MOTO ROTATORIO

INTRODUZIONE

Il moto dei punti materiali è solamente di tipo traslatorio

I corpi sono aggregati di punti materiali fra loro legati da interazioni. Quando le mutue distanze fra i punti di un corpo sono fisse il corpo si dice rigido.

Il moto più generale di un corpo rigido è la combinazione di un moto di pura traslazione ed un moto di pura rotazione.

I moti rotatori dei corpi rigidi hanno una grande importanza dal punto di vista delle applicazioni tecnologiche.

Le rotazioni dei corpi rigidi vengono descritte nella cinematica delle rotazioni da un insieme di variabili appropriate.

Vengono definite le variabili rotazionali e studiate le relazioni con le variabili lineari.

MOTO ROTATORIO

Pura rotazione di un corpo rigido attorno ad un asse fisso

corpo rigido

asse di rotazione, luogo dei punti fermi

moto circolare non uniforme di P

Il raggio AB descrive un angolo Δφ nel tempo Δt Un corpo rigido si muove di pura rotazione (attorno ad un asse fisso) se ogni punto del corpo si muove su una traiettoria circolare. I centri di queste traiettorie circolari devono appartenere ad una stessa linea retta che è chiamata asse di rotazione

MOTO ROTOTRASLATORIO

Moto rototraslatorio in due dimensioni

3 coordinate x_A,y_A,f

http://canu.ucalgary.ca/map/content/refframe/inertial/galilean/simulate/cycloid/applet.html http://canu.ucalgary.ca/map/content/refframe/inertial/galilean/simulate/planet/applet.html

Moto rototraslatorio generico con variazione dell’asse di rotazione [6 coordinate]

corpo non rigido….

VARIABILI ROTAZIONALI

Si considerano solamente corpi rigidi in pura rotazione attorno ad un asse fisso

l’angolo φ descrive la rotazione

il punto P descrive l’arco di cerchio “s”.

corpo rigido

il punto P è solidale con il corpo rigido

asse di rotazione

senso di rotazione

positivo:

antiorario

Definizione di angolo in radianti

ϕ = s / r [ ] ϕ = rad; 1 angolo giro = 2 π rad = 360°

VARIABILI ROTAZIONALI

Posizione angolare e spostamento angolare spostamento angolare

Δφ=φ₂-φ₁ nel tempo Δt=t₂-t₁

Velocità angolare media

ω = ϕ

− ϕ

t

− t

= Δ ϕ Δt

La velocità angolare è la stessa per tutti i punti del corpo rigido. È una grandezza caratteristica del corpo rigido in rotazione.

Ogni punto del corpo rigido ha invece una velocità lineare diversa.

Velocità angolare istantanea

ω = lim

Δt→0

Δ ϕ

Δt = d ϕ dt

[ ] ω ^{= T}

^{= rads}

rapidità di variazione dell’angolo

http://canu.ucalgary.ca/map/content/angvel/basic/simulate/page2.html

VARIABILI ROTAZIONALI

Accelerazione angolare media

Se la velocità angolare di P non è costante il punto (il corpo) possiede una accelerazione angolare

α ⁼ ω

− ω

t

− t

= Δ ω Δt

rapidità di variazione della velocità angolare

Accelerazione angolare istantanea

α = lim

Δt→0

Δ ω

Δt = d ω

dt [ ] α ^{= T}

^{= rads}

I concetti di spostamento, velocità, accelerazione angolare introdotti per le rotazioni di un corpo rigido, si adattano anche alla descrizione del moto di una particella su una traiettoria circolare.

sbarretta rigida priva di massa

moto rotatorio della particella P

VARIABILI ROTAZIONALI

La rotazione di una particella (o corpo rigido) attorno ad un asse fisso ha una corrispondenza formale con il moto traslatorio di una particella (o corpo rigido) in una direzione fissa.

Variabili lineari Variabili angolari

x m v ms

a ms

θ ^rad ω ^rads

α ^rads

Relazione?

Nel moto rettilineo x,v,a sono grandezze scalari. Nel moto curvilineo generale r, v, a sono grandezze vettoriali.

Per descrivere il moto rotatorio generico è necessario introdurre grandezze rotatorie vettoriali.

grandezze scalari

MOTO TRASLATORIO E MOTO ROTATORIO AD ACCELERAZIONE COSTANTE

a = dv

dt = 0 → v = costante

MOTO RETTILINEO UNIFORME

a = costante

MOTO RETTILINEO

UNIFORMEMENTE ACCELERATO

α

ω

dt = 0 →

ω

α = costante

MOTO CIRCOLARE

UNIFORMEMENTE ACCELERATO

ESEMPIO

Una mola, ferma all’istante t=0, è posta in rotazione con accelerazione angolare costante a=3,2 rads^-2. Determinare lo spostamento e la velocità angolare, all’istante t=2,7 s.

Relazione fra ω,a e t α = d ω

dt ; d ω = α dt → d ω

ω₀ ω

∫ ^{= α dt; ω = ω}

⁺

0 t

∫ ^{α ( t − t}

⁾

ϕ = ϕ

+ ω

t +

αt

=

( 3, 2 rads

) ^{( 2, 7s )}

⁼

= 11, 7rad = 1,9giri

ω = ω

+ α t = 3, 2 rads (

) ^{( 2, 7s ) =}

= 8, 6 rads

= 1, 4giris

CARATTERE VETTORIALE DELLE GRANDEZZE ROTAZIONALI

Per descrivere moti rotazionali generici (dove l’asse di rotazione non è necessariamente fisso) è necessario definire le grandezze rotazionali come grandezze vettoriali

L e g r a n d e z z e v e t t o r i a l i s o n o caratterizzate da un modulo o intensità, una direzione ed un verso e devono obbedire alle regole di somma dei vettori

spostamento angolare grande

spostamento angolare piccolo

somma di spostamenti

angolari

ϕ1+ϕ2 ≠ϕ2+ϕ1

dϕ₁+ dϕ₂ ≈ dϕ₂+ dϕ₁ Lo spostamento angolare finito non è un

vettore perché non rispetta la regola di somma dei vettori

ϕ

+ ϕ

≠ ϕ

+ ϕ

Lo spostamento angolare infinitesimo è un vettore

d 

ϕ

+ d 

ϕ

=

d 

ϕ

+ d 

ϕ

CARATTERE VETTORIALE DELLE GRANDEZZE ROTAZIONALI

Velocità angolare

La velocità angolare è definita in termini di spostamenti angolari infinitesimi quindi è un vettore

ω  = d  ϕ dt

prodotto di un vettore per uno scalare direzione asse di

rotazione

verso della rotazione

modulo: velocità angolare

regola della mano destra

Non c’è nulla che si muova nella direzione di ω. Il vettore rappresenta le caratteristiche della

rotazione del corpo.

CARATTERE VETTORIALE DELLE GRANDEZZE ROTAZIONALI

Accelerazione angolare

α  = d  ω

dt = d

 ϕ

dt

ω  = 

ω

+ 

ω

ω = ω

+ ω

= ( 84 rads

)

^{+ 43rads} (

)

⁼

= 94 rads

θ = arctan ω

ω ^{= arctan}

43rads

84 rads

= 27°

Un disco ruota con velocità angolare w₁=84 rads^-1 attorno ad un’asta orizzontale passante per il suo centro. L’intero sistema è fissato su una piattaforma che ruota attorno ad un asse verticale con w₂=43 rads^-1. Descrivere la rotazione del disco vista da un osservatore esterno

RELAZIONE FRA VARIABILI LINEARI ED ANGOLARI FORMA SCALARE

Per descrivere il moto circolare di una particella si possono utilizzare variabili lineari o angolari.

La relazione fra variabili lineari ed angolari consente di passare da un tipo di descrizione all’altra.

particella in un corpo rigido che ruota attorno ad un asse fisso a distanza r dall’asse

coordinata angolare φ che misura le rotazioni

Velocità lineare ed angolare

ds

dt = d ϕ

dt r → v = ω ^r

Posizione lineare ed angolare

ϕ in radianti → s = ϕ ^r

r = costante

RELAZIONE FRA VARIABILI LINEARI ED ANGOLARI FORMA SCALARE

Accelerazione lineare ed angolare

dv

dt = d ω

dt r → a

= α ^r

componente tangenziale dell’accelerazione

a

= v

r = ω

^r

Le variabili angolari sono vantaggiose rispetto alle variabili lineari perché sono comuni a tutti i

punti del corpo rigido

Il crollo della ciminiera

a

= α L

La componente verticale di a_T può superare g

http://www.youtube.com/watch?

RELAZIONE FRA VARIABILI LINEARI ED ANGOLARI FORMA VETTORIALE

velocità lineare

velocità angolare

componenti della accelerazione lineare a_T, a_R

accelerazione angolare Corpo rigido in rotazione attorno ad un asse fisso

asse fisso

vettore posizione

Espressione vettoriale della velocità lineare il modulo della velocità v



v = v = ω ^Rsin θ

modulo di un prodotto vettore

v =  

ω ×  R

la direzione e verso di v sono coerenti con la definizione di prodotto vettore

direzione di v ortogonale al piano definito da r e w

verso definito dalla regola della mano destra

RELAZIONE FRA VARIABILI LINEARI ED ANGOLARI FORMA VETTORIALE

Espressione vettoriale della accelerazione lineare

a =  d  v

dt = d dt

ω  × 

( R ) ^{= d} _dt ^{ω  × R +  ω  × d}

R 

dt = 

α × 

R +  ω × 

v

vettore tangente alla circonferenza

vettore radiale

a =  

α × 

R + 

ω × 

ω × 

( R ) ^{= a }

^{+ a }

componente tangenziale

dell’accelerazione componente centripeta dell’accelerazione

Le parentesi nell’espressione della accelerazione centripeta sono indispensabili (doppio prodotto vettore).

L’espressione vettoriale della accelerazione in termini della velocità angolare ω vale anche per un moto rotatorio generico