VVRI =+ IImAVVVV =−===−= 155 VVV =−=− 5 EVRIII +=−=− con:

(1)

ESERCIZIO 11:

Si determini il punto di lavoro del circuito mostrato in figura 11.

(

7 punti

).

Si vuole determinare, successivamente, la potenza dissipata dal transistore MOSFET

(

2 punti

)

. Sono noti: V_T=1V;K=0,1A/V²;E_O=20V;R₁=R₂=1KΩΩΩΩ;V_Z=5V (Appello 6 settembre 2006). Il diodo Zener DZ è da ritenersi ideale ovvero, se polarizzato direttamente VAK = 0 è modellabile

con il bipolo corto circuito, se polarizzato inversamente con una tensione VKA minore della tensione di Zener VZ

si comporta come il bipolo circuito aperto; abitualmente, però, il diodo Zener viene fatto funzionare nella zona di Zener caratterizzata da una polarizzazione inversa che garantisca una tensione VKA = V_Z ed in questo contesto il diodo Zener viene modellato con un bipolo utilizzatore attivo caratterizzato da una tensione costante V_Z ai suoi morsetti. L’esame della figura 11a evidenzia che, essendo I_G = 0 A, il lato costituito dalla resistenza R₁ in serie col diodo Zener DZ risulta sottoposto alla tensione EO del generatore ideale di tensione responsabile della polarizzazione. La tensione EO polarizza inversamente il diodo DZ in zona Zener garantendone la permanenza. Infatti applicando la legge di Kirchhoff delle tensioni alla maglia interessata dal diodo, si perviene alla scrittura di seguito riportata:

E

_o

+ V

_AK

= − R I

₁ _D

con: I

_Z

= − I

_D

che nel piano (VAK, ID), come mostrato in figura 11b, rappresenta la cosiddetta retta di carico statica.

Pertanto, il punto di riposo Q del diodo Zener è caratterizzato dai seguenti valori:

I

E V R

E V

R mA

DQ

o AKQ o Z

= − +

= − −

⋅ = − ⋅

⁻

= −

1 1 3

20 5

3

1 10 15 10 15

V

_AKQ

= − V

_Z

= −5 V

Atteso quanto premesso, consegue la validità delle seguenti posizioni:

I

_Z

= − I

_DQ

= 15 mA V

_G

= V

_Z

= − V

_AKQ

= 5 V

L’applicazione della legge di Kirchhoff delle tensioni alla maglia individuata dal MOS a canale N, dalla resistenza R₂ e dal diodo Zener, consente di relazionare come segue:

V

_G

= V

_GS

+ R I

₂ _S

Si supponga, ora, che il MOS a canale N operi in zona lineare di saturazione; ne consegue che per questo funzionamento la relazione costitutiva del dispositivo impone la scrittura:

I

_S

= K V ⋅ (

_GS

− V

_T

)

² , che sostituita nella relazione afferente la tensione al gate del MOS, da:

V

_G

= V

_GS

+ R K V

₂

⋅ (

_GS

− V

_T

)

² , ovvero, svolgendo i necessari passaggi algebrici:

V

_G

= V

_GS

+ R K V

₂

⋅

_GS²

− 2 R KV V

₂ _{GS T}

+ R KV

₂ _T² , dalla quale si ricava la relazione:

V_AK ID

I_Z =−−−−I_DQ

−

−−

−EO VZ = −−−−VAKQ V_AK

ID

−−−

−EO/R1 (figura 11b) Q

R₂ D_Z

(figura - 11a) R₁

E_O ++++

−

I_G = 0

A K

VAK V_Z = V_G G I_Z

I_S R₂ D_Z

(figura - 11) R₁

E_O ++++

−

(2)

R K V

₂

⋅

_GS²

+ ( 1 2 − R KV

₂ _T

) ⋅ V

_GS

+ R KV

₂ _T²

− V

_G

= 0

Sostituendo ai parametri i valori proposti dalla traccia si perviene alla scrittura di seguito mostrata:

1 10 0 1 ⋅

³

⋅ , ⋅ V

_GS²

+ ( 1 2 1 10 0 1 1 − ⋅ ⋅

³

⋅ , ⋅ ) ⋅ V

_GS

+ ⋅ 1 10 0 1 1

³

⋅ , ⋅

²

− 5 0 =

ovvero:

100 ⋅ V

_GS²

− 199 ⋅ V

_GS

+ 95 0 =

Risolvendo l’equazione di secondo grado nell’incognita V_GS, si ottiene quanto segue:

V

_GS

= ± − ⋅ ⋅

=

= ± −

= ±

=

= − = =

+ = =

199 199 4 95 100 200

199 39601 38000 200

199 1600 200

199 40 0125 199 40 0125 200 158 9875 200 0 795 200 199 40 0125 200 239 0125 200 1195

2 2

,

( , ) / ( , / ) ,

La soluzione VGS = 0,795V NON È accettabile in quanto imporrebbe lo spegnimento del MOS a canale N; per l’accensione, infatti, necessita che sia verificata la condizione V_GS>V_T.

Pertanto, la soluzione accettabile che sicuramente garantisce l’accensione del MOS a canale N è fornita dal valore VGS = 1,195 V. È, ora, necessario verificare che il MOS operi effettivamente nella zona di saturazione. Il valore accettabile di VGS consente di determinare la corrente IS del NMOS; infatti, dalla relazione costitutiva si ottiene:

I

_S

= K V ⋅ (

_GS

− V

_T

)

²

= 0 1 1195 1 , ( , ⋅ − )

²

= 0 1 0 195 , ⋅ ,

²

= 3 8 10 , ⋅

⁻³

= 3 8 , mA

L’applicazione della legge di Kirchhoff delle tensioni alla maglia caratterizzata dal generatore di tensione EO, dal MOS a canale N e dalla resistenza R2, consente di relazionare come segue:

E

_o

− V

_DS

= R I

₂ _S

⇒ V

_DS

= E

_o

− R I

₂ _S

= 20 1 10 3 8 10 − ⋅

³

⋅ , ⋅

⁻³

= 16 2 , V

Il valore ottenuto per la tensione VDS del MOS soddisfa alla condizione VDS>(V_GS−−−−V_T); quindi, il MOS a canale N è proprio in saturazione. Il punto di riposo dell’NMOS è, pertanto, il seguente:

V

_GS

= 1195 , V V

_DS

= 16 2 , V I

_D

= 3 8 , mA

La potenza dissipata dal transistore NMOS è determinata dalla relazione seguente:

P

_dmos

= V

_{DSQ S}

I = 16 2 3 8 10 , ⋅ , ⋅

⁻³

= 61 6 10 , ⋅

⁻³

= 61 6 , mW

ESERCIZIO 12:

Si determini il punto di lavoro del circuito rappresentato in figura 12; si derivi il circuito di ‘piccolo segnale’ e si determini il guadagno Out/In dello stadio supponendo che i condensatori in ingresso C1 ed in uscita C2 si comportino da corto circuito. (9 punti)

.

Sono noti:

VDD = 12 V; R1 = 1,6 MΩΩΩΩ; R2 =1 KΩΩΩΩ; RD = 50 KΩΩΩΩ;

R_S = 10 KΩΩΩΩ; KM1 = 25 µµA/Vµµ ²; K_M2 = 400 µµµµA/V², indi V_T = 0,5 V (Appello 19 settembre 2007).

Il circuito da esaminare ai fini della polarizzazione per la determinazione del punto di riposo dei due MOS M₁ ed M₂, entrambi a canale N, è mostrato in figura 12a. Per ispezione diretta si evince che poiché il MOS M₂ ha il gate collegato direttamente al drain risulta essere VGS2 =VDS2 e, per tanto, viene sempre verificata la condizione VDS2>(V_GS2-V_T), il che comporta che se il MOS, a canale N, M2 è acceso allora esso opera sicuramente in saturazione. Inoltre, sempre per

C2

R₂

V_DD

(figura - 12)

Out R₁

M1

In C1

M₂ RS

R_D

(3)

ispezione diretta della figura 12a, si osserva che la corrente di drain I_D1 del MOS M1 è la stessa corrente di drain ID2 del MOS M2, ovvero ID1 =ID2. Il potenziale del morsetto di gate del MOS M1

è determinato dalla regola del partitore resistivo di tensione, che fornisce la relazione seguente:

V R

R R V V

G

=

DD

+ ⋅ =

+ ⋅ = =

2

1 2

1 1 1 6 12 12

2 6 4 5

, , ,

La resistenza R2 = 1,6 MΩΩΩΩ è assegnata come numero periodico; quindi nei calcoli è bene considerare la frazione generatrice del numero stesso. Si ricorda che il numeratore della frazione generatrice è dato dalla differenza fra il numero privato della virgola ed il numero che è costituito dalle cifre dell’antiperiodo; il denominatore, invece, è dato da tanti nove quante sono le cifre del periodo seguiti poi da tanti zeri quante sono le cifre dell’anti periodo; nel caso in esame si ha, pertanto:

1 6 1 6 1 9

15 9

5 , = − 3

= =

Ipotizzando che anche il MOS M₁, se acceso, operi in zona di saturazione si può fare ricorso alle relazioni costitutive tramite le scritture che di seguito si riportano:

I

_D₁

= K

_M₁

( V

_GS₁

− V

_T

)

²

I

_D₂

= K

_M₂

( V

_GS₂

− V

_T

)

²

Dato che, come in precedenza osservato, le correnti di drain dei due transistori MOS sono uguali, I_D1 = I_D2 = I_D, vale la posizione seguente:

I I K V V K V V K

K

V V

D D M GS T M GS T

M M

GS T GS T

1 2 1 1

2

2 2

1

2

= ⇒ − = − ⇒ = −

2

−

( ) ( ) ( )

( )

ovvero, svolgendo i dovuti passaggi algebrici:

K K

V V

M M

GS T GS T

GS T GS T 2

1

1 2

400 25 16

= −

− ⇒ = −

−

( )

Ricordando che se i MOS M1 ed M2 sono accesi, allora deve essere: VGS2 > V_T e VGS1 > V_T; quindi si sceglie la soluzione positiva della radice quadrata, ottenendo la relazione:

+ = −

− ⇒ ⋅ − = −

4

¹

4

2 2 1

( )

( V V ) ( ) ( )

V

^GS

V

^T

V V V V

GS T

GS T GS T

Lo svolgimento dei relativi passaggi algebrici caratterizza le scritture di seguito riportate:

4 V

_GS₂

− 4 V

_T

= V

_GS₁

− V

_T

⇒ 4 V

_GS₂

= V

_GS₁

+ 3 V

_T

⇒ V

_GS₁

= 4 V

_GS₂

− 3 V

_T

Sostituendo il valore di VT = 0,5V assegnato dalla traccia, si ottiene:

V

_GS₁

= 4 V

_GS₂

− 3 V

_T

= 4 V

_GS₂

− ⋅ 3 0 5 , ⇒ V

_GS₁

= 4 V

_GS₂

− 1 5 ,

L’applicazione della legge di Kirchhoff delle tensioni alla maglia di ingresso del MOS M1

consente, atteso che VDS2 = VGS2, di relazionare come segue:

V

_G

= V

_GS₁

+ R I

_{S D}₂

+ V

_DS₂

⇒ V

_G

= V

_GS₁

+ R I

_{S D}₂

+ V

_GS₂

La sostituzione dell’espressione, calcolata in precedenza, di VSG1 nella relazione che determina VG

ci consente di pervenire all’equazione di secondo grado nell’unica incognita espressa da VGS2; si ha:

V

_G

= 4 V

_GS₂

− 1 5 , + R K

_S _M₂

( V

_GS₂

− V

_T

)

²

+ V

_GS₂

V

_G

= 4 V

_GS₂

− 1 5 , + R K

_S _M₂

V

_GS² ₂

− 2 R K

_S _M₂

V

_GS₂

V

_T

+ R K

_S _M₂

V

_T²

+ V

_GS₂

Svolgendo i necessari e dovuti passaggi algebrici si ottengono le scritture di seguito riportate:

R2

V_DD

(figura - 12a) R₁

M1

M₂ RS

RD

VGS2

G V_G

VGS1

ID1

I_D2

(4)

R K

_S _M₂

V

_GS² ₂

+ (5 − 2 R K

_S _M₂

V V

_T

)

_GS₂

+ R K

_S _M₂

V

_T²

− V

_G

− 1 5 0 , =

Sostituendo ai parametri i valori forniti dalla traccia si perviene alla relazione:

10 4 10

⁴

⋅ ⋅

⁻⁴

V

_GS² ₂

+ (5 − ⋅ 8 10 10

⁴

⋅

⁻⁴

⋅ 0 5 , ) ⋅ V

_GS₂

+ 10 4 10

⁴

⋅ ⋅

⁻⁴

⋅ 0 5 ,

²

− = 6 0 4 ⋅ V

_GS² ₂

+ (5 − 4 ) ⋅ V

_GS₂

+ ( 1 6 − ) = 0 ⇒ 4 ⋅ V

_GS² ₂

+ V

_GS₂

− = 5 0

La risoluzione dell’equazione fornisce quanto segue:

V

_GS2

1 1

2

4 4 5 8

1 1 80 8

1 81 8

1 9 1 9 8 10 8 1 25 8

1 9 8 8 8 1

= − ± + ⋅ ⋅

= − ± +

= − ±

=

= − − = − = −

− + = + = +

( ) / / ,

( ) / /

La soluzione VGS2 = -1,25V, trattandosi di un MOS a canale N, NON È accettabile in quanto non solo è minore della tensione di soglia VT ma è addirittura negativa. L’unica soluzione accettabile è, pertanto, VGS2 = +1V in quanto soddisfa la condizione di MOS acceso espressa da VGS > VT. Si conclude che il MOS M2 è acceso ed è in zona di saturazione essendo verificata la condizione V_DS2 > (V_GS2 −−−− VT).

La conoscenza di VGS2 consente di determinare la corrente di drain ID2 e la tensione VGS1 fra gate e source del MOS M₁; infatti, facendo ricorso alle relazioni precedentemente individuate, si ottiene:

I

_D₂

= I

_D

= K

_M₂

( V

_GS₂

− V

_T

)

²

= 400 10 ⋅

⁻⁶

( 1 0 5 − , )

²

= ⋅ 4 10

⁻⁴

⋅ 0 25 10 , =

⁻⁴

= 100 µ A V

_GS₁

= 4 V

_GS₂

− 3 V

_T

= ⋅ − ⋅ 4 1 3 0 5 4 15 2 5 , = − , = , V

Poiché si verifica che VGS1 > V_T, si conclude che anche il MOS M1 è acceso.

Al fine di procedere ad una verifica dei risultati conseguiti riconsideriamo l’equazione di Kirchhoff delle tensioni alla maglia di ingresso del MOS M1; si ottiene:

V

_GS₁

= V

_G

− R I

_{S D}₂

− V

_GS₂

= 4 5 10 10 100 10 , − ⋅

³

⋅ ⋅

⁻⁶

− = 1 4 5 2 2 5 , − = , V

oppure si ricorre alla relazione costitutiva del MOS M1 supposto acceso ed in zona di saturazione al fine di ottenere quanto segue:

I I K V V I

K V V

D D M GS T D

M

GS T

1 1 1

2

1 1

= = ( − ) ⇒ = −

dalla quale si ricava che:

V I

K V V

GS D

M 1 T

1

6 6

100 10

25 10 0 5 4 0 5 2 5

= + = ⋅

⋅ + = + =

−

, , ,

Al fine di confermare che il MOS M1 opera anch’esso in zona di saturazione è necessario ricorrere al calcolo della tensione VDS1; a tale scopo si applica la legge di Kirchhoff delle tensioni alla maglia di uscita del MOS M1 ottenendo la seguente scrittura:

V

_DD

− V

_DS₁

− V

_DS₂

= R I

_{D D}

+ R I

_{S D}

⇒ V

_DS₁

= V

_DD

− V

_DS₂

− ( R

_D

+ R

_S

) I

_D

Sostituendo i valori noti ai rispettivi parametri si ottiene:

V V V R R I

V

DS1 DD DS2 D S D

3 6

1

12 1 50 10 10 100 10 12 1 60 10 11 6 5

= − − + = − − + ⋅ ⋅ ⋅ =

= − − ⋅ = − =

−

( ) ( )

Poiché risulta soddisfatta la condizione VDS1 >(V_GS1−−−−VT), anche il MOS M₁ opera in saturazione.

Il punto di riposo relativo ai due dispositivi MOS, a canale N, M1 ed M2 è, pertanto, il seguente:

NMOS M

1 ⇒⇒⇒⇒

V

_GS₁

= 2 5 , V V

_DS₁

= 5 V I

_D₁

= 100 µ A

(5)

NMOS M

2 ⇒⇒⇒⇒

V

_GS₂

= 1 0 , V V

_DS₂

= 1 V I

_D₂

= 100 µ A

Prima di procedere al calcolo delle prestazioni dinamiche del dispositivo, attivate dalle variazioni introdotte dal generatore di piccolo segnale VIN, risulta necessario determinare i valori delle due conduttanze gm che dipendono dal punto di riposo. Valgono, infatti, le seguenti posizioni:

g di dv

d

dv K v V K V V

S

m D

GS VGS GS

M GS T

VGS

M GS T

1

2 1

1 1

6 6 6 1

2 2 25 10 2 5 0 5 50 2 10 100 10 100 100

= = − = − =

= ⋅ ⋅

⁻

− = ⋅ ⋅

⁻

= ⋅

⁻

=

⁻

=

[ ( ) ] ( )

( , , ) µ Ω µ

g di dv

d

dv K v V K V V

S

m D

GS VGS GS

M GS T

VGS

M GS T

2

2 2

6 6 1

2 2 400 10 1 0 5 800 0 5 10 400 400

= = − = − =

= ⋅ ⋅

⁻

⋅ − = ⋅ ⋅

⁻

=

⁻

=

[ ( ) ] ( )

( , ) , µ Ω µ

Per il calcolo della funzione di trasferimento o, nel caso specifico in esame, guadagno di tensione A_VT = Vout/Vin si deve fare ricorso al circuito equivalente incrementale detto circuito dinamico, mostrato in figura 12b nella quale i condensatori C1 e C2 alla frequenza di interesse, vengono modellati da un corto circuito, ovvero: X_C1 = 1/(ωωωω·C1) →→ 0 e X→→ C2 = 1/(ωωω·Cω 2) →→→ 0. →

Si osserva con immediatezza, mediante ispezione diretta della figura 12b, che sussistono le seguenti correlazioni fra le grandezze che caratterizzano tutto il comportamento dinamico del circuito, in particolare si evince:

V

_OUT

= v

_D1S2

e V

IN

= v

_G1S2

L’unica maglia presente nella rete è la maglia di uscita che, tuttavia, contiene due generatori dipendenti di corrente pilotati in tensione. Ne consegue che l’unica relazione che si può porre in essere e che è sancita dalla necessità di congruenza dei due generatori pilotati è quella che, essendo collegati in serie fra loro, eroghino la medesima corrente, ovvero sia implicitamente soddisfatta la posizione seguente:

g v g v v g

g v

m gs m gs gs

m m

1 1 2 2 2 1 gs

2 1

= ⇒ = ⋅

L’applicazione della legge di Kirchhoff delle tensioni alla maglia comprendente il generatore di piccolo segnale VIN ed il MOS M2 consente di relazionare come segue:

v v R g v v v R g v g

g v

in gs S m gs gs in S m gs

m m

=

₁

+

₁ ₁

+

₂

⇒ = +

₁ ₁

+

¹ gs

2 1

1 ( )

Procedendo con i dovuti e necessari passaggi algebrici si ottengono le scritture di seguito riportate:

v R g g

g v v g v

g g g g R

in S m

m m

gs gs

m in

m m m m S

= + + ⋅ ⇒ = ⋅

+ +

( )

1

₁ ¹

2 1 1 2

1 2 1 2

Sempre per ispezione diretta della rete di figura 12b si evince la relazione seguente::

R₂ R₁

S2

G₁

VOU

G2≡≡≡≡D2

V_gs2 v_gs1

(figura - 12b)

D₁

g_m2v_gs2

g_m2v_sgP

S₁

R_S R_D

++ ++

−−

−− V_I

(6)

v g v R g R g v

g g g g R

out m gs D m D

m in

m m m m S

= − = −

+ +

1 1 1 2

1 2 1 2

( )

Ne consegue che, in ossequio alla definizione di Guadagno Totale di Tensione AVT = V_OUT/V_IN, si ottiene la scrittura di seguito riportata:

A v

v

g g R

g g g R

vt out in

m m D

m m m S

= = −

+ +

1 2

2 1

( 1

2

)

Sostituendo i valori trovati ai parametri presenti nella formula si può concludere con la scrittura della forma di seguito riportata:

A g g R

g g g R

vt

m m D

m m m S

= − + + = − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ + ⋅ +

= − ⋅

⋅

= − = −

−

− − −

−

− −

−

1 2

2 1 2

12 3

4 4 4 3

4 12 4

4 4

1 100 400 10 50 10 4 10 1 10 1 4 10 10 10 4 10 10 5 10

4 10 1 10 1 4

20 10 9 10

20 9 2 2

( ) ( )

( ) ,

ESERCIZIO 13:

Si determini la polarizzazione dell’amplificatore audio rappresentato in figura 13 ( 5 punti). Si determini il guadagno a centro banda dello stadio (2 punti). Si determini la massima variazione della tensione all’uscita Out affinché entrambi i transistori MOSFET rimangano nella regione di saturazione (2 punti). Sono noti: V_DD= 40V; V_SS=−40−−− V; C₁=1µµF; µµ R₁=80KΩΩΩ; RΩ 2 =R₃=1MΩΩΩ;ΩK _N=K _P=100µµµµA/V²;V_T=1V. (Appello 23 novembre 2007).

Il circuito valido per la determinazione dei parametri specifici della polarizzazione, ovvero per il calcolo del punto di riposo dei due MOS, M1 a canale P ed M2 a canale N, viene riportato nella figura 13a. Per ispezione diretta si evince immediatamente che la tensione gate−source del MOS M2 e la tensione source−gate del MOS M1 sono determinate dalla regola del partitore resistivo talché si possono considerare le due relazioni di seguito riportate:

V R V V

R R R V

GS DD SS

2 1

1 2 1

80 40 40 80 1000 80

80 80 1160

640 116 5 517

= ⋅ −

+ + = ⋅ − −

+ + = ⋅

= =

( ) [ ( )] ,

V_DD R₁

V_IN

C₁

VOUT

R₁

(figura - 13) V_SS M1

M2

R₂ C₁

R₃

VDD

(figura - 13a) R₁

M1

R₃

V_OUT

R1 R₃

V_SS M₂

R2

I_DN G₁

G₂

I_DP

IA

I_B VGSN

VSGP

IX

Σ Σ

(7)

V R V V

R R R V

SG DD SS

1 1

1 2 1

80 40 40 80 1000 80

80 80 1160

640 116 5 517

= ⋅ −

+ + = ⋅ − −

+ + = ⋅

= =

( ) [ ( )]

,

Si osserva che i due MOS presentano, in valore assoluto, sia la stessa tensione gate−source VGS

sia lo stesso parametro K N=K P. Ne consegue che tanto il MOS M1 a canale N quanto il MOS M₂ a canale P saranno percorsi dalla stessa corrente, ovvero IDN = I_DP. Ipotizzando poi i due MOS M₁ ed M2 funzionanti entrambi in zona di saturazione si ottiene poi a tale riguardo, applicando la specifica relazione costitutiva, la scrittura di seguito riportata:

I

_DN

= K

_N

( V

_{GS N}

− V

_T

)

²

= 100 10 ⋅

⁻⁶

( , 5 517 1 − )

²

= 10 4 517

⁻⁴

,

²

= 2 04 , mA

Atteso quanto ottenuto, ovvero IDN =I_DP, si osserva che l’applicazione della legge di Kirchhoff delle correnti al nodo comune di drain dei MOS M1 ed M2 consente di concludere che è IX =0A.

Inoltre, se si reitera l’applicazione della legge di Kirchhoff delle correnti alla superficie ΣΣ si ΣΣ perviene alla seguente relazione:

I

_DP

+ I

_A

= I

_DN

+ I

_B

⇒ I

_A

= I

_B

La lettura afferente la relazione IA = I_B = I sostanzia che le due resistenze R₃ sono collegate fra loro in serie e percorse dall’unica corrente I. Si perviene così alla relazione di seguito riportata:

I V V

R R

V V

R A

DD SS DD SS

= −

+ = −

= − −

⋅ ⋅ = ⋅

⁻

= ⋅

⁻

=

3 3 3 6

6 6

2 40 40

2 1 10

80 2 10 40 10 40

( )

µ

Ne consegue, che il calcolo della tensione drain−−−−source VDSN per il MOS M1 a canale N nonché la tensione source−−−−drain VSDP per il MOS M2 a canale P risulta immediato con le seguenti relazioni:

V R I V

SDP DS N

= = ⋅ ⋅ ⋅ =

−

3 6 6

1 10 40 10 40 1 10 40 10 40

Come verifica dei risultati ora conseguiti per le tensioni drain−−−source dei due MOS, atteso che le − due resistenze R₃ risultano collegate in serie fra loro, dato che è IX = 0, applichiamo la regola del partitore resistivo ottenendo le scritture di seguito riportate:

V R V V

R R

R V V

R

V V

V

V R V V

R R

R V V

R

V V

V

SDP DD SS DD SS DD SS

DS N DD SS DD SS DD SS

= ⋅ −

+ = ⋅ −

= −

= =

= ⋅ −

+ = ⋅ −

= −

= =

3

3 3

3

3 3

3

2 2

80 2 40

2 2

80 2 40

( ) ( ) ( )

Resta ora da verificare che i MOS M1 ed M2 operino effettivamente in zona di saturazione. Dato che risultano soddisfatte le condizioni seguenti:

V V V

SDP SG P T

DS N GS N T

> − ⇒ > −

( ) (5, )

40 517 1 40 517 1

si conclude che i due MOS M1 ed M2 sono effettivamente saturi.

Il punto di riposo relativo al dispositivo MOS M1, a canale P, ed al dispositivo MOS M2 a canale N, risulta, pertanto, il seguente:

PMOS M

₁ ⇒⇒⇒⇒

V

_SGP

= 5 517 , V V

_SDP

= 40 V I

_DP

= 2 04 , mA

NMOS M

2 ⇒⇒⇒⇒

V

_{GS N}

= 5 517 , V V

_{DS N}

= 40 V I

_DN

= 2 04 , mA

Prima di procedere al calcolo delle prestazioni dinamiche del dispositivo, attivate dalle variazioni introdotte dal generatore di piccolo segnale VIN, risulta necessario determinare i valori delle due conduttanze g_m che dipendono dal punto di riposo. Valgono, infatti, le seguenti posizioni:

(8)

g di dv

d

dv K v V K V V

mN D

GS VGSN GS

N GS T

VGSN

N GS N T

= = − = − =

= ⋅ ⋅

⁻

− = ⋅

⁻

⋅ = ⋅

⁻

=

⁻

[ ( ) ] ( )

(5, ) , , ,

2

6 4 6 1

2 2 100 10 517 1 2 10 4 517 903 4 10 903 4 µ Ω g di

dv

d

dv K v V K V V

mP D

SG VSGP SG

P SG T

VSGP

P SGP T

= = − = − =

= ⋅ ⋅

⁻

− = ⋅

⁻

⋅ = ⋅

⁻

=

⁻

[ ( ) ] ( )

(5, ) , , ,

2

6 4 6 1

2 2 100 10 517 1 2 10 4 517 903 4 10 903 4 µ Ω

Si ottiene, pertanto, l’uguaglianza delle due conduttanze mutue gmN e gmP proprio perché i due MOS operano nello stesso punto di riposo e presentano lo stesso parametro K. In quanto prosegue viene utilizzata la posizione seguente:

g

_mP

= g

_mN

= g

_m

= 903 4 , µ Ω

⁻¹

Per il calcolo della funzione di trasferimento o, nel caso specifico in esame, guadagno di tensione AVT = Vout/Vin si deve fare ricorso al circuito equivalente incrementale detto circuito dinamico, mostrato in figura 13b nella quale i condensatori C1 e C2 alla frequenza di interesse, sono modellati da un corto circuito, ovvero: XC1 =1/(ωωωω·C₁)→→→→0. Per ispezione diretta si constata che la resistenza R₂ si trova in corto circuito in seguito all’effetto prodotto dai due condensatori indicati con C1. Le due resistenze, indicate con R1, sono, di conseguenza, collegate fra loro in parallelo definendo così la resistenza di ingresso R_ia dell’amplificatore audio in esame. Inoltre, le due resistenze R₃, proprio sotto lo aspetto dinamico sono fra loro collegate in parallelo. Atteso quanto premesso, si ottiene il circuito equivalente dinamico alle variazioni, riportato nella figura 13c dalla quale si evincono, ancora per ispezione diretta, le relazioni dinamiche seguenti:

v

_SGP

= − v

_{GS N}

v

_{SG P}

= − v

_IN

v

_{GS N}

= v

_IN

L’applicazione della legge di Ohm alle due resistenze R₃ che, dinamicamente, sono collegate in parallelo fra loro, consente proprio di relazionare come segue:

v

_out

= ( R R

₃ ₃

) ( ⋅ g v

_{m SG P}

− g v

_{m GS N}

) ( = R

₃

2 ) ( ⋅ g v

_{m SG P}

− g v

_{m GS N}

)

in cui si è indicato con:

I

_R

= ( g v

_{m SG P}

− g v

_{m GS N}

)

la corrente circolante nell’equivalente parallelo delle due resistenze R₃ ed il cui verso è inteso concorde col verso della corrente

g

_m

v

_gsN.

R₁

(figura - 13c) v_gsN

v_sgP +

++ +

−

−−

− V_I

G_N ≡≡≡≡ GP

R1

S_N

V_OU D_N

S_P g_mv_gsN

DP

g_mv_sgP

R₃ R₃

R₁ R₁

(figura - 13b) S_N

V_OU D_N

v_gsN v_sgP

S_P

g_mv_gsN

gmvsgP

D_P

R3

R₃

+ ++ +

−

−−

− VI

R2

GN

G_P

(9)

Procedendo con le dovute sostituzioni dei parametri calcolati in precedenza, si perviene alla relazione di seguito riportata:

v R

g v g v R

out

=

³

⋅

m SG P

−

m GS N

=

³

⋅ −

m in

−

m in

= −

³

⋅ g v

m in

2 ( ) 2 ( ) 2 2

ovvero, in conclusione, il seguente legame fra il segnale di ingresso vIN ed il corrispondente segnale in uscita vOUT:

v

_out

= − g R v

_m ₃ _in

Ne consegue che, in ossequio alla definizione di Guadagno Totale di Tensione AVT = V_OUT/V_IN, e sostituendo i valori dei parametri richiesti, si ottiene la scrittura definitiva di seguito riportata:

A v

v g R

vt out in

= = −

m ₃

= − 903 4 10 , ⋅

⁻⁶

⋅ ⋅ 1 10

⁶

= − 903 4 ,

Al fine di determinare la massima variazione della tensione all’uscita OUT affinché i due transistor rimangano nella regione di saturazione, si deve osservare che il morsetto di OUT, a seguito della rete di polarizzazione, è posto staticamente a potenziale VOUT = 0V con VDSN =VSDP =40V;

quindi ne consegue, che la dinamica di VIN, ovvero la sua massima variazione, deve essere tale da garantire, per entrambi i MOS, che siano soddisfatte le seguenti relazioni:

v

_SDP

> ( v

_{SG P}

− V

_T

)

v

_{DS N}

> ( v

_{GS N}

− V

_T

)

il che implica, per la riscontrata simmetria, le scritture di seguito riportate:

v

_SDP_max

= V

_SDQ

− ( v

_{SG P}

− V

_T

) = 40 − (5, 517 1 − ) = 40 4 517 35 483 − , = , V v

_{DS N}_max

= V

_DSQ

− ( v

_{GS N}

− V

_T

) = 40 − (5, 517 1 − ) = 40 4 517 35 483 − , = , V

A tale variazione massima del segnale di uscita, corrisponde la massima dinamica del segnale di ingresso, determinata dalla relazione che afferisce alla definizione di guadagno di tensione A_V; si ottiene pertanto la relazione seguente:

v v

A mV

IN

OUT

max vtmax

,

, , ,

= =

− 35 483 = = =

903 4

35 483

903 4 0 039277 39 277

(10)

ESERCIZIO 14:

Si consideri il circuito mostrato in figura 14. Si determini: a) il punto di lavoro dei due MOS (4 punti); b) il circuito di piccolo segnale ed il guadagno AV =vO/vS(3 punti); c) l’impedenzad’ingressoRin vistadalgeneratorevS operanteall’indicatafrequenzaangolaree la resistenza d’uscita ROUT (dopo aver rimosso RL) (2 punti); d) il valore della capacità CO

affinché la frequenza di taglio inferiore sia 25 Hz (1 punto). Sono noti:V_DD=12V;A_O=10µµµµA;

R₁=750KΩΩΩΩ; R₂=200KΩΩΩΩ; R_L=4,8KΩΩ;ΩΩ K=1mA/V²;V T=1V; V_S=0,2·cos(10³·t).

(Esercizio E1 −−−− Appello 21 dicembre 2007).

Il circuito valido per la determinazione dei parametri specifici della polarizzazione, ovvero per il calcolo del punto di riposo dei due MOS, M1 a canale N ed M2 a canale P, viene riportato nella figura 14a. Per ispezione diretta, essendo nulle le correnti IG assorbite dai gate dei MOS, si evince immediatamente che la corrente erogata dal generatore indipendente AO circola nelle resistenze R1 ed R2 che staticamente sono in serie fra loro; ne consegue che mediante l’applicazione della legge di Ohm si perviene alle scritture:

V

_G₁

= V

_{GS N}

= R A

₂ _O

= 200 10 10 10 ⋅

³

⋅ ⋅

⁻⁶

= 2000 10 ⋅

⁻³

= 2 V

V

_G₂

= ( R

₁

+ R

₂

) ⋅ A

_O

= ( 750 200 10 10 10 + ) ⋅

³

⋅ ⋅

⁻⁶

= 950 10 ⋅

⁻²

= 9 5 , V

Tramite l’applicazione della legge di Kirchhoff delle tensioni alla maglia afferente il generatore indipendente di corrente A_O e le resistenze R1 ed R2 si ottiene la relazione di seguito mostrata:

V

_DD

− V

_Ao

= ( R

₁

+ R

₂

) ⋅ A

_O

⇒ V

_DD

− V

_G₂

= V

_Ao

= 12 9 5 2 5 − , = , V

Per ispezione diretta della figura 14a si verifica immediatamente che vale la posizione seguente:

V

_Ao

= V

_SGP

= 2 5 , V

Atteso quanto ottenuto, si procede ipotizzando che entrambe i MOS funzionino in saturazione; in tale contesto la relazione costitutiva del MOS M1, a canale N, consente di relazionare come segue:

I

_DN

= K

_N

( V

_{GS N}

− V

_T

)

²

= ⋅ 1 10

⁻³

( 2 1 − )

²

= 10

⁻³

= 1 mA

Parimenti, la relazione costitutiva del MOS M2, a canale P, permette di scrivere quanto di seguito viene riportato:

I

_DP

= K

_P

( V

_SGP

− V

_T

)

²

= ⋅ 1 10

⁻³

( , 2 5 1 − )

²

= 1 5 10 , ⋅

⁻³

= 2 25 , mA

L’applicazione della legge di Kirchhoff delle correnti applicata al nodo DPN consente di scrivere:

I

_DP

= I

_DN

+ I

_{R L}

⇒ I

_{R L}

= I

_DP

− I

_DN

= ( , 2 25 1 10 − ) ⋅

⁻³

= 1 25 , mA

Applicando la legge di Kirchhoff delle tensioni alla maglia di uscita del MOS M1, a canale N, si A_O

V_DD

V_S

V_O R₂

M₂

M₁ RL

C_O R_l

(figura - 14) +

++ +

−

−−

−

V_O VDD

M₂

R_L

(figura - 14a) M₁ I_DN I_DP

VGSN

V_SGP

IRL

R₂ R1

G₂

G₁ A_O

DPN

VAo

(11)

ottiene la relazione seguente:

V

_{DS N}

= R I

_{L RL}

= 4 8 10 1 25 10 , ⋅

³

⋅ , ⋅

⁻³

= 4 8 1 25 6 , ⋅ , = V

L’applicazione della legge di Kirchhoff delle tensioni alla maglia afferente l’uscita del due MOS M₁ ed M2 consente di pervenire alla scrittura di seguito riportata:

V

_DD

= V

_SDP

+ V

_{DS N}

⇒ V

_SDP

= V

_DD

− V

_{DS N}

= 12 6 6 − = V

La necessaria verifica della ipotizzata condizione di funzionamento in zona di saturazione dei due MOS comporta le relazioni sotto indicate:

V

_{DS N}

> ( V

_{GS N}

− V

_T

) ⇒ 6 > ( 2 1 − )

⇒ il MOS M1 è effettivamente in saturazione

V

_SDP

> ( V

_SGP

− V

_T

) ⇒ 6 > ( , 2 5 1 − )

⇒ il MOS M2 è in effetti in saturazione Il punto di riposo relativo al dispositivo MOS M1, a canale N, ed al dispositivo MOS M2 a canale P, risulta, pertanto, il seguente:

NMOS M

1 ⇒⇒⇒⇒

V

_{GS N}

= 2 0 , V V

_{DS N}

= 6 V I

_DN

= 1 0 , mA

PMOS M

₂ ⇒⇒⇒⇒

V

_SGP

= 2 5 , V V

_SDP

= 6 V I

_DP

= 2 25 , mA

Prima di procedere al calcolo delle prestazioni dinamiche del dispositivo, attivate dalle variazioni introdotte dal generatore di piccolo segnale VS, risulta necessario determinare i valori delle due transconduttanze gm che dipendono dal punto di riposo. Valgono, infatti, le seguenti posizioni:

g di

dv

d

dv K v V K V V

m

mN D

GS VGSN GS

N GS T

VGS N

N GS N T

= = − = − =

= ⋅ ⋅

⁻

− = ⋅

⁻

=

⁻

[ ( ) ] ( )

( )

2

3 3 1

2 2 1 10 2 1 2 10 2 Ω

g di dv

d

dv K v V K V V

m

mP D

SG VSGP SG

P SG T

VSGP

P SGP T

= = − = − =

= ⋅ ⋅

⁻

− = ⋅ ⋅

⁻

= ⋅

⁻

=

⁻

[ ( ) ] ( )

( , ) ,

2

3 3 3 1

2 2 1 10 2 5 1 2 15 10 3 10 3 Ω

Per il calcolo della funzione di trasferimento o, nel caso specifico in esame, guadagno di tensione A_VT = Vo/V_S si deve fare ricorso al circuito equivalente incrementale o alle variazioni detto anche circuito dinamo, riportato in figura 14b. Dato che il generatore indipendente stazionario di corrente

AO è stato modellato con un circuito aperto, per ispezione diretta della figura 14b, può evincersi che:

v

_gsN

= v

_s,ovvero anche:

v

_{gs N}

= − v

_{sg P}

= v

_s

L’applicazione della legge di Kirchhoff delle correnti al nodo D ≡≡≡≡ D_N ≡≡D≡≡ _P consente di relazionare come segue:

i

_L

= g

_{mN gsN}

v − g

_{mP sg P}

v

L’applicazione della legge di Ohm alla resistenza di carico dinamico RL si traduce nella scrittura:

v

_o

= − R i

_{L L}

= − R

_L

( g

_{mN gsN}

v − g

_{mP sg P}

v ) = − R

_L

( g

_{mN gsN}

v + g

_{mP gsN}

v )

Ovvero, procedendo con i necessari passaggi algebrici, si ottiene:

R₂

(figura - 14b) SN

D_N

v_gsN vsgP

g_mv_gsN

SP

D_P

gmvsgP

+ + ++

−−

−− V_S

R₁

GN

GP

Z

IN

V_O R_L

i_L D i_S

(12)

v

_o

= − R

_L

( g

_mN

+ g

_mP

) ⋅ v

_{gs N}

= − ( g

_mN

+ g

_mP

) R

_L

⋅ v

_s

Per definizione di guadagno di tensione a centro banda AV = v_O/v_S dell’amplificatore, si ottiene:

A v v

g g R v

v g g R

v o

s

mN mP L s

s mN mP L

= = − + ⋅ ⋅

= − + ⋅ =

= − + ⋅

⁻

⋅ ⋅ = − ⋅ = −

( )

( 2 3 10 )

³

4 8 10 ,

³

5 4 8 , 24

Il segno meno nel guadagno di tensione implica che l’amplificatore è invertente.

L’impedenza d’ingresso dell’amplificatore è, per definizione, la impedenza “sentita” dalla sorgente di piccolo segnale v_S, come evidenziato nella figura 14b. Mediante ispezione diretta si evince con immediatezza che l’impedenza di ingresso ZIN è puramente ohmica o resistiva e vale:

Z v

i

R i

i R K

IN s s

s s

= = ⋅

= =

2 2

200 Ω

La resistenza di uscita dell’amplificatore è, per definizione, la resistenza sentita dal carico dinamico, che nell’amplificatore in esame è costituito dalla resistenza RL, dopo avere annullato le eccitazioni indipendenti esterne di piccolo segnale; in sostanza si tratta della nota resistenza equivalente di Thévenin sentita dal carico dinamico R_L.

Il circuito dinamico di riferimento atto alla determinazione della resistenza di uscita ROUT è, quindi, mostrato in figura14c. Si osserva da subito, sempre per ispezione diretta,che il generatore test VTX

non è in grado di provvedere e conservare la sussistenza delle grandezze di comando dei generatori dipendenti di corrente pilotati in tensione con i quali vengono modellati i due MOS M1 e M2 per quanto attiene il loro comportamento dinamico; infatti si verifica che:

v

_{gs N}

= − v

_{sg P}

= 0

Ne consegue che i due generatori dipendenti di corrente pilotati in tensione, annullandosi il loro comando presentano un effetto nullo e, pertanto, vanno entrambi modellati con il bipolo equivalente circuito aperto, così come evidenziato in figura 14d. In tale contesto il generatore test si trova nella condizione di funzionamento a vuoto caratterizzata dalla corrente ITX = 0A. Pertanto, si ottiene:

R V

out

I

TX TX VS

= ⇒ ∞

= 0

Ai fini della determinazione della frequenza di taglio superiore

f

ts dell’amplificatore in esame, si deve osservare che, in ossequio al significato fisico di Resistenza di ingresso RIN, il circuito dinamico di figura 14b ammette l’equivalente configurazione riportata in figura 14e nella quale, alle basse frequenze viene evidenziata la presenza precipua del condensatore di accoppiamento di ingresso CO. Si ha, in sostanza, una rete CR o, con terminologia propria dei sistemi automatici, un sistema lineare dinamico del primo ordine con zero aggiuntivo nell’origine.

R₂

(figura - 14c) S_N DN

vgsN

v_sgP

g_mv_gsN

SP

D_P

gmvsgP

++ ++

−

− VTX

R1

G_N G_P

I_TX D

(figura - 14d) v_gsN v_sgP R₁

GN

R₂ GP

SP

D_P

++ ++

−−

−− V_TX ITX

D

S_N D_N