VERIFICA DI MATEMATICA – 2^E/F Liceo Sportivo – 12 ottobre 2017 Rispondere su un foglio protocollo e riconsegnare insieme al testo entro il 19 ottobre 2017 NOME E COGNOME _____________________________________________________________
1 Consideriamo la disequazione
a x≥b x
Essendo a≥b≥0 . Individua l'affermazione esatta, motivando esaurientemente la scelta.
A) è impossibile B) x=1 è soluzione
C) x=1 e x=-1 sono soluzioni D)Qualunque x reale è soluzione
2 Consideriamo la disequazione
144 x (x−10)( x+25)<0
Stabilire per ciascuna delle seguenti affermazioni se sono vere o false, motivando ogni scelta.
A) tutte le x<-10 sono soluzioni B) tutte le x<-25 sono soluzioni
C) tutte le x >0 sono soluzioni D) x=5 è una soluzione
3 Risolvere la seguente disequazione:
x− 2 x 2−x− 1
x2−4<1 4
4 Risolvere la seguente disequazione:
x+3
2+ x×2 x−6 3−x >0
5 Per produrre un libro, una casa editrice deve sostenere 24.000 € di spese fisse (cioè indipendenti dal numero di copie stampate) per la composizione, correzione bozze, redazione, etc. . Inoltre ogni copia stampata ha un costo di 16 € per carta, inchiostro, stampa, rilegatura. Quante copie del libro si devono stampare se si vuole che ogni singola copia venga a costare meno di 20 €?
VALUTAZIONE
Argomenti: ripasso sulle disequazioni di primo grado e fratte e sui problemi di primo grado. Capitolo 9 volume1 del libro di testo.
Valutazione delle risposte.
2 punti: risposta corretta, soluzione migliore, buona proprietà di linguaggio, esposizione chiara e leggibile.
1,8 punti: risposta corretta, soluzione migliore con qualche imperfezione di linguaggio e di esposizione.
1,6 punti: risposta corretta, soluzione migliore ma senza una buona proprietà di linguaggio o senza una buona esposizione.
1,4 punti: risposta corretta ma non la soluzione migliore.
1,2 punti: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno tre quarti delle richieste.
1 punto: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno metà delle richieste.
0,8 punti: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno un quarto delle richieste.
0,6 punti: risposta sbagliata, purché sensata e legata al contesto.
0,4 punti: risposta sbagliata contenente errori particolarmente gravi.
0,2 punti: risposta mancante, o insensata o slegata dal contesto.
I testi delle verifiche si possono anche scaricare all'indirizzo http://www.lacella.it/profcecchi BLOG http://dottorcecchi.blogspot.it
Pagina facebook https://www.facebook.com/profcecchi
1 Consideriamo la disequazione a x≥b x
Essendo a≥b≥0 . Individua l'affermazione esatta, motivando esaurientemente la scelta.
A) è impossibile B) x=1 è soluzione
C) x=1 e x=-1 sono soluzioni D)Qualunque x reale è soluzione
L'affermazione esatta è la B.
Infatti x=1 verifica la disequazione: a×1≥b×1 ovvero a≥b che è vero per ipotesi.
Con questa verifica possiamo già indicare la risposta B, affidandoci al fatto che delle quattro scelte soltanto una è quella esatta.
Per motivi didattici osserviamo comunque che questa verifica smentisce la risposta A, ma non smentisce le due rimanenti.
Osserviamo dunque che x=−1 non verifica la disequazione: a×(−1)≥b×(−1) ovvero
−a≥−b ovvero a≤b ; è falso in generale (potrebbe essere vera soltanto l'uguaglianza e solo nel caso a=b ).
Grazie a questa seconda verifica possiamo escludere con certezza anche le risposte C e D.
2 Consideriamo la disequazione
144 x (x−10)( x+25)<0
Stabilire per ciascuna delle seguenti affermazioni se sono vere o false, motivando ogni scelta.
A) tutte le x<-10 sono soluzioni B) tutte le x<-25 sono soluzioni
C) tutte le x >0 sono soluzioni D) x=5 è una soluzione
Del coefficiente 144 ce ne possiamo anche disinteressare, è stato messo lì soltanto per distrarci. A noi interessano i tre fattori con l'incognita. La disuguaglianza sarà vera nel caso in cui siano tutti e tre negativi, oppure che siano due positivi e uno negativo.
L'affermazione A è falsa.
Ci basta prendere un qualunque x tale che −25<x<−10 e avremo i primi due fattori negativi e il terzo positivo. Dunque il prodotto sarebbe positivo.
L'affermazione B è vera.
Proseguendo il discorso iniziato sopra, con x<−25 tutti e tre i fattori sono negativi, e quindi il loro prodotto è negativo.
L'affermazione C è falsa.
Ci basta prendere un qualunque x>10 e avremo tutti e tre i fattori positivi, e quindi il prodotto sarebbe positivo.
L'affermazione D è vera.
Sostituendo x=5 otteniamo 5(5−10)(5+25)<0 perché il primo e il terzo fattore sono positivi ma quello centrale è negativo.
3 Risolvere la seguente disequazione:
x− 2 x 2−x− 1
x2−4<1 4
Prima di affrontare la ricerca della soluzione poniamo delle condizioni di esistenza (per evitare le divisioni per zero).
Per quanto riguarda il primo denominatore: 2−x≠0 ovvero x≠2 .
Per quanto riguarda il secondo denominatore: x2−4≠0 ovvero (x−2)(x+2)≠0 ovvero x≠2∧x≠−2 . Dunque le condizioni per il secondo denominatore contengono anche quella per il primo, in definitiva le condizioni di esistenza da porre sono x≠2∧x≠−2 .
Possiamo adesso cominciare a manipolare la disequazione per cercare le soluzioni.
Portiamo tutto quanto a primo membro e poi imponiamo un denominatore comune.
4 x (x2−4)+8 x ( x+2)−4−( x2−4)
4 (x2−4) <0 ovvero 4 x3−16 x+8 x2+16 x−4−x2+4
4( x2−4) <0 ovvero 4 x3+7 x2
4 (x2−4)<0 ovvero x2(4 x+7)
4( x+2)(x−2)<0 .
Osserviamo i segni di numeratore e denominatore, fattore per fattore. Il coefficiente 4 è ovviamente positivo e ce ne possiamo disinteressare
x2>0 per qualunque valore x≠0 . x2=0 se x=0 4 x+7>0 per qualunque valore x>−7
4 . 4 x+7=0 se x=−7 4 x+2>0 per qualunque valore x>−2 e abbiamo imposto x≠−2 x−2>0 per qualunque valore x>2 e abbiamo imposto x≠2
Chi vuole, può disegnare un piccolo grafico, per capire meglio come vanno le cose. Oppure, se scrive al computer come me, e non ha voglia di lanciare Geogebra, può riassumere la situazione in una tabella come questa:
x2 + + + + +
4 x+7 - - + + +
x+2 - + + + +
x−2 - - - - +
x<−2 −2< x<−7
4 −7
4<x<0 0<x<2 x>2
Ci interessano solo le colonne in cui troviamo un numero dispari di “segni meno”. Dalle soluzioni escludiamo ovviamente i valori già esclusi in partenza e quelli per cui l'espressione vale 0.
Le soluzioni sono x<−2∨−7
4<x<0∨0< x<2
4 Risolvere la seguente disequazione: x+3
2+ x×2 x−6 3−x >0
Prima di tutto poniamo le condizioni di esistenza, vediamo due denominatori e non devono annullarsi. Per quanto riguarda il primo denominatore deve essere x≠−2 . Per quanto riguarda il secondo denominatore deve essere x≠3 .
Adesso possiamo cominciare a manipolare l'equazione per determinare le soluzioni. Si noti che possiamo scriverla in questo modo: x+3
2+ x×2 (x−3)
3−x >0 ovvero x+3
2+ x×(−2)(3−x )
3−x >0 ovvero
−2x+3
2+x>0 ovvero 2 x+3
2+ x<0 . Sarà sufficiente osservare per quali valori di x, numeratore e denominatore sono discordi. Facciamo un grafico oppure una tabella per schiarirci le idee.
x+3 - 0 + + +
2+x - - - no +
x<−3 x=−3 −3<x<−2 x=−2 x>−2
Ci interessano le zone in cui numeratore e denominatore sono discordi. In questo caso le soluzioni sono le x tali che −3<x<−2
5 Per produrre un libro, una casa editrice deve sostenere 24.000 € di spese fisse (cioè indipendenti dal numero di copie stampate) per la composizione, correzione bozze, redazione, etc. . Inoltre ogni copia stampata ha un costo di 16 € per carta, inchiostro, stampa, rilegatura. Quante copie del libro si devono stampare se si vuole che ogni singola copia venga a costare meno di 20 €?
Partiamo dalla domanda finale: ci suggerisce a quale quantità attribuire l'incognita x, sulla quale costruiremo un'equazione o una disequazione.
L'incognita x è il numero delle copie da stampare.
Adesso facciamo finta di conoscere questo numero x. Se volessi calcolare il costo di un singolo libro farei questi calcoli: 24000
x +16 .
Siccome voglio che un libro mi costi complessivamente meno di 20 € imposto la disequazione 24000
x +16<20 ovvero 24000<4 x . Per fare questo ultimo passaggio teniamo conto che x>0 in quanto numero di copie vendute.
Dunque la disequazione è equivalente a 6000< x . Conclusione: occorre stampare almeno 6001 copie.
