e12x(x−1) per ogni x ∈ R

II Appello di Processi Stocastici 2012/13 Cognome:

Laurea Magistrale in Matematica Nome:

16 luglio 2013 Email:

Quando non `e espressamente indicato il contrario, per la soluzione degli esercizi `e possibile usare tutti i risultati visti a lezione (compresi quelli di cui non `e stata fornita la dimostrazione).

Esercizio 1. Su uno spazio di probabilit`a (Ω, A, P) `e definita una successione di variabili aleatorie reali i.i.d. Y = (Yn)n∈N={1,2,...} con distribuzioni marginali Yn∼ N (0, 1).

(a) Si mostri che Ee^x(Y1−12) = e^12x(x−1) per ogni x ∈ R.

Diremo che una successione reale (xn)_n∈N `e ammissibile se vale che xn∈ {0, 1} per ogni n ∈ N.

Fissata un’arbitraria successione ammissibile (x_n)_n∈N, definiamo Wi := xi Yi−¹₂
, ∀i ∈ N , Z₀ := 0 , Z_n:= e^Pni=1Wi, ∀n ∈ N .

Sia infine F0 := {∅, Ω}, Fn:= σ(Y1, . . . , Yn) la filtrazione naturale della successione Y .

(b) Per quali successioni ammissibili (x_n)_n∈N le variabili aleatorie (W_i)_i≥1 sono indipendenti?

E identicamente distribuite?

(c) Si mostri che Z = (Zn)n≥0 `e una martingala, per ogni successione ammissibile (xn)_n∈N. (d) Si mostri che Z∞ := limn→∞Zn esiste q.c. e che si ha Z∞ ≥ 0 e E(Z∞) ≤ 1, per ogni

successione ammissibile (x_n)_n∈N.

(e) Si dia un esempio di successione ammissibile (x_n)_n∈N tale che E(Z∞) = 1.

(f) Si dia un esempio di successione ammissibile (xn)_n∈N tale che E(Z∞) = 0.

[Sugg. Si ricordi la legge forte dei grandi numeri.]

Soluzione 1. (a) Basta ricordare la funzione generatrice dei momenti della distribuzione nor- male standard: E[e^xY1] = e^12x2, da cui E[e^x(Y1−12) = e^−12xE[e^xY1] = e^12x(x−1).

(b) Le variabili aleatorie Wi sono indipendenti, qualunque sia la successione (xn)_n∈N, perch´e esse sono funzioni (misurabili) delle variabili aleatorie indipendenti Y_i. Dato che W_i ∼ N (−¹₂xi, x²_i) per le propriet`a delle leggi normali, esse sono identicamente distribuite se e solo se x<sub>i</sub> = x<sub>j</sub>per ogni i, j ∈ N, ossia se e solo se la successione (xn)<sub>n∈N</sub>`e costante. In defini- tiva, le uniche successioni ammissibili per cui le variabili aleatorie Wi sono identicamente distribuite sono le successioni (0, 0, 0, . . .) e (1, 1, 1, . . .).

(c) Qualunque sia la successione (x_n)_n∈N, le variabili aleatorie W_i sono indipendenti e inoltre E[e^Wi] = 1, per il punto (a). Pertanto Zn=Qn

i=1e^Wi `e una martingala, per quanto visto a lezione (o per facile verifica diretta).

(d) Basta applicare il teorema di convergenza per martingale positive (e dunque limitate in L¹) e il lemma di Fatou.

(e) Se xn= 0 per ogni n ∈ N si ha chiaramente Wi = 0 per ogni i ∈ N e dunque Zn = 1 per ogni n ∈ N0, da cui Z∞ = 1 e dunque E(Z∞) = 1. (Con un argomento analogo, si mostra che E(Z∞) = 1 se x_n= 0 definitivamente.)

(f) Se xn= 1 per ogni n ∈ N le variabili aleatorie Wi sono i.i.d. con E(Wi) = −¹₂, quindi per la legge forte dei grandi numeri _n¹P_n

i=1W_i → −¹₂ q.c., da cui segue cheP_n

i=1W_i→ −∞ q.c.

e dunque Z∞= lim_n→∞Z_n= 0 q.c.; in particolare, E(Z∞) = 0.

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Esercizio 2. Sia (Bt)t≥0 un moto browniano e si ponga, per una certo λ > 0, Xt:= e^−λtB_e^2λt.

(a) Si mostri che X = (X_t)_t≥0`e un processo gaussiano.

(b) Il processo X ha traiettorie continue?

(c) Il processo X ha incrementi scorrelati e/o indipendenti?

(d) Si mostri che il processo X `e stazionario: ci`o significa che la legge di (X_t1+h, ..., X_tn+h) `e uguale alla legge di (Xt1, ..., Xtn), per ogni scelta di n ∈ N, 0 ≤ t1 < t2 < .... < tn e h ≥ 0.

In particolare, la legge di X_t non dipende da t (perch´e?).

[Sugg. Si ricordi che X `e un processo gaussiano.]

(e) Il processo X `e un un moto browniano?

Soluzione 2. (a) Ogni combinazione lineare finita di componenti di X pu`o essere riscritta come combinazione lineare finita di componenti di B e dunque essa `e una variabile aleatoria normale, perch´e B `e un processo gaussiano. Di conseguenza, X `e un processo gaussiano (b) Per q.o. ω ∈ Ω si ha che s 7→ Bs(ω) `e una funzione continua. Di conseguenza, t 7→ Xt(ω) =

e^−λtB_e2λt(ω) `e una funzione continua perch´e composizione e prodotto di funzioni continue.

(c) Per ogni s < t ≤ u < v, usando la bilinearit`a della covarianza e il fatto che Cov(Ba, Bb) = min{a, b}, si ottiene

Cov(Xt− X_s, Xv− X_u) = Cov(Xt, Xv) − Cov(Xs, Xv) − Cov(Xt, Xu) + Cov(Xs, Xu)

= e^−λ(t+v)e^2λt− e^−λ(s+v)e^2λs− e^−λ(t+u)e^2λt+ e^−λ(s+u)e^2λs

= e^λ(t−v)− e^λ(s−v)− e^λ(t−u)+ e^λ(s−u)

= e^λt(e^−λv − e^−λu) − e^λs(e^−λv− e^−λu) = (e^λt− e^λs)(e^−λv− e^−λu) Non essendo scorrelati, gli incrementi non sono indipendenti. In particolare, X non `e un moto browniano.

(d) Si ha per s ≤ t

Cov(X_s, X_t) = e^−λ(s+t)e^2λs= e^−λ(t−s).

Da ci`o segue che i vettori (X<sub>t1+h</sub>, ..., X<sub>tn+h</sub>) e (Xt1, ..., Xtn) hanno la stessa matrice di covarianza, poich´e essa dipende solo dalle differenze dei tempi. Trattandosi di vettori aleatori gaussiani, essi hanno la stessa legge, cio`e il processo X `e stazionario.

(e) Dato che il moto browniano non `e un processo stazionario (la legge di Bt∼ N (0, t) `e diversa dalla legge di B_s∼ N (0, s) per t 6= s), X non `e un moto browniano.