sin !t

tensione

82CAPITOLO 2. ANALISI DEI CIRCUITI IN CORRENTE ALTERNATA dove la grandezza:

XL= L!

prende il nome di reattanza induttiva, si pu´o esprimere la relazione tra tensione e corrente per un induttore nella forma complessa:

v_L= z_Li_L

che rappresenta una generalizzazione della legge di Ohm per l’induttore.

Principi di Kirchho↵ generalizzati

Avendo definito tensioni, correnti ed impedenze complesse ed avendo esteso la legge di Ohm, si possono usare le stesse leggi e teoremi dei circuiti lineari in corrente continua avendo solo cura di sostituire ai componenti le corrispondenti impedenze complesse. In generale conviene calcolare l’impedenza equivalente

z_eq = Ze^j ^eq

del circuito applicando alle impedenze le stesse regole di composizione delle resistenze usate nell’analisi dei circuiti in corrente continua, per cui se il potenziale di ingresso ´e:

v_in = V e^j!t

la corrente i vale, per la legge di Ohm generalizzata:

i = v_in zeq

= V

Ze^j(!t êq⁾ = Ie^j(!t êq⁾! Ie ^j êq

Riportiamo alcuni esempi di calcolo di impedenze complesse equivalenti.

Circuito RC (figura 2.7)

a b c

I

V_R V_C

R C

Figura 2.7:

XL= L!

vL = zLiL

zeq = Ze^j ^eq

vin = V e^j!t

i = vin

zeq

= V

Ze^j(!t êq⁾ = Ie^j(!t êq⁾! Ie ^j êq

a b c

I

V_R V_C

R C

Figura 2.7:

XL= L!

vL= zLiL

zeq = Ze^j ^eq

vin = V e^j!t

i = vin

zeq

= V

Ze^j(!t êq⁾ = Ie^j(!t êq⁾ ! Ie ^j êq

a b c

I

V V

R C

Figura 2.7: 82CAPITOLO 2. ANALISI DEI CIRCUITI IN CORRENTE ALTERNATA

dove la grandezza:

X_L= L!

vL= zLiL

zeq = Ze^j ^eq

v_in= V e^j!t

i = vin

zeq

= V

a b c

I

V V

R C

Figura 2.7:

Figura 2.6:

tale tensione sar´a legata ad ogni istante t alla corrente che percorre l’induttanza dalla relazione:

v_L = L di dt

Questo valore rappresenta una caduta di tensione su una induttanza L percorsa dalla corrente i_L. Integrando si ottiene:

i_L = 1 L

Z _t

0

v_Ldt = V

!L cos !t = I sin (!t ⇡/2)

l’ampiezza della corrente ´e 1/!L volte quella della tensione; la corrente risulta in ritardo di fase di un quarto di ciclo rispetto alla tensione:

i ha il massimo, positivo o negativo, negli istanti in cui la tensione ´e nulla e viceversa, come indicato in figura 2.6. In forma complessa si avr´a:

i_L = v_L

z_L = v_L

L!e ^j⇡/2 = jv_L L!

v_L = i_LL! e^j⇡/2 = jL! i_L

E sottointeso per entrambe un fattore di fase e´ ^i!t. Introducendo la impedenza induttiva z_L:

z_L = jL! = L!e^j⇡/2

ωt V_c I_c

π/2

z_L dipende da ω

(9)

XL = L!

vL = zLiL

zeq = Ze^j ^eq

vin = V e^j!t

i = vin

zeq

= V

a b c

I

V V

R C

Figura 2.7:

(10)

dove la grandezza:

XL = L!

vL = zLiL

zeq = Ze^j ^eq

vin = V e^j!t

i = vin

z_eq = V

a b c

I

V V

R C

Figura 2.7:

serie

2.2. COMPONENTI DI CIRCUITO IN REGIME SINUSOIDALE 83 L’impedenza equivalente ´e:

z_eq = R + z_C = R j

!C Z =

s R² +

✓ 1

!C

◆2

, tg _eq = X_C

R = 1

!RC La corrente risulta:

i = vin

z_eq = V

Z e ^j ^eq I = V

Z, i = eq

la tensione ai capi della resistenza ´e:

v_R = iR = v_in R zeq

= V R

Ze ^j ^eq VR = IR = V R

Z ^R = eq

la tensione ai capi della capacit´a ´e:

vC = izC = vzC

zeq

= V 1

!CZe ^j( ^eq^+⇡/2) V_C = V 1

!CZ ^C = _eq ⇡/2

Circuito RL (figura 2.8)

a b c

I R L

V_R V_L

Figura 2.8:

L’impedenza equivalente ´e:

zeq = R + zL = R + j!L

(11)

2.2. COMPONENTI DI CIRCUITO IN REGIME SINUSOIDALE 83 L’impedenza equivalente ´e:

zeq = R + zC = R j

!C Z =

s R²+

✓ 1

!C

◆2

, tg eq = XC

R = 1

!RC La corrente risulta:

i = vin

zeq

= V

Z e ^j ^eq I = V

Z, i = eq

vR = iR = vin

R zeq

= V R

Ze ^j ^eq VR = IR = V R

Z ^R = eq

la tensione ai capi della capacit´a ´e:

vC = izC = vzC

zeq

= V 1

!CZe ^j( ^eq^+⇡/2) VC = V 1

!CZ ^C = eq ⇡/2

Circuito RL (figura 2.8)

a b c

I R L

V_R V_L

Figura 2.8:

zeq = R + zL = R + j!L

serie

Z =p

R²+ (!L)², tg eq= XL

R = !L R La corrente risulta:

i = vin

zeq

= V

Z e ^j ^eq I = V

Z, i = eq

v_R = iR = v_inR zL

= VR Ze ^j ^eq VR= IR = V R

Z ^R = eq

la tensione ai capi dell’induttanza ´e:

vL= izL= vzL

zeq

= V!L

Z e ^j( ^eq ^⇡/2) VL= V !L

Z ^L = eq+ ⇡/2

Circuito RLC in serie (figura 2.9)

a b c d

I R L

C

VR VL VC

Figura 2.9:

zeq = R + zL+ zC = R + j(!L 1

!C

Z = s

R²+

✓

!L 1

!C

◆2

, tg eq = XL+ XC

R = !L _!C¹ R

(12)

Z =p

R²+ (!L)², tg eq = XL

R = !L R La corrente risulta:

i = vin

zeq

= V

Z e ^j ^eq I = V

Z, i = eq

vR = iR = vin

R zL

= V R Ze ^j ^eq VR= IR = V R

Z ^R= eq

v_L = iz_L = vzL

zeq

= V !L

Z e ^j( ^eq ^⇡/2) V_L = V!L

Z ^L = _eq+ ⇡/2

Circuito RLC in serie (figura 2.9)

a b c d

I R L

C

VR VL VC

Figura 2.9:

zeq = R + zL+ zC = R + j(!L 1

!C

Z = s

R²+

✓

!L 1

!C

◆2

, tg eq= XL+ XC

R = !L _!C¹ R

2.2. COMPONENTI DI CIRCUITO IN REGIME SINUSOIDALE 85 La corrente risulta:

i = vin

zeq

= V

Z e ^j ^eq I = V

Z, i = eq

vR = iR = vin

R

z_eq = V R Ze ^j ^eq VR = IR = V R

Z ^R= eq

vL= izL= vzL

z_eq = V !L

Z e ^j( ^eq ^⇡/2) VL= V !L

Z ^L= eq+ ⇡/2 la tensione ai capi della capacit´a ´e:

vC = izC = vzC

zeq

= V 1

!CZe ^j( ^eq^+⇡/2) V_C = V 1

!CZ ^C = _eq ⇡/2

Circuito RLC in parallelo (figura 2.10)

I

R

L C

V

R

LC

Figura 2.10: